機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)基礎(chǔ) 部分習(xí)題及答案（于靖軍 ）

機(jī)器人機(jī)構(gòu)老基砒

部分習(xí)題解答

第1章

緒論

1-1制作一個(gè)年表，記錄工業(yè)機(jī)器人發(fā)展的主要事件。

略

1-2制作一個(gè)年表，記錄并聯(lián)機(jī)器人發(fā)展的主要事件。

略

1-3查閱文獻(xiàn)，試回答連續(xù)體機(jī)器人與軟體機(jī)器人有何區(qū)別。

答：連續(xù)體機(jī)器人是一種新型仿生機(jī)器人，它模仿自然界中象鼻、章魚(yú)臂等動(dòng)物器官的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，自身不存

在運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié),但能依靠連續(xù)柔性變形來(lái)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和抓取操作。由于連續(xù)體機(jī)器人可在任意部位產(chǎn)生柔性變形,

所以具有很強(qiáng)的避障能力，能夠更好地適應(yīng)非結(jié)構(gòu)環(huán)境、更牢靠地抓取各種不規(guī)則形狀的物體。因此它是對(duì)

傳統(tǒng)關(guān)節(jié)式機(jī)器人的補(bǔ)充,具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。

摘自：謝世鵬，倪風(fēng)雷，王海榮,金明河.連續(xù)體機(jī)器人形狀檢測(cè)方法綜述［J］.機(jī)械與電子,2015,(08):68-71.

軟體機(jī)器人是機(jī)器人領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)，并被學(xué)術(shù)界視為一種最可能成為新一代機(jī)器人的發(fā)展方向，甚

至在工業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用和對(duì)社會(huì)革命的影響都非常廣泛。軟體仿生機(jī)器人通常山軟體材料制作，與環(huán)境交互

時(shí)，相比剛性機(jī)器人擁有更好的柔順性和適應(yīng)性。學(xué)者們正在進(jìn)行相關(guān)的的研究，意在從根本上解決了機(jī)

械手與人和環(huán)境相互作用的問(wèn)題，為解決復(fù)雜環(huán)境適應(yīng)性差、靈活性差等提供了新的思路和方向。

摘自：褚凱梅，趙虎，馮凱，吳杰，朱銀龍.軟體仿生機(jī)器人研究現(xiàn)狀口］.林業(yè)機(jī)械與木工設(shè)

備,2021,49(11):4-10+16.D0I:10.13279/j.cnki.fmwe.2021.0143.

查閱文獻(xiàn)，試給出在機(jī)器人機(jī)構(gòu)創(chuàng)新方面做出重要貢獻(xiàn)的10個(gè)重要人物。

略

1-5查閱文獻(xiàn)，試給出在機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論方面做出重要貢獻(xiàn)的10個(gè)重要人物.

略

1-6查閱文獻(xiàn)，試給出目前能代表機(jī)器人水平的10個(gè)機(jī)器人產(chǎn)品。

略

1-7查閱文獻(xiàn)，試給出目前能代表機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)研究水平的10個(gè)實(shí)驗(yàn)室名稱(chēng)。

略

1-8”機(jī)器人三原則”由誰(shuí)提出，具體內(nèi)容如何表述？

答：該原則最早在阿西莫夫的《我，機(jī)器人》中提出，阿西莫夫?yàn)檫@本書(shū)新寫(xiě)了《引言》，而《引言》的小

標(biāo)題就是《機(jī)器人學(xué)的三大法則》，把“機(jī)器人學(xué)三大法則”放在了最突出、最醒目的地位。而三大法則之

間的互相約束，為后世的創(chuàng)作有一?定的指導(dǎo)意義。

三大法則具體表述如下：

?機(jī)器人不能傷害人類(lèi)，也不能在人類(lèi)受到傷害時(shí)袖手旁觀：

?機(jī)器人必須服從人類(lèi)命令，除非這些命令與第一條原則相沖突：

?在不違背第一、.?條原則的前提下，機(jī)器人必須保護(hù)自己免受傷害。

第2章

數(shù)學(xué)知識(shí)

