2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題20 數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題20數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和大題綜合考點(diǎn)十年考情（2015-2024）命題趨勢考點(diǎn)1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和（10年5考）2023·全國乙卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·全國新Ⅱ卷、2019·全國卷、2018·全國卷、2016·全國卷1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法，能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡單的問題該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，常考查利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)2.理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等差數(shù)列，或通過構(gòu)造為等差數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，需綜合復(fù)習(xí)3.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)4.熟練掌握裂項(xiàng)相消求和和、錯位相減求和、分組及并項(xiàng)求和，該內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，?？冀Y(jié)合不等式、最值及范圍考查，需重點(diǎn)綜合復(fù)習(xí)考點(diǎn)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和（10年4考）2020·全國卷、2019·全國卷2018·全國卷、2017·全國卷考點(diǎn)3等差等比綜合（10年6考）2022·全國新Ⅱ卷、2020·全國卷、2019·北京卷2017·北京卷、2017·全國卷、2016·北京卷2015·天津卷考點(diǎn)4數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造（10年9考）2024·全國甲卷、2024·全國甲卷、2023·全國甲卷2022·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·天津卷2021·浙江卷、2021·全國乙卷、2021·全國卷2020·全國卷、2019·全國卷、2018·全國卷2016·山東卷、2016·天津卷、2016·天津卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·全國卷2015·重慶卷、2015·全國卷考點(diǎn)5數(shù)列求和（10年10考）2024·天津卷、2024·全國甲卷、2024·全國甲卷2023·全國甲卷、2023·全國新Ⅱ卷、2022·天津卷2020·天津卷、2020·全國卷、2020·全國卷2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷2017·天津卷、2017·山東卷、2016·浙江卷2016·山東卷、2016·天津卷、2016·北京卷2015·浙江卷、2015·全國卷、2015·天津卷2015·天津卷、2015·山東卷、2015·山東卷2015·湖北卷、2015·安徽卷考點(diǎn)6數(shù)列中的不等式、最值及范圍問題（10年幾考）2023·全國新Ⅱ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全國乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷2015·重慶卷、2015·浙江卷、2015·四川卷2015·上海卷、2015·安徽卷考點(diǎn)7數(shù)列與其他知識點(diǎn)的關(guān)聯(lián)問題（10年5考）2024·上海卷、2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2019·全國卷、2017·浙江卷、2015·陜西卷2015·湖南卷考點(diǎn)01等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和1．（2023·全國乙卷·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）先求，討論的符號去絕對值，結(jié)合運(yùn)算求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得，即，解得，所以，（2）因?yàn)?，令，解得，且，?dāng)時，則，可得；當(dāng)時，則，可得；綜上所述：.2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程求解即可；（2）由為等差數(shù)列得出或，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，分類討論即可得解.【詳解】（1），，解得，，又，，即，解得或（舍去），.（2）為等差數(shù)列，，即，，即，解得或，，，又，由等差數(shù)列性質(zhì)知，，即，，即，解得或（舍去）當(dāng)時，，解得，與矛盾，無解；當(dāng)時，，解得.綜上，.3．（2021·全國新Ⅱ卷·高考真題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.4．（2019·全國·高考真題）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于和的方程組，求得和的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意有，根據(jù)，可知，根據(jù)，得到關(guān)于的不等式，從而求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，根據(jù)題意有，解答，所以，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由條件，得，即，因?yàn)?，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因?yàn)?，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識是正確解題的關(guān)鍵.5．（2018·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）求，并求的最小值．【答案】（1）；（2），最小值為–16．【分析】（1）方法一：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即得結(jié)果；（2）方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】（1）[方法一]：【通性通法】【最優(yōu)解】公式法設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得，，解得：，所以．[方法二]：函數(shù)+待定系數(shù)法設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)公式為，易得，由，即，即，解得：，所以．（2）[方法1]：鄰項(xiàng)變號法由可得．當(dāng)，即，解得，所以的最小值為，所以的最小值為．[方法2]：函數(shù)法由題意知，即，所以的最小值為，所以的最小值為．【整體點(diǎn)評】（1）方法一：直接根據(jù)基本量的計(jì)算，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差，即可得到通項(xiàng)公式，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的函數(shù)形式特征，以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程組求解；（2）方法一：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再利用鄰項(xiàng)變號法求最值；方法二：利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值．6．（2016·全國·高考真題）等差數(shù)列{}中，.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及已知條件求，，從而求得；（Ⅱ）由（Ⅰ）求，再求數(shù)列的前10項(xiàng)和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意有.解得.所以的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.當(dāng)n=1,2,3時，；當(dāng)n=4,5時，；當(dāng)n=6,7,8時，；當(dāng)n=9,10時，.所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和【名師點(diǎn)睛】求解本題時常出現(xiàn)以下錯誤：對“表示不超過的最大整數(shù)”理解出錯.考點(diǎn)02等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和1．（2020·全國·高考真題）設(shè)等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項(xiàng)和．若，求m．