2024-2025學(xué)年河北省石家莊高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題及答案

石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級教學(xué)質(zhì)量摸底檢測數(shù)學(xué)（本試卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．Ax|1x5RxR|x23x40，則AB（1．設(shè)集合，B）A．1B．4C．1,4D．52．已知復(fù)數(shù)z滿足i)z2，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）1252125A．B．C．D．23．已知平面向量a，b滿足a(ab)2，且a1，b2，則向量a，b的夾角為（）A．B．C．D．63364．已知正四棱錐底面邊長為2，且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）3233433A．B．C．D．23345．已知)2cos()，tan，則tan（）3113A．3B．3C．D．36．若數(shù)列a為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列a的前n項和，490，110，則Sn的最小值為nn（）A．S5B．S6C．S7D．S8x2y27．已知雙曲線C:1的左、右焦點分別為F、F，過坐標(biāo)原點的直線與雙曲線C交于A、B兩1248點，若FA2FB，則（）11A．47B．27C．43D．48．已知函數(shù)F(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足fa)fa)2f，則實數(shù)a的取值范圍為（）212181B．,8C．0,8D．A．8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知實數(shù)a，b，c滿足abc0，則下列選項正確的是（）acbcabacbcbc1A．B．0C．D．a(chǎn)b22abacab10．已知函數(shù)f(x)x0)，則下列說法正確的是（）699A．當(dāng)3時，f(x)在,上單調(diào)遞增B．若f(x)f(x)2，且xx2，則函數(shù)f(x)的最小正周期為1212C．若f(x)的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值為323291212上恰有4個零點，則的取值范圍為D．若f(x)在0,2,11．如圖，曲線C過坐標(biāo)原點O，且C上的動點P(x,y)滿足到兩個定點F(a,0)，F(xiàn)(a,0)(a0)的距12離之積為9，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)3B．若直線y與曲線C只有一個交點，則實數(shù)k的取值范圍為C．△PFF周長的最小值為121292D．△PFF面積的最大值為12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分412．在等比數(shù)列a中，11，aaa64，則5____________．n232x3xx013．已知函數(shù)f(x)4，若yx與yf(x)的圖象相切于A、B兩點，則直線x0xAB的方程為____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個正四棱錐，則該正四棱錐的5個面所在的平面將空間分成____________四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1513分）已知拋物線C:y2px(p0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為2且位于x軸上方的點，A到拋物線25焦點的距離為．2（1）求拋物線C的方程；1（2）若過點F的直線l交拋物線C于B、D兩點（異于OOB、，若△S，△2求BD的長．1615分）13中，如圖，在直四棱柱ABCDABCDAG，ABBC，AB1，BC3，AD33BD．2（1）設(shè)過點G、B、D的平面交直線AB于點M，求線段的長；（2）若ACBD，當(dāng)二面角BACD為直二面角時，求直四棱柱ABCDABCD的體積．1715分）在△ABC中，3，AC23，點D在邊BC上，且CD．（1）若，求BC的長；21（2）若，點E在邊AC上，且，與AD交于點M，求．321817分）ex已知函數(shù)f(x)．x（1）當(dāng)x0時，求函數(shù)f(x)的最小值；x1（2）設(shè)方程f(x)的所有根之和為T，且T(n,n，求整數(shù)n的值；x2（3）若關(guān)于x的不等式f(x)axaxe1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．1917分）母函數(shù)（又稱生成函數(shù)）就是一列用來展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架．這是數(shù)學(xué)家赫伯特·維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的一個形象且精妙的比喻．對于任意數(shù)列a,a,a,a，即用如下方法與一個函數(shù)聯(lián)系起來：012nG(x)aaxax2nxn，則稱G(x)是數(shù)列a的生成函數(shù)．012n例如：求方程100ttt的非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)．1210設(shè)此方程的生成函數(shù)為G(x)xx210，其中x的指數(shù)代表tii,10)的值．G(x)xx210nxn，則非負(fù)整數(shù)解的個數(shù)為100．n0若f(x)1xx，則(x)xxx，可得x)f(x)1，于是可得函數(shù)f(x)的收縮22311x表達式為：f(x)．11x故G(x)()10x)10C010(x)0C110(x)1C100(x10010（廣義的二項式定理：兩個數(shù)之和的任意實數(shù)次冪可以展開為類似項之和的恒等式）(10)((1010010910810則a100C100C10010910100!100!根據(jù)以上材料，解決下述問題：定義“規(guī)范01數(shù)列”a如下：a共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k2m，nnkki，不同的“規(guī)范01數(shù)列”個數(shù)記為m．