2-1證明所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0的線(xiàn)矢量必然滿(mǎn)足?=Q=代=0°

2-2計(jì)算經(jīng)過(guò)點(diǎn)n(l,1,0)和點(diǎn)n(-1,1,2)的直線(xiàn)的Plucker坐標(biāo)，并正則化該線(xiàn)矢量。

解.L-仆UZ)?c以嘰G2,。，一

卷務(wù)「(邛”，―

故;:(T,0,專(zhuān),冬與號(hào))

2-3計(jì)算經(jīng)過(guò)點(diǎn)r(l,|.0)且直線(xiàn)軸線(xiàn)的方向余弦為(-1,1,2)的直線(xiàn)Pliicker坐標(biāo)，并正則化該線(xiàn)矢量。

『-八，‘一J-JT

，解.企劃化7-前二卜了，￡一

I二二點(diǎn)「”。)x1%主%二與空為

[戡不(與引引上孥,專(zhuān))

2-4填空：補(bǔ)充空格的數(shù)值，使之表示一條直線(xiàn)(或線(xiàn)矢量)。

(1)(1,2,_;0,-1,-2)

(2)(2,0,2;0,_,0)

<3)(1,_,0;0,0,0)

(4)(1,_,0;0,0,1)

4解續(xù)欠量產(chǎn)+隊(duì)(3關(guān)刈妙二0________

效I/5*0,2.0,0)

I1)—LLLA41/d/°J

…m。。/。山)

[M(。去0八0小

2-5確定以下兩條直線(xiàn)之間公法線(xiàn)的長(zhǎng)度與夾角。

(1)L,=(l,0,-l;0.1/s/2.0)*4=(0,0,1;〃,0,0)

1(2)L,=(-l,0.1;0,-l/>/2.C)?L,=(0,0,l;Z>,0,0)

2-6填空：補(bǔ)充空格的數(shù)值，使之表示一個(gè)滿(mǎn)足特定節(jié)距的旋量。

(1)(1,0,0;_,0,0).h=l

(2)(1,0,0;1,_,0),h=\

(3)(l,O,O;l,_,O),u=io

(4)1,0,0),h=\

UJ「.Qj-L.o,。)

L

LMJI，。,。/I,QQ)

2-7證明旋量的節(jié)距是原點(diǎn)不變量。

2-8當(dāng)旋量與其自身互為反旋量時(shí)稱(chēng)為自互易旋量(self-reciprocalscrew)。試證明自互易旋量有且只有線(xiàn)

矢量和偶量?jī)煞N類(lèi)型。

證明I4)癡性放量3若為目癌竭事閡生

一一$。4W)(5、D十(Y-Y)(Sx。_________

八)。八。

:(2?_______

,攵h。?$、j：0mpJ：。________________

L-o'為傷夫變4M更二.

小”：一舞代取M仍江丸回+”?*電⑸

■錢(qián)久里為然仕),"K

■財(cái)3“(h”")+⑶、""3(”少3

［得單為立二(t)hs----------------------------

B刈$兒：。

［故物也"雁是自打癱.

■馀上.的減量扃”有技或和偶蓼

2-9從射影幾何的角度來(lái)看，偶量可看作是處于無(wú)窮遠(yuǎn)處的線(xiàn)矢量。試從極限的角度證明之。

2-10填空：補(bǔ)充空格的數(shù)值，使之表示一個(gè)單位旋量，并確定該旋量的節(jié)距和軸線(xiàn)坐標(biāo)。

⑴(1/>/2,0,_;1,0,1)

⑵(3/55/2,4/572,_;0,-5/4,1)