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列求和公式求得，根據(jù)已知列出關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意，有，解得，所以；（2）令，所以，根據(jù)，可得，整理得，因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，以及等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題目.2．（2019·全國·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)本題首先可以根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列將轉(zhuǎn)化為，轉(zhuǎn)化為，再然后將其帶入中，并根據(jù)數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)以及即可通過運(yùn)算得出結(jié)果；(2)本題可以通過數(shù)列的通項(xiàng)公式以及對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再通過數(shù)列的通項(xiàng)公式得知數(shù)列是等差數(shù)列，最后通過等差數(shù)列求和公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，所以令數(shù)列的公比為，，，所以，解得(舍去)或，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，．(2)因?yàn)?，所以，，，所以?shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列求和公式的使用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，是簡單題．3．（2018·全國·高考真題）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項(xiàng)和，解方程可得m．詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2017·全國·高考真題）記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列．【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】試題分析：（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式解得，即可求解；（2）利用等差中項(xiàng)證明Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列．試題解析：（1）設(shè)的公比為.由題設(shè)可得，解得，.故的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得.由于，故，，成等差數(shù)列.考點(diǎn)03等差等比綜合1．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡可得，即可解出．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．2．（2020·全國·高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3．（2019·北京·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；當(dāng)或者時，取到最小值.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.4．（2017·北京·高考真題）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n?1.（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進(jìn)行求解；（Ⅱ）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.

5．（2017·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5或.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為，由已知條件求出，再寫出通項(xiàng)公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，等比數(shù)列公比為有，即.（1）∵，結(jié)合得，∴.（2）∵，解得或3，當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.等差數(shù)列基本量的運(yùn)算是等差數(shù)列的一類基本題型，數(shù)列中的五個基本量一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，另外，解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項(xiàng)和的關(guān)系.6．（2016·北京·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）求出等比數(shù)列的公比，再求出a1，a14的值，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.試題解析：（1）等比數(shù)列的公比，所以，．設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?，，所以，即．所以（，，，）．?）由（1）知，，．因此．從而數(shù)列的前項(xiàng)和．【考點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力.【名師點(diǎn)睛】1.數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項(xiàng).通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一；2.數(shù)列的綜合問題涉及的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想（如：求最值或基本量）、轉(zhuǎn)化與化歸思想（如：求和或應(yīng)用）、特殊到一般思想（如：求通項(xiàng)公式）、分類討論思想（如：等比數(shù)列求和，或）等.7．（2015·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列的公比和數(shù)列的公差，由題意列出關(guān)于的方程組，求解方程組得到的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）由題意得，然后利用錯位相減法注得數(shù)列的前項(xiàng)和．試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公比為q,的公差為d,由題意,由已知,有消去d得解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）有,設(shè)的前n項(xiàng)和為,則兩式相減得所以．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【易錯點(diǎn)睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題：（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．（2）在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式．（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于和不等于兩種情況求解．考點(diǎn)04數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造1．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因?yàn)椋?，，兩式相減得，，，即，．4．（2022·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)椋储伲?dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時，．【整體點(diǎn)評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．5．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴6．（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【分析】（I）由等差數(shù)列的求和公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算可得的通項(xiàng)公式；（II）（i）運(yùn)算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進(jìn)而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解】（I）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)和為64．所以，所以，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負(fù)值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；（ii）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因?yàn)闊o法直接求解，應(yīng)先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.7．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.8．（2021·全國乙卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項(xiàng)的遞推關(guān)系,進(jìn)而證明數(shù)列是等差數(shù)列;（2）由（1）可得的表達(dá)式,由此得到的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得.【詳解】（1）[方法一]：由已知得,且，,取,由得,由于為數(shù)列的前n項(xiàng)積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差等差數(shù)列;[方法二]【最優(yōu)解】：由已知條件知