2i1（1）判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）規(guī)定b1，計算b，b，b，b的值，歸納數(shù)列b的遞推公式；01234mm（3）設(shè)數(shù)列b對應(yīng)的生成函數(shù)為F(x)0bxbx2bxmm12①結(jié)合F(x)與F2(x)之間的關(guān)系，推導(dǎo)F(x)的收縮表達式；②求數(shù)列m的通項公式．石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級教學(xué)質(zhì)量摸底檢測數(shù)學(xué)答案一、單選題：1-5CABCD二、多選題：9．BCD6-8BAD10．ABD11．AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．1613．x3y4014．23四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。p52151）由題意得2（2分）（3分）2解得p1，y22x．（5分）故拋物線方程為1（2）由題意得直線l的斜率不為0，設(shè)直線l:xty，與2y2x2y2ty10，由韋達定理得yyt，yy1①（7分）聯(lián)立得1212設(shè)B(x,y)，D(x,y)，過O點做l垂線，垂足為G．1122111由△S，得OGBFDFOG，即BFDF△22211由BFDF得yy②（9分）122222由①②聯(lián)立上式得1，y22，t（11分）2494BD(xx)2(yy)2t2yy)2．（13分）（2分）121212161）連接BD，由題意可得BD//，又因為BD//平面ABCD，平面ABCD平面，BD平面，所以BD//，由平行傳遞性可知//BD（4分）（6分）133BD所以M為靠近A的AB三等分點，GM2（2）如圖，設(shè)ACBDO，連接BO，DO，由題意得ACBD，BB，BBBDB，故AC面BBO，同理可證AC面DDO，故BOAC，DO，所以B為二面角BACD的平面角（8分）設(shè)BBh，由二面角BACD為直二面角可知B，23由（1）可得BO，故3，2BO2h2，DO2DO2h222在Rt△B中，由勾股定理可得BODOBD22（10分）34274326h23h2整理得h2，解得h（12分）（14分）（15分）即2633212332題設(shè)可知BB，則SABCD△△ACD2292所以VABCDABCDSh4方法二：向量法：設(shè)直線AC與直線BD交于點O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)B為x軸，以為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：O．在Rt△ABC中，∵OBAC．由射影定理得：133，OC，，設(shè)h，則：222133(0,,0)，B(,0,h)，C,0)，D(3,0,h)（8分）222設(shè)平面BAC的一個法向量為n(x,y,z)1111(x,y,z)(0,0)0y01n01111則：，即：，∴3131n0(x,y,z)(,,h)01yhz01111222211令x2h，則z3，……11∴1(2h,0,3)，（10分）設(shè)平面D的一個法向量為n(x,y,z)2222(x,y,z)0)0y02nAC02222則：，即：1，∴1(x,y,z)(3,,h)031yhz0nAD022212222令xh，則z3，22∴2(h,3)，（12分）6當(dāng)二面角BACD為直二面角時，nn0，即：2h230，得：h．（13分）122192∴VABCDABCDSABCDhACBDh（15分）24a171）設(shè)CD23a在△ABD中，B①（2分）（4分）2在△ABC中，由余弦定理AB2BC2AC2(3)2a2(23)2B②2ABBC23a3a(3)2a2(23)2所以，23a2所以，a21，BC21（6分）（7分）（2）ABAC3233311213ADBE(ABAC)(AEAB)(ABAC)(ACAB)2112161222（9分）314142122AD(ABAC)2(AB2ABACAC)（11分）2231121322BE(ACAB)2ACABACAB)（13分）（15分）39ADBE12AD,BE17ADBE212123(xex181）x0，f(x)（2分）x2x，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，x)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，（3分）（4分）f(x)fe；x11（2）方程f(x)可化簡為ex10x2x11ex10的根就是函數(shù)g(x)ex1的零點，方程xx1易知g(x)ex1在(,0)，)上單調(diào)遞增（5分）x33211因為g()e0，g(0，23e32所以函數(shù)g(x)在(,0)有唯一零點x，且x,1（7分）111因為g()e30，ge20，212所以函數(shù)g(x)在)有唯一零點x，且x,1（9分）22則Txx(0)，因此，n1．（10分）12（3）設(shè)h(x)f(x)axax(e，則當(dāng)x0時h(x)0恒成立，(xexax(xeax)xah(x)（12分）x2x2exxe，ex①由（1）得當(dāng)ae時，xeaxex0x，h(x)0，f(x)單調(diào)遞減，x)，h(x)0，f(x)單調(diào)遞增，h(x)hea(e1a0∴a1（14分）②當(dāng)ae時，h1a0，這與h(x)0矛盾，（16分）（17分）綜上，a1．19．解析：（1）由題意得①，③是“規(guī)范01數(shù)列，（2分）55對于②，由于k5時，i3，故②不是“規(guī)范01數(shù)列；（3分）2i1（2）b1，b2，b5，b14；（每個17分）1234n“規(guī)范01數(shù)列”a中，首項10，若a同時滿足：nnknk①當(dāng)n,k1時，i；②當(dāng)nk時，i，22i1i13此時可將a劃分為兩部分，即a,a,,a和a,a,,a，由于a0且k1，則a,a,,ak1n12kk1k2n12可構(gòu)成一個“規(guī)范01數(shù)列，所以數(shù)列m的遞推公式為：bbbm22m3m2bbb（9分）m0m11m104m2m2（注：學(xué)生由m(x)0m1Cm2mCm1得出m12mm也可給到10分）2bbbb)xbbbbbb)x2m（3）①Fbbbbbb)x201100211200m1m1m0bbxbx2xm1232(x)F(x)1（10分）∴114x即F(x)2x由于F(x)b100x114x2x當(dāng)F(x)當(dāng)F(x)時，F(xiàn)(x)（舍去）x011