故(H”心心4

雄微受口節(jié)距八：，￡5

5由殘，:JX上：O"7

卻/迂川醍八二ss?R

的飯Y三結(jié)”卜凡。，

@(我0*,一；。,“9,〃

什M’川’I中，6m7A/，-/符A/；。

名iRV―)卡跖爾以?"〃夕

軸住r；bJ,:2力-2如加1

2-11試給出圖2-12所示單位正方體中12條邊所對(duì)應(yīng)單位線(xiàn)矢量的旋量坐標(biāo)表達(dá)，參考坐標(biāo)系如圖中所示。

2-12試給出單位正方體中12條邊所對(duì)立單位偶量的旋量坐標(biāo)表達(dá)，參考坐標(biāo)系如圖2-10所示。

2-13旋量系的互易性滿(mǎn)足坐標(biāo)系無(wú)關(guān)性(frameinvariant)。試證明：旋量系的互易積與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。

2-14旋量系的階數(shù)滿(mǎn)足坐標(biāo)系無(wú)關(guān)性-frameinvariant)o試證明：旋量系的階數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。

第3章

福姿描述寫(xiě)就標(biāo)扇一

一矢量p繞ZA軸旋轉(zhuǎn)30。，然后繞小軸旋轉(zhuǎn)45。，求按上述順序旋轉(zhuǎn)后得到的旋轉(zhuǎn)矩陣。

答：

R=R（x,45）/?（z,30）

OO>/3

10

T~2

也

7-2]_

o2-2在0

22

72

一72

-2一

o2001

1.-

O.

V32

一.

2G

夜.

近-.

一

442.

&

-

V-2X/-6—

442

3-2物體坐標(biāo)系｛即最初與慣性坐標(biāo)系團(tuán)｝重合，將坐標(biāo)系｛陰繞Z8軸旋轉(zhuǎn)30。，再繞新坐標(biāo)系的總軸旋轉(zhuǎn)

45。，求按上述順序旋轉(zhuǎn)后得到的旋轉(zhuǎn)矩陣。

答：

cos（30）00

；R=sin（30）cos（45）-sin（45）

0sin（45）cos（45）

\

（43_V2四

一

cos（30）-sin（30）cos（45）sin（30卜in（45）,244

y/6_

=sin（30）cos（30）cos（45）-cos（30）sin（45）V46

2~

（）（）V2

sin45cos45,一

0也也2

HT

3-3在什么條件下，兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣可以交換順序？

答：一般情況對(duì)于既有原點(diǎn)平移和姿態(tài)改變的變換是不滿(mǎn)足交換律的，只有在特殊情況下如：繞同一

坐標(biāo)軸進(jìn)行連續(xù)旋轉(zhuǎn)偏移，或者其中一個(gè)矩陣是單位矩陣時(shí)，旋轉(zhuǎn)矩陣可以交換。

3-4如果旋轉(zhuǎn)角度足夠小，任意兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣是否可以交換？

答：可以，角度足夠小時(shí)，結(jié)果與轉(zhuǎn)動(dòng)順序無(wú)關(guān)。

3-5假設(shè)一個(gè)剛體內(nèi)嵌有兩個(gè)單位矢量，試證明，無(wú)論剛體如何旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)矢隹的夾角保持不變。

