數(shù)列（解答題8種考法）

數(shù)列（解答題8種考法）考法一數(shù)列常規(guī)方法【例1-1】（2022·陜西）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求實(shí)數(shù)k的值，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求．【例1-2】（2022·河南·靈寶市）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【例1-3】（2022·湖北）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，，數(shù)列滿足．(1)求出，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【例1-4】（2022·全國(guó)1卷高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．考法二裂項(xiàng)相消大合集【例2-1】（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，，，且(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．【例2-2】（2022·廣東·佛山市）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：.【例2-3】（2022·遼寧）等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【例2-4】（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為且，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【例2-5】（2022·安徽·）在①，，成等比數(shù)列，②，③中選出兩個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．設(shè)為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知___．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【例2-6】（2022·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，其中為等差數(shù)列，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：【例2-7】（2022·浙江·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列滿足，，其中．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【例2-8】（2022·天津南開）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng)．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考法三分段數(shù)列【例3-1】（2022·江蘇南通）已知數(shù)列滿足：(1)求的值；(2)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【例3-2】（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【例3-3】（2022·天津南開·三模）已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項(xiàng)和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項(xiàng)，第三項(xiàng)，第五項(xiàng)．(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．考法四插項(xiàng)數(shù)列【例4-1】（2022·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值．【例4-2】（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，.(1)證明：為等差數(shù)列；(2)設(shè)，在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和.【例4-3】（2022·廣東汕頭·三模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．考法五數(shù)列中存在性問題【例5-1】．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【例5-2】（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和，滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由.考法六數(shù)列與概率綜合【例6-1】（2022·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國(guó)民航局根據(jù)相關(guān)法律宣布從2020年6月8日起實(shí)施航班熔斷機(jī)制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測(cè)結(jié)果為陽性的旅客人數(shù)達(dá)到一定數(shù)量的民航局對(duì)其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運(yùn)行（達(dá)到5個(gè)暫停運(yùn)行1周，達(dá)到10個(gè)暫停運(yùn)行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調(diào)整用于其他航線，“熔斷期”結(jié)束后，航空公司方可恢復(fù)每周1班航班計(jì)劃．已知某國(guó)際航空公司A航線計(jì)劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是．一條航線處于“熔斷期”的原計(jì)劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為．(1)求；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并說明的實(shí)際意義．【例6-2】（2023四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）第22屆世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦．在決賽中，阿根廷隊(duì)通過點(diǎn)球戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍．(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左?中?右三個(gè)方向來撲點(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績(jī)的取得離不開平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲?乙?丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為pn，易知．①試證明：為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn，比較p10與q10的大?。挤ㄆ邤?shù)列與三角函數(shù)綜合【例7-1】（2022·安徽）已知函數(shù)的最小正周期為6．(1)已知△的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若，，求的值；(2)若，求數(shù)列的前2022項(xiàng)和．【例7-2】（2022·河南）已知數(shù)列{}滿足(1)求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，并求的最大值.【例7-3】（2022·安徽）已知函數(shù)，(1)求的解析式，并求其單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的根按從小到大的順序依次記為求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和．考法八數(shù)列與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合【例8-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)；若不存在，說明理由.【例8-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列對(duì)于任意的均有；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且恒成立，求λ的最大值.【例8-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)與數(shù)列滿足，其中是方程的實(shí)數(shù)根，滿足可導(dǎo)，且.(1)證明：；(2)判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明.1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個(gè)數(shù)字（其中任意兩個(gè)數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項(xiàng).第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的前項(xiàng)和；(2)若，記的前項(xiàng)和，求證.3．（2023·浙江·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列滿足，，．(1)求的取值范圍；(2)記是在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前m項(xiàng)和．4．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，滿足，，且，．(1)若為等比數(shù)列，求值；(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．5．（2022·廣東廣州·一模）在等比數(shù)列中，分別是下表第一，二，三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列9128(1)寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.6．（2022·廣東茂名·一模）已知數(shù)列，滿足，，且，(1)求，的值，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式．7（2022·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，是的前n項(xiàng)和．(1)求；(2)若為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：．9．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）已知公差大于0的等差數(shù)列滿足，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)2，構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前110項(xiàng)的和.10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且，，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值．11．（2022·河南）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.12．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．13．（2023·江蘇揚(yáng)州·高三校聯(lián)考期末）某校為了合理配置校本課程資源，教務(wù)部門對(duì)學(xué)生們進(jìn)行了問卷調(diào)查．據(jù)統(tǒng)計(jì)，其中的學(xué)生計(jì)劃只選擇校本課程一，另外的學(xué)生計(jì)劃既選擇校本課程一又選擇校本課程二．每位學(xué)生若只選擇校本課程一，則記1分；若既選擇校本課程一又選擇校本課程二，則記2分．假設(shè)每位選擇校本課程一的學(xué)生是否計(jì)劃選擇校本課程二相互獨(dú)立，視頻率為概率．(1)從學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)從學(xué)生中隨機(jī)抽取n人，記這n人的合計(jì)得分恰為分的概率為，求．14．（2023江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）在下面兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答.①；②.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，，______.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，求證：(1)數(shù)列為等差數(shù)列；(2)數(shù)列中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列.17．（2023河南）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出實(shí)數(shù)的值若不存在，說明理由．18（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為滿足（，）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)（，），對(duì)任意的正整數(shù)k，將集合{，，}中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列．20．（2023河南南陽·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的最大項(xiàng)．21．（2023春·河南鄭州·高三鄭州四中校考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)的周期為圖象的一條對(duì)稱軸為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)解析式；(2)若數(shù)列，試求其前項(xiàng)和為.23．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，，(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列與中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合，，將集合中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前20項(xiàng)和24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足．(1)證明：對(duì)一切正整數(shù)n成立；(2)令，判斷數(shù)列單調(diào)性．25．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）若數(shù)列滿足．(1)求，，及的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．①求；②對(duì)于任意正整數(shù)n，均有恒成立，求m的最小值．26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和記為，且數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，設(shè)，數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列成等差數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(3)若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．28．（2023遼寧葫蘆島·高三葫蘆島第一高級(jí)中學(xué)校考期末）