①于是．

②由①②得．

③又，

④由③④得．令，由，得．所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法三]：

由，得，且，，．又因?yàn)?，所以，所以．在中，?dāng)時，．故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．[方法四]：數(shù)學(xué)歸納法

由已知，得，，，，猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，且．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)時顯然成立．假設(shè)當(dāng)時成立，即．那么當(dāng)時，．綜上，猜想對任意的都成立．即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，,,當(dāng)n=1時，,當(dāng)n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.【整體點(diǎn)評】（1）方法一從得，然后利用的定義，得到數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)而替換相除消項(xiàng)得到相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，從而證得結(jié)論；方法二先從的定義，替換相除得到，再結(jié)合得到，從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；方法三由，得，由的定義得，進(jìn)而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想得到數(shù)列，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證得結(jié)論．（2）由（1）的結(jié)論得到，求得的表達(dá)式,然后利用和與項(xiàng)的關(guān)系求得的通項(xiàng)公式；9．（2021·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，且數(shù)列是等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列.【答案】證明見解析.【分析】先根據(jù)求出數(shù)列的公差，進(jìn)一步寫出的通項(xiàng)，從而求出的通項(xiàng)公式，最終得證.【詳解】∵數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為∴，∴，∴當(dāng)時，當(dāng)時，，滿足，∴的通項(xiàng)公式為，∴∴是等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】在利用求通項(xiàng)公式時一定要討論的特殊情況.10．（2020·全國·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當(dāng)時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當(dāng)時，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因?yàn)?，令，則，，所以．故．【整體點(diǎn)評】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡化了運(yùn)算．11．（2019·全國·高考真題）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析；（2），．【分析】(1)可通過題意中的以及對兩式進(jìn)行相加和相減即可推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列；(2)可通過(1)中的結(jié)果推導(dǎo)出數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出結(jié)果．【詳解】(1)由題意可知，，，，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，，因?yàn)椋?，?shù)列是首項(xiàng)、公差為的等差數(shù)列，．(2)由(1)可知，，，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．12．（2018·全國·高考真題）已知數(shù)列滿足，，設(shè)．（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式．【答案】（1），，；（2）是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．理由見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)，求得和，再利用，從而求得，，；（2）方法一：利用條件可以得到，從而可以得出，這樣就可以得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（3）方法一：借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而求得.【詳解】（1）由條件可得，將代入得，，而，所以，．將代入得，，所以，．從而，，；（2）[方法1]：【通性通法】定義法由以及可知，，，所以，，又，所以為等比數(shù)列．[方法2]：等比中項(xiàng)法由知，所以，．由知，所以．所以為等比數(shù)列．（3）[方法1]：【最優(yōu)解】定義法由（2）知，所以．[方法2]：累乘法因?yàn)椋鄢说茫海裕菊w點(diǎn)評】（2）方法一：利用定義證明數(shù)列為等比數(shù)列，是通性通法；方法二：利用等差中項(xiàng)法判斷數(shù)列為等比數(shù)列，也是常用方法；（3）方法一：根據(jù)（2）中結(jié)論利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，是該題的最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式特征利用累乘法求通項(xiàng)公式．13．（2016·山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【詳解】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題.“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項(xiàng)的符號；③求和時注意項(xiàng)數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.14．（2016·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的是和的等比中項(xiàng).（Ⅰ）設(shè)，求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求證：【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)等比中項(xiàng)定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（Ⅱ）對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項(xiàng)相消法求和，易得結(jié)論.試題解析：（I）證明：由題意得，有，因此，所以是等差數(shù)列.（Ⅱ）證明：所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比中項(xiàng)、分組求和、裂項(xiàng)相消求和15．（2016·天津·高考真題）已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）求等比數(shù)列通項(xiàng)，一般利用待定系數(shù)法：先由，解得，分別代入，得，；（Ⅱ）先根據(jù)等差中項(xiàng)得，再利用分組求和法求和：.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列的公比為，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（Ⅱ）解：由題意，得，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前項(xiàng)和公式【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．（2）通項(xiàng)公式為的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．16．（2016·全國·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中．（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到數(shù)列的遞推公式，即可得到是等比數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前項(xiàng)和，結(jié)合的值，建立方程可求得的值．試題解析：（Ⅰ）由題意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得.【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項(xiàng)法，即證明．