答：設(shè)兩向量為P,4,令旋轉(zhuǎn)軸為z軸建立坐標(biāo)系8,已知'P(a，"c)夕(d,ej),已知

坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角度為。，則

cos。一sin。0

sin。cos。0

00

此時(shí)“，夕夾角為

ad+be+cf

JY+ZZ+M++于z

A坐標(biāo)系下八〃坐標(biāo)為

cos6-sin。0acos。一bsin。

sin。cos。0asinO+bcosO

00

同理，,坐標(biāo)為

dcos。一esin6

dsinO+ecos。

〃.q

adcos20+besin20+adsin20+becos2O+cf

J(acose-Dsind)'+(asine+Dcos，)'+c’+cos。一esind)'+(dsin6+ecosC)'十『

ad+be+cf

\la2+b2+c2+yjd2+e2+f2

由單位向量可知，單位向量點(diǎn)乘，結(jié)果為兩向量p，q夾角余弦值，所以?xún)墒噶康膴A角保持不變。

3-6證明任何旋轉(zhuǎn)矩陣行列式的值恒等于1。

證：由題意，假設(shè)有兩個(gè)坐標(biāo)系A(chǔ)和B及其中的6個(gè)相互正交的單位向量月，以，之,蒞,生,與，則由

定義可得

考慮到｛3｝系坐標(biāo)軸的三個(gè)單位向量都滿(mǎn)足相互正交、且模長(zhǎng)為1,由此可以導(dǎo)出

/T\

A

:"R=$'（$5ZB）=IM

IvJ

兩邊同時(shí)取行列式可得

da（：R）=l

得證（姿態(tài)矩陣的行列式等于對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矩陣的行列式值）

3-7證明KR-i和/?都是反對(duì)稱(chēng)矩陣°

證：以/?一尸一丫角為例

:R=（M居第

（鱷也

[dtdt=（@：x君以?xún)?yōu)x2；）=C恭R

根據(jù)歐拉旋轉(zhuǎn)定理，假設(shè)繞左軸轉(zhuǎn)過(guò)△0,當(dāng)Aa足夠小時(shí)，角度與旋轉(zhuǎn)順序無(wú)關(guān)，因此可矢量合成

\a=\axr+bay、,+baz一

d\a二-「

=coxx+a）yy+gz

則

0-co.叼

co.0一4

50

為反對(duì)稱(chēng)矩陣

則顯然

:R：R"=Q；：R：R-=Q；

為反時(shí)稱(chēng)矩陣。而對(duì)于BR-IBR

:RT止fR-0：R=W。：:R

由其對(duì)稱(chēng)性可知其乘枳為反對(duì)稱(chēng)矩陣，也可計(jì)算驗(yàn)證得到。

3-8求解姿態(tài)矩陣A的特性：

（1）求解姿態(tài)矩陣R的特征值，并求與特征值為1對(duì)應(yīng)的特征向量：

<2）令姿態(tài)矩陣4），試證明de1（K）=6Tyx/0；

R=?r2

（3）證明姿態(tài)矩陣R滿(mǎn)足R〃=（周〃]

答：（1）使用z—y—z歐拉角表示旋轉(zhuǎn)矩陣

c^cOaf/-s(f>si//-c(!)cOsi//-Me”岫夕

R=s(t)cOc\i/+一secOsW+s(j)s9

-sOcij/sOsi//c6

cfjfcOcif/-sfffsi//-a-c^cOsif/-s(/>cy/岫夕

|R-M=s(t)cOci//+一+cOw-as(f)sO

-sOcy/sOsy/cO-a

=(c(!)cGcif/-一〃)[(一s(t)c9s“+c0c〃-a^cO-a)-s6s〃s°s。]

一(一c0c6s?-s^cif/)^st/fcOcy/+c°s—)(c。-4)一(r及憶淞例]

+珈6[(,慟°。3+s6s--(-s°c6s-+c0w-s6c")]

=(c0c9c少-s(/)sy/-〃)(一c26sos材+c(/>cOci//-acO+acOs(/)si//-ac^cw+a2-s20si//s(ff^

+(c(/)cOsi{/+Me材)[。eWe獷+c(j>cGsi//+c〃//。)

+(岫6)[c0cy/si/fs0si(/+c(ffs0s2y/-紗㈤淞內(nèi)。+c(j)c2\//s0\=0

觀察上式為關(guān)于特征值。的3次方程，可以在復(fù)平面求出3個(gè)解析解。將其表示成關(guān)于3個(gè)轉(zhuǎn)角的數(shù)學(xué)

通式太過(guò)復(fù)雜，實(shí)際問(wèn)題中可以代入實(shí)際角度進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

考慮其特征值1，利用R的性質(zhì)

RRT=NR=I

.\det(/?)=det(/?-')=1

det(7?-/)

=det[(/?-7)r]

=det(/?f-7)

=det(/?-'-/)

=det

=det(/?',)det(Z-/?)

