2024秋新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用分層演練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用分層演練綜合提升A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖,引入了一種以該昆蟲為食物的特別動(dòng)物,已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(單位:只)與引入時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只,則第7年它們發(fā)展到 ()A.300只B.400只C.600只D.700只答案:A2.由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展,計(jì)算機(jī)的成本不斷降低,若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低13,則現(xiàn)在價(jià)格為8100元的計(jì)算機(jī)經(jīng)過15年的價(jià)格為 (A.2300元 B.2800元 C.2400元 D.2000元答案:C3.某種細(xì)胞在正常培育過程中,時(shí)刻t(單位:min)與細(xì)胞數(shù)n(單位:個(gè))的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:t/min02060140n/個(gè)128128依據(jù)表中數(shù)據(jù),推想繁殖到1000個(gè)細(xì)胞時(shí)的時(shí)刻t最接近于 ()A.200min B.220min C.240min D.260min答案:A4.設(shè)在海拔xm處的大氣壓強(qiáng)為ykPa,y與x的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=100eax.若在海拔1000m處的大氣壓強(qiáng)為90kPa,則依據(jù)函數(shù)解析式,在海拔2000m處的大氣壓強(qiáng)為81kPa.5.某醫(yī)學(xué)專家為探討傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律,將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行試驗(yàn),經(jīng)檢測(cè),病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)與天數(shù)的記錄如下表:天數(shù)123456病毒細(xì)胞的個(gè)數(shù)124862已知該病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過108的時(shí)候小白鼠將死亡,但注射某種藥物,可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%.為了使小白鼠在試驗(yàn)過程中不死亡,第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物(精確到天,lg2≈0.3010)?解:由題意,知第一次注射藥物前病毒細(xì)胞個(gè)數(shù)y關(guān)于天數(shù)n(n∈N*)的函數(shù)解析式為y=2n-1(n∈N*).為了使小白鼠在試驗(yàn)過程中不死亡,則2n-1≤108,兩邊取對(duì)數(shù),得n≤27.578,即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.B級(jí)實(shí)力提升6.有濃度為90%的溶液100g,從中倒出10g后再倒入10g水稱為一次操作,要使?jié)舛鹊陀?0%,這種操作至少應(yīng)進(jìn)行的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771) ()A.19 B.20 C.21 D.22解析:操作次數(shù)為n時(shí)的濃度為910n+1,由910n+1<10%,得n+1>-1lg910=-12lg3-1答案:C7.某科技股份有限公司為激勵(lì)創(chuàng)新,打破發(fā)達(dá)國家的芯片壟斷,安排逐年增加研發(fā)資金投入,若該公司2024年全年投入的研發(fā)資金為100萬元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長10%,則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.1≈0.041,lg2≈0.301) ()A.2024年 B.2024年 C.2025年 D.2026年解析:設(shè)從2024年后,第n(n∈N*)年該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元,由題意可得100×(1+10%)n>200,即1.1n>2,兩邊取對(duì)數(shù)可得n>lg2lg1.1≈0.3010.041答案:C8.某食品的保鮮時(shí)間t(單位:h)與貯存溫度x(單位:℃)滿意函數(shù)解析式t=64,x≤0,2kx+6,給出以下四個(gè)結(jié)論:①該食品在貯存溫度為6℃的保鮮時(shí)間是8h;②當(dāng)x∈[-6,6]時(shí),該食品的保鮮時(shí)間t隨著貯存溫度x的增大而漸漸削減;③到了此日13時(shí),甲所購買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi).其中,全部正確結(jié)論的序號(hào)是①.解析:由題意,知當(dāng)x=4時(shí),t=16,所以24k+6=16=24,所以4k+6=4,所以k=-12所以當(dāng)x>0時(shí),t=2-當(dāng)x=6時(shí),t=23=8(h),故①正確.因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí),t=64,故②不正確.由題圖,知此日13時(shí)貯存溫度為10℃,當(dāng)x=10時(shí),t=2,已過保鮮時(shí)間,故③不正確.綜上,正確答案為①.9.國際視力表值(又叫小數(shù)視力值,用V表示,范圍是[0.1,1.5])和我國現(xiàn)行視力表值(又叫對(duì)數(shù)視力值,由繆天容創(chuàng)立,用L表示,范圍是[4.0,5.2])的換算解析式為L=5.0+lgV.(1)請(qǐng)依據(jù)此解析式將下面視力比照表補(bǔ)充完整.V1.5②0.4④L①5.0③4.0(2)甲、乙兩位同學(xué)檢查視力,其中甲的對(duì)數(shù)視力值為4.5,乙的小數(shù)視力值是甲的小數(shù)視力值的2倍,求乙的對(duì)數(shù)視力值.(所求值均精確到小數(shù)點(diǎn)后面一位數(shù)字,參考數(shù)據(jù):lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)解:(1)因?yàn)?.0+lg1.5=5.0+lg1510=5.0+lg32=5lg3-lg2≈5.0+0.4771-0.3010≈5.2,所以①處應(yīng)填5.2.因?yàn)?.0=5.0+lgV,所以V=1,②處應(yīng)填1.0.因?yàn)?.0+lg0.4=5.0+lg410=5.0+lg4-1=5.0+2lg2-1≈5.0+2×0.3010-1≈4.6,所以③處應(yīng)填4.6因?yàn)?.0=5.0+lgV,所以lgV=-1,所以V=0.1.所以④處應(yīng)填0.1.比照表補(bǔ)充完整如下:V1.51.00.40.1L5.25.04.64.0(2)先將甲的對(duì)數(shù)視力值換算成小數(shù)視力值,則有4.5=5.0+lgV甲,所以V甲=10-0.5,則V乙=2×10-0.5.所以乙的對(duì)數(shù)視力值L乙=5.0+lg(2×10-0.5)=5.0+lg2-0.5≈5.0+0.3010-0.5≈4.8.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.多空題某個(gè)細(xì)菌經(jīng)30min數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?倍,且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為y=ekt,其中k為常數(shù),t表示時(shí)間(單位:h),y表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù),則k=