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解．17．（2016·全國·高考真題）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿足，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】試題分析：（Ⅰ）將代入遞推公式求得，將的值代入遞推公式可求得；（Ⅱ）將已知的遞推公式進(jìn)行因式分解，然后由定義可判斷數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．試題解析：（Ⅰ）由題意，得.（Ⅱ）由得.因?yàn)榈母黜?xiàng)都為正數(shù)，所以.故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此.【考點(diǎn)】數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項(xiàng)法，即證明．根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解．18．（2016·全國·高考真題）已知是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列滿足．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求的前n項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求；（Ⅱ）求出通項(xiàng)，再利用等比數(shù)列求和公式來求.試題解析：（Ⅰ）由已知，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）和得，因此是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.記的前項(xiàng)和為，則【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.19．（2015·重慶·高考真題）在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會得出），從而，所以是等比數(shù)列，由其通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題，數(shù)列的遞推關(guān)系是可變形為,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個結(jié)論可知，因此，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.（1）由,有若存在某個，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對任意,.從而，即是一個公比的等比數(shù)列.故.（2）由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)樽冃螢?由上式及，歸納可得因?yàn)椋詫η蠛偷昧硪环矫?，由上已證的不等式知得綜上：考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識．20．（2015·全國·高考真題）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）求出bn，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【詳解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3兩式相減得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，則{an}是首項(xiàng)為3，公差d＝2的等差數(shù)列，∴{an}的通項(xiàng)公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn（）（）.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)05數(shù)列求和1．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（?。┊?dāng)時，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見詳解；②【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.2．（2024·全國甲卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求的通項(xiàng)公式．（2）利用錯位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.3．（2024·全國甲卷·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.4．（2023·全國甲卷·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，所以，化簡得：，當(dāng)時，，即，當(dāng)時都滿足上式，所以．（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，，即，．5．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.6．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)椋裕O(shè)所以，則，作差得，所以，所以.7．（2020·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯位相減求和計(jì)算和的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列的前2n項(xiàng)和即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.由，，可得d=1.從而的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，可得，解得q=2，從而的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，故，，從而，所以.(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時，，當(dāng)n為偶數(shù)時，，對任意的正整數(shù)n，有，和①由①得②由①②得，由于，從而得：.因此，.所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項(xiàng)求和，錯位相減求和等，屬于中等題.8．（2020·全國·高考真題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明；（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn．【答案】（1），，，證明見解析；（2）.【分析】（1）方法一：（通性通法）利用遞推公式得出，猜想得出的通項(xiàng)公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）方法一：（通性通法）根據(jù)通項(xiàng)公式的特征，由錯位相減法求解即可．【詳解】（1）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即．證明如下：當(dāng)時，成立；假設(shè)時，成立.那么時，也成立.則對任意的，都有成立；［方法二］：構(gòu)造法由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以．［方法三］：累加法由題意可得，．由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當(dāng)時也符合上式．綜上所述，．［方法四］：構(gòu)造法，猜想．由于，所以可設(shè)，其中為常數(shù)．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項(xiàng)均為0的常數(shù)列，故，即．（2）由（1）可知，［方法一］：錯位相減法，①，②由①②得：，即.［方法二］【最優(yōu)解】：裂項(xiàng)相消法，所以．［方法三］：構(gòu)造法當(dāng)時，，設(shè)，即，則，解得．所以，即為常數(shù)列，而，所以．故．［方法四］：因?yàn)?，令，則，，所以．故．【整體點(diǎn)評】（1）方法一：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)從而歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優(yōu)解；方法二：根據(jù)遞推式，代換得，兩式相減得，設(shè)，從而簡化遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可求出，從而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法三：由化簡得，根據(jù)累加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；方法四：通過遞推式求出數(shù)列的部分項(xiàng)，歸納得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)待定系數(shù)法將遞推式變形成，求出，從而可得構(gòu)造數(shù)列為常數(shù)列，即得數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）方法一：根據(jù)通項(xiàng)公式的特征可知，可利用錯位相減法解出，該法也是此類題型的通性通法；方法二：根據(jù)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，由裂項(xiàng)相消法求出，過程簡單，是本題的最優(yōu)解法；方法三：由時，，構(gòu)造得到數(shù)列為常數(shù)列，從而求出；方法四：將通項(xiàng)公式分解成，利用分組求和法分別求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可，其中數(shù)列的前項(xiàng)和借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過賦值的方式求出，思路新穎獨(dú)特，很好的簡化了運(yùn)算．