=det(/-/?)

=(-l)3det(/?-/)

=-det(/?-/)

/.det(7?-/)=0

所以R?定有特征值1,其對(duì)應(yīng)特征向量同樣可以在實(shí)際問(wèn)題中通過(guò)數(shù)值計(jì)算求出

/

小%5

r

R二八222弓2

W3

del(R)=々以

4七")=(%rn

證畢

(3)略

3-9己知一剛體的齊次變換矩陣

'同2-1/202、

1/2G/204

r=

0010

1000L

試求解該變換的逆變換

答：

/、

TT

廠1_R-RtP

04x4

其中

1

20

6

R

2一0

001

因此可知

1

22

-1V3

T~2

00

解得

V31

2-o

2-

73

-212-O

oo

1

OO

O

3-10證明平面齊次變換矩陣(planarhomogenoustransformationmatrix)滿(mǎn)足

>

'cosa-sina-xpcosa+?sina

D=sinacosayQ-ypsina-ypcosa

、001>

答：假設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過(guò)平移變換得到點(diǎn)8,點(diǎn)8經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換得到坐標(biāo)系｛。｝

%=RPp+PBORG

其中

(cosa-sina

R=

\Sinacosa

/\z

xocosa-sma&-xpcosa+%sina、

=PQ—RPP=Q-.

(刈IosinacosayQ-xpsina-ypcosa,

則

'cosa一sin。x-xcosa+%sina'

'R^BORG_Qp

D=sinacosay-xsina-ycosa

01)QpP

<001>

3-11已知?jiǎng)傮w繞z軸方向的軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)30。，且軸線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1,09，求物體坐標(biāo)系｛8｝相對(duì)慣性坐標(biāo)系｛川的

位形。

答：設(shè)慣性坐標(biāo)系為A系，固聯(lián)在剛體上的坐標(biāo)系為B系，定義兩個(gè)中間坐標(biāo)系A(chǔ)'和8’,它們的

姿態(tài)分別與4、3系相同，它們的原點(diǎn)在(110)7，令A(yù)'系與A系固聯(lián)，8'系與8系固聯(lián)，則

0

22

cos30-sin30O')

sin30cos300g0

22

00

001

八匕以G=010),

則

3叫

［立_10

222

x/3i-G

0

222

0010

t0001)

此即為所求齊次變換矩陣。

3-12已知?jiǎng)傮w繞x軸方向的軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)30。，且軸線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0,1),求物體坐標(biāo)系｛3｝相對(duì)慣性坐標(biāo)系仍｝

的齊次變換矩陣。

答：設(shè)慣性坐標(biāo)系為A系，固聯(lián)在剛體上的坐標(biāo)系為8系，定義兩個(gè)中間坐標(biāo)系A(chǔ),和3‘，它們的

姿態(tài)分別與力、8系相同，它們的原點(diǎn)在(1,0,1)「，令4,系與A系固聯(lián)，5,系與B系固聯(lián)，則

100

00、

抬=0cos30-sin30=0

~T~2

sin30cos30)

1x/3

0

2T

0

PA'ORG=(1爐

則

1000

x/3

0

2~22

.￡

01---

222

0001

7

此即為所求齊次變換矩陣。

3-13已知一機(jī)㈱人末端T具中心點(diǎn)為次,求：經(jīng)過(guò)機(jī)器人的一般運(yùn)動(dòng)變換（旋轉(zhuǎn)R“、和平移）以后點(diǎn)

p的表達(dá)，并寫(xiě)出其逆變換矩陣表達(dá)。

答：已知旋轉(zhuǎn)矩陣氏3,3和平移矩%03x1，則該變換的齊次變換矩陣為

T=I0

則運(yùn)動(dòng)變換后的點(diǎn)P表達(dá)式為

%P3xlp

P=TR=I01J°

逆變換的旋轉(zhuǎn)矩陣

R=R'