9．（2020·全國·高考真題）設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知結(jié)合等差中項(xiàng)關(guān)系，建立公比的方程，求解即可得出結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合條件得出的通項(xiàng)，根據(jù)的通項(xiàng)公式特征，用錯位相減法，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)的公比為，為的等差中項(xiàng)，，；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，，，①，②①②得，，.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10．（2019·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知，，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.【答案】（I），；（II）【分析】（I）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，根據(jù)題意，列出方程組，求得，進(jìn)而求得等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）根據(jù)題中所給的所滿足的條件，將表示出來，之后應(yīng)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，以及錯位相減法求和，最后求得結(jié)果.【詳解】（I）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得，故，，所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（II），記

①則

②②①得，，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.11．（2019·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足其中.（i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ii）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）【分析】(Ⅰ)由題意首先求得公比和公差，然后確定數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合所得的通項(xiàng)公式對所求的數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行等價變形，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.依題意得，解得，故，.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.(Ⅱ)(i).所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(ii).【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列?等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查化歸與轉(zhuǎn)化思想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.12．（2018·天津·高考真題）設(shè){an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n∈N*）；{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（Ⅰ）求Sn和Tn；（Ⅱ）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整數(shù)n的值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)4.【分析】（I）由題意得到關(guān)于q的方程，解方程可得，則.結(jié)合題意可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差為，則其前n項(xiàng)和.（II）由（I），知據(jù)此可得解得（舍），或.則n的值為4.【詳解】（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由b1=1，b3=b2+2，可得．因?yàn)椋傻?，故．所以，．設(shè)等差數(shù)列的公差為．由，可得．由，可得從而，故，所以，．（II）由（I），有由,可得，整理得解得（舍），或．所以n的值為4．點(diǎn)睛：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.13．（2017·天津·高考真題）已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）..（Ⅱ）.【詳解】試題分析：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程求出等差數(shù)列首項(xiàng)和公差及等比數(shù)列的公比，寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求出數(shù)列的和，要求計(jì)算要準(zhǔn)確.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為.由已知，得，而，所以.又因?yàn)?，解?所以，.由，可得.由，可得，聯(lián)立①②，解得，由此可得.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）解：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，，上述兩式相減，得.得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)和公差或公比，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯位相減法，裂項(xiàng)相消法和分組求和法等，本題考查錯位相減法求和.14．（2017·山東·高考真題）已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且.(I)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；(II){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【詳解】試題分析：（Ⅰ）列出關(guān)于的方程組,解方程組求基本量；（Ⅱ）用錯位相減法求和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公比為，由題意知：.又，解得：，所以.（Ⅱ）由題意知：，又所以,令,則，因此,又,兩式相減得所以.【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng),錯位相減法求和.【名師點(diǎn)睛】(1)等比數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公比q,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個量a1,an,q,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了方程的思想．(2)用錯位相減法求和時,應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式，若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．15．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{||}的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：本題主要考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，同時考查數(shù)列基本思想方法，以及推理論證能力.試題解析：（Ⅰ）由題意得，則又當(dāng)時，由，得.又,所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）設(shè)，，.當(dāng)時，由于，故.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.當(dāng)時，，滿足上式，所以，【考點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識.【方法點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常用方法：（1）錯位相減法：形如數(shù)列的求和，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）裂項(xiàng)法：形如數(shù)列或的求和，其中，是關(guān)于的一次函數(shù)；（3）分組法：數(shù)列的通項(xiàng)公式可分解為幾個容易求和的部分．16．（2016·山東·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【詳解】試題分析：（1）先由公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；進(jìn)而列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，再利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由題意知當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以．