M

逆變換的平移矩陣

P=-跖產(chǎn)一雙3P3x1

故逆變換的齊次變換矩陣為

%

Ioi

3-14當(dāng)前工業(yè)機(jī)器人領(lǐng)域經(jīng)常要定義4種坐標(biāo)系：慣性坐標(biāo)系｛4｝、末端或工具坐標(biāo)系｛7｝、圖像坐標(biāo)系｛C｝

和工件坐標(biāo)系｛W｝,如圖3-51所示。

圖3-51工業(yè)機(jī)器人

(1)基于圖中所給尺寸，試確定〃和次：

004、

(2)若7%0io。，試求7。

才

0010

、（）00"

rl00-P,0100、

0101c_1000

cT—

答：⑴，T=，7

0010WH1—00-12

W001?’000"

roio-1

A100-3

⑵"=

r00-12

(0001

3-15試證明三次繞固定坐標(biāo)軸X-Y-Z旋轉(zhuǎn)的最終姿態(tài)與以相反順序三次繞運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的最終姿

態(tài)相同，即％（a,尸，/）=&、,（",a）。

答：繞固定軸（絕對(duì)變換，連續(xù)左乘），先X軸轉(zhuǎn)a,再丫軸轉(zhuǎn)夕，最后繞Z軸轉(zhuǎn)7的旋轉(zhuǎn),

其旋轉(zhuǎn)矩陣

cos6cos，sinasinpcosy-cosasinycosasin°cosy+sinasiny

R=R7\y)RY(a)Rx(a)cos/7sin/sinasin夕siny+cosacosycosasin夕siny-sinacosy

-sinpsinacos/cosacos/

繞自身軸（相對(duì)變換，連續(xù)右乘）

cos/-sin/0'|cos40sin/7-100

R=蹬醴皤=&。）4（夕）&（a）=sin/cos/00100cosa-sina

001J［一sin尸0cos夕0sinacosa

cospcos/sinasin/ycos/-cosasin/cosasinpcos/+sinasin/

cos夕sinysinasin夕siny+cosacosycosasinsin/—sinacosy

-sin/7sinacosycosacosy

可以看到二者是等價(jià)的。

3-16在描述空間剛體姿態(tài)的各種方法中，歐拉角描述被稱(chēng)為是一種局部參數(shù)的描述方法。以Z-X-Z歐拉角

為例，試證明當(dāng)6=0時(shí)，姿態(tài)矩陣奇異。

答：注：題目有誤，若按％七,（。0〃）旋轉(zhuǎn)，當(dāng)0=0時(shí)，姿態(tài)矩陣不可能奇異，故推測(cè)應(yīng)為證

明6=0時(shí)，姿態(tài)矩陣奇異。

證明過(guò)程如下：

（1）當(dāng)。=0時(shí).

6（0）&（6）,W）

’100、<10（cw-si//0、

=0100cO--SG\s\f/ci//0

\001/\0sOc0z001

'0/7-SI//0、

=cOsi//cOcif/-sO

[s9swsOci/f皿

可以求出。和^的確定解，故姿態(tài)矩陣無(wú)奇異狀態(tài)。

（2）當(dāng)6=0時(shí)