設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以．（2）由（1）知，又，得，，兩式作差，得所以．考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和.【易錯點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于難題.“錯位相減法”求數(shù)列的前項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積）；②相減時注意最后一項(xiàng)的符號；③求和時注意項(xiàng)數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時除以.17．（2016·天津·高考真題）已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）求等比數(shù)列通項(xiàng)，一般利用待定系數(shù)法：先由，解得，分別代入，得，；（Ⅱ）先根據(jù)等差中項(xiàng)得，再利用分組求和法求和：.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列的公比為，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（Ⅱ）解：由題意，得，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前項(xiàng)和公式【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．（2）通項(xiàng)公式為的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．18．（2016·北京·高考真題）已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)cn=an+bn，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式．【答案】（1）；（2）【詳解】試題分析：（1）求出等比數(shù)列的公比，再求出a1，a14的值，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.試題解析：（1）等比數(shù)列的公比，所以，．設(shè)等差數(shù)列的公差為．因?yàn)?，，所以，即．所以（，，，）．?）由（1）知，，．因此．從而數(shù)列的前項(xiàng)和．【考點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查運(yùn)算能力.【名師點(diǎn)睛】1.數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項(xiàng)的研究，而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列{Sn}的通項(xiàng).通項(xiàng)及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一；2.數(shù)列的綜合問題涉及的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想（如：求最值或基本量）、轉(zhuǎn)化與化歸思想（如：求和或應(yīng)用）、特殊到一般思想（如：求通項(xiàng)公式）、分類討論思想（如：等比數(shù)列求和，或）等.19．（2015·浙江·高考真題）已知數(shù)列和滿足，（1）求與；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系式，確定數(shù)列的特點(diǎn)，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）問得到新的數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和.試題解析：（1）由，得.當(dāng)時，，故.當(dāng)時，，整理得，所以.（2）由（1）知，所以所以所以.考點(diǎn)：1.等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的遞推關(guān)系式；3.錯位相減法求和.20．（2015·全國·高考真題）為數(shù)列{}的前項(xiàng)和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè),求數(shù)列{}的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（I）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用作差法即可求{an}的通項(xiàng)公式：（Ⅱ）求出bn，利用裂項(xiàng)法即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【詳解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3兩式相減得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，則{an}是首項(xiàng)為3，公差d＝2的等差數(shù)列，∴{an}的通項(xiàng)公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn（）（）.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和的計(jì)算，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．21．（2015·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列的公比和數(shù)列的公差，由題意列出關(guān)于的方程組，求解方程組得到的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）由題意得，然后利用錯位相減法注得數(shù)列的前項(xiàng)和．試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公比為q,的公差為d,由題意,由已知,有消去d得解得,所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（Ⅰ）有,設(shè)的前n項(xiàng)和為,則兩式相減得所以．考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【易錯點(diǎn)睛】用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題：（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．（2）在寫出“”與“”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式．（3）在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于和不等于兩種情況求解．22．（2015·天津·高考真題）已知數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（Ⅰ）求的值和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【詳解】（Ⅰ）由已知，有，即，所以，又因?yàn)?，故，由，得，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以的通項(xiàng)公式為（Ⅱ）由（Ⅰ）得，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，兩式相減得，整理得所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.考點(diǎn)：等差數(shù)列定義、等比數(shù)列及前項(xiàng)和公式、錯位相減法求和.23．（2015·山東·高考真題）已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，令得，所以.令得，所以.解得，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以所以兩式相減，得所以考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.數(shù)列的求和、“錯位相減法”.24．（2015·山東·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解；（Ⅱ）結(jié)合第（Ⅰ）問的結(jié)果，利用關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合其通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，采用錯位相減法求其前n項(xiàng)和.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，故?dāng)時，此時，即所以，（Ⅱ）因?yàn)?，所以，?dāng)時，所以，當(dāng)時，，所以，兩式相減，得所以，經(jīng)檢驗(yàn)，時也適合，綜上可得：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，特殊數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵在于運(yùn)用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，注意考慮的情況，屬于中檔題.25．（2015·湖北·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為．已知，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用前10項(xiàng)和與首項(xiàng)、公差的關(guān)系，聯(lián)立方程組計(jì)算即可；（2）當(dāng)d＞1時，由（1）知cn，寫出Tn、Tn的表達(dá)式，利用錯位相減法及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）設(shè)a1＝a，由題意可得，解得，或，當(dāng)時，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；當(dāng)時，an（2n+79），bn＝9?；（2）當(dāng)d＞1時，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3?5?7?9?（2n﹣1）?，∴Tn＝1?3?5?7?（2n﹣3）?（2n﹣1）?，∴Tn＝2（2n﹣1）?3，∴Tn＝6．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)及求和，利用錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．26．（2015·安徽·高考真題）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【詳解】試題分析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，根據(jù)已知由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，聯(lián)立解方程再由數(shù)列為遞增數(shù)列可得則通項(xiàng)公式可得（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，有所以，裂項(xiàng)求和即可試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，所以有聯(lián)立兩式可得或者又因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以q>1，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，有所以所以考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，數(shù)列求和考點(diǎn)06數(shù)列中的不等式、最值及范圍問題1．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時，．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)時，，因此，所以當(dāng)時，.2．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴3．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記的前n項(xiàng)和為，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯位相減法求出，對任意恒成立，分類討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時不等式恒成立；時，，得；時，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對討論，還要注意時，分離參數(shù)不等式要變號.4．（2021·全國乙卷·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.5．（2020·浙江·高考真題）已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}中，．（Ⅰ）若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且公比，且，求q與{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差，證明：．【答案】（I）；（II）證明見解析.【分析】（I）根據(jù)，求得，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）利用累乘法求得數(shù)列的表達(dá)式，結(jié)合裂項(xiàng)求和法證得不等式成立.【詳解】（I）依題意，而，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.所以（）.所以，又，符合，故.（II）依題意設(shè)，由于，所以，故.又，而，故所以.由于，所以，所以.即，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查累加法、累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.6．（2019·浙江·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】(1)首先求得數(shù)列的首項(xiàng)和公差確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合三項(xiàng)成等比數(shù)列的充分必要條件整理計(jì)算即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合(1)的結(jié)果對數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，然后利用不等式的性質(zhì)和裂項(xiàng)求和的方法即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由題意可得：，解得：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.其前n項(xiàng)和.則成等比數(shù)列，即：，據(jù)此有：，故.(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式可得：，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，，裂項(xiàng)求和的方法，數(shù)列中用放縮法證明不等式的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7．（2017·北京·高考真題）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n?1.（2）【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進(jìn)行求解；（Ⅱ）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.

8．（2016·浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列滿足，．（Ⅰ）證明：，；（Ⅱ）若，，證明：，．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）先利用三角形不等式得，變形為，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，進(jìn)而可得，再利用的任意性可證．試題解析：（Ⅰ）由得，故，，所以，因此．（Ⅱ）任取，由（Ⅰ）知，對于任意，，故．從而對于任意，均有．由的任意性得．①否則，存在，有，取正整數(shù)且，則，與①式矛盾．綜上，對于任意，均有．9．（2016·天津·高考真題）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的是和的等比中項(xiàng).（Ⅰ）設(shè)，求證：是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求證：【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)等比中項(xiàng)定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（Ⅱ）對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項(xiàng)相消法求和，易得結(jié)論.試題解析：（I）證明：由題意得，有，因此，所以是等差數(shù)列.（Ⅱ）證明：所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比中項(xiàng)、分組求和、裂項(xiàng)相消求和10．（2015·重慶·高考真題）在數(shù)列中，（1）若求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若證明：【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】試題分析：（1）由于，因此把已知等式具體化得，顯然由于，則（否則會得出），從而，所以是等比數(shù)列，由其通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）本小題是數(shù)列與不等式的綜合性問題，數(shù)列的遞推關(guān)系是可變形為,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有，這里應(yīng)用了累加求和的思想方法，由這個結(jié)論可知，因此，這樣結(jié)論得證，本題不等式的證明應(yīng)用了放縮法.（1）由,有若存在某個，使得，則由上述遞推公式易得，重復(fù)上述過程可得，此與矛盾，所以對任意,.從而，即是一個公比的等比數(shù)列.故.（2）由，數(shù)列的遞推關(guān)系式變?yōu)樽冃螢?由上式及，歸納可得因?yàn)椋詫η蠛偷昧硪环矫?，由上已證的不等式知得綜上：考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推公式，不等式的證明，放縮法.，考查探究能力和推理論證能力，考查創(chuàng)新意識．11．（2015·浙江·高考真題）已知數(shù)列滿足=且=-（）.（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明