必，廠（。招,〃）=凡（力凡,（0）凡心）

7放0、rl00、/W-si//0、

=C?0010sy/ci//0

\001z\001/X001z

'c/cw-S0S”-s0、

=sew+c（/>si//-s^sy/+c（j）cy/0

<°0ij

7（。+-）一S（0+〃）0、

=S0+夕）C（0+”）0

<001,

這是只能求出。與”的和，故姿態(tài)矩陣奇異。

3-17在歐拉角的定義中，連續(xù)旋轉(zhuǎn)總是基于正交（坐標(biāo)）軸來(lái)進(jìn)行的，這種限制是否是必須的？

答：不是的，是為了方便計(jì)算，因?yàn)檎惠S里各軸互不干涉。

3-18已知姿態(tài)矩陣

'同27/20、

R=6/43/4-1/2

1/475/4商2

/

求與之等效的z-x-z歐拉角。

答：由姿態(tài)矩陣

使10、

22

R=

V4-2

4~4~~

得

Z-Y-Z歐拉角：(sinOwO),兩組解

2

fn2

0-Atan2+

a4'2

0：30

0=，夕￡(0,7)=<。-90

W=120

W=Atan273J

4'4

0=Atan21

<9=-30

（/f=Atanli—,O

,?！辏?肛0）=<0=90

V/=-60

（431]

W-Atan24q

Z-Y-X歐拉角：(cos/9^0),兩組解

2

0=Atanl,1+

4'4

6>=-14.48

[V30

0=Atanl,。?0,4）=<0=26.57

”二26.57

代=As〃2庠

0=Atan2_1_㈤

4,2

0=—165.5

^=Atan2-,?！辏?乃,0）=?=-153.4

.=-153.4

…2呼，一

3-19已知姿態(tài)矩陣

100、

R=0J3/2-1/2

&1/26/2,

求與之等效的R-P-Y角。

答：因?yàn)?/p>

0=卜勺，)=Atan2(0,J1+0)=00g

所以存在兩組解。

1）第一組解

6=0

<(/>=Atan2[r2i+/;,)=Ar?z?2(0,1)=0

W=432（々,覆）二=30

2）第二組解

=4〃〃2(0,-VT73)=-180

肢二4〃九2(_0],_?；])=Atan2(0,-l)=-180

/1⑸

I//=Atan[-r^-r^=Atan—,----=-150

3-20已知姿態(tài)矩陣

求與之對(duì)應(yīng)的等效軸?角及相應(yīng)的歐拉參數(shù)。

答：直接代入

￡。=5，1+41+々+金

可得其歐拉參數(shù)為:

1111

4=5,與=5'*2=5*3=一耳

因此該姿態(tài)矩陣的單位四元數(shù)為:

再將姿態(tài)矩陣代入式（4.133）和式（4.135）中，可得等效軸-角為:

3-21T&T（Tilt&Torsion）是加拿大學(xué)者Benev提出的一種描述剛體姿態(tài)的方法，它實(shí)質(zhì)上是一種修正的

Z-KZ歐拉角。如果某類(lèi)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終滿(mǎn)足Torsion角為零，該機(jī)構(gòu)稱(chēng)為零扭角機(jī)構(gòu)（zero-

lorsionmechanism）。試通過(guò)查閱文獻(xiàn)，找出3~5種零扭角機(jī)構(gòu)的例子。

答：略

3-22試證明相似變換

&（。）=旦（0）&=R下3。一。）

答：已知姿態(tài)矩陣為正交矩陣，有

則可以得到

‘cos-“-sin一40、’cos。sin。0、

用（一。）=sin-°cos一00=一sin°cos^0

、001,【。o"

所以

叫晨或a—。）=凡（。）4（。）凡（一。）=R人力R、,（mR?S）

等式右邊得證

由于

cOs帆0-S0C。gsG

仇7)=cOs（/）c（l）-5放刖cOs'^+c1^s（/）s0

-S0C(/f-sOs(!)C0

/

轉(zhuǎn)換為等效轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角為

,J2cos。

^=cosT'1+=cos-0-------

22

一2sin0sin。r-sin。、

2cos0sinecos?

2sin0

0<°>

即存在旦(e)使得等式左邊得證.

綜上

凡⑹=R陽(yáng)R、S)WS)=

證畢

3-23若姿態(tài)矩陣

4%0、

R=Rl#22l\i

能用只具有兩個(gè)參數(shù)的歐拉角來(lái)描述，即

'c0-S00、

R=sdc。cOc。-s。

c放)

試確定這兩個(gè)歐拉角的取值范圍？

答