2015-2024年十年高考數(shù)學真題分類匯編專題22 概率統(tǒng)計及數(shù)字特征大題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題22概率統(tǒng)計及數(shù)字特征大題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1獨立性檢驗為載體及其應用（10年6考）2024·全國甲卷、2023·全國甲卷、2022·全國新Ⅰ卷2022·全國甲卷、2021·全國甲卷、2020·海南卷、2020·山東卷2020·全國卷、2017·全國卷熟練掌握獨立性檢驗和線性回歸直線方程的求解，該內容會繼續(xù)作為載體內容命題熟練掌握二項分布、超幾何分布及其他類別的分布列與期望方差問題，同樣是高考命題熱點掌握對立事件、相互獨立事件的概率求解，會求古典概率、條件概率、全概率，同樣是高考命題熱點要會概率統(tǒng)計的綜合運算及知識雜糅問題考點2線性回歸直線方程為載體及其應用（10年6考）2022·全國乙卷2020·全國卷2018·全國卷2017·全國卷2017·全國卷2016·全國卷2015·重慶卷考點3賽事類（分配類）的分布列及期望方差（10年9考）2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國甲卷2022·北京卷、2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·天津卷2019·全國卷、2017·山東卷、2016·山東卷、2016·天津卷2015·重慶卷、2015·天津卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·福建卷考點4其他類型的分布列及期望方差（10年9考）2024·北京卷、2023·全國新Ⅰ卷、2021·北京卷、2020·江蘇卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·全國卷、2017·全國卷2017·江蘇卷、2016·全國卷、2015·山東卷考點5條件概率、全概率公式、貝葉斯公式（10年2考）2023·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅰ卷、2022·全國新Ⅱ卷考點6求解數(shù)字樣本特征及應用（10年3考）2023·全國乙卷、2021·全國乙卷、2015·廣東卷考點7概率統(tǒng)計的實際應用與決策問題（10年7考）2024·全國甲卷、2023·全國新Ⅱ卷、2023·北京卷、2020·北京卷2020·全國卷、2019·北京卷、2019·全國卷、2018·全國卷2017·北京卷、2016·四川卷、2016·北京卷、2016·全國卷2016·全國卷、2016·全國卷、2015·陜西卷、2015·全國卷考點8概率統(tǒng)計與其他知識的雜糅問題（10年4考）2023·全國新Ⅱ卷、2021·全國新Ⅱ卷2020·江蘇卷、2019·全國卷考點01獨立性檢驗為載體及其應用1．（2024·全國甲卷·高考真題）某工廠進行生產線智能化升級改造，升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150(1)填寫如下列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有的把握認為甲，乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？(2)已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率，設為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率.如果，則認為該工廠產品的優(yōu)級品率提高了，根據(jù)抽取的150件產品的數(shù)據(jù)，能否認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了？（）附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見詳解(2)答案見詳解【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算，并與臨界值對比分析；（2）用頻率估計概率可得，根據(jù)題意計算，結合題意分析判斷.【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間2624乙車間7030可得，因為，所以有的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異，沒有的把握認為甲，乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異.（2）由題意可知：生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品的頻率為，用頻率估計概率可得，又因為升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率，則，可知，所以可以認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了.2．（2023·全國甲卷·高考真題）一項試驗旨在研究臭氧效應.實驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到實驗組，另外20只分配到對照組，實驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.(1)設表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；(2)實驗結果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.8

26.5

27.5

30.132.6

34.3

34.8

35.6

35.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2實驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.5

18.0

18.8

19.219.8

20.2

21.6

22.8

23.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（i）求40只小鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：對照組實驗組（ii）根據(jù)（i）中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異．附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)分布列見解析，(2)（i）；列聯(lián)表見解析，（ii）能【分析】（1）利用超幾何分布的知識即可求得分布列及數(shù)學期望；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨立性檢驗的卡方計算進行檢驗，即可得解.【詳解】（1）依題意，的可能取值為，則，，，所以的分布列為：故.（2）（i）依題意，可知這40只小白鼠體重增量的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，觀察數(shù)據(jù)可得第20位為，第21位數(shù)據(jù)為，所以，故列聯(lián)表為：合計對照組61420實驗組14620合計202040（ii）由（i）可得，，所以能有的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與正常環(huán)境中體重的增加量有差異.3．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090(1)能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R．（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調查數(shù)據(jù)，給出的估計值，并利用（?。┑慕Y果給出R的估計值．附，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案見解析(2)（i）證明見解析；(ii)；【分析】(1)由所給數(shù)據(jù)結合公式求出的值，將其與臨界值比較大小，由此確定是否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異；(2)(i)根據(jù)定義結合條件概率公式即可完成證明；(ii)根據(jù)（i）結合已知數(shù)據(jù)求.【詳解】（1）由已知，又，，所以有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）(i)因為，所以所以，(ii)由已知，，又，，所以4．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運營，為了解這兩家公司長途客車的運行情況，隨機調查了甲、乙兩城之間的500個班次，得到下面列聯(lián)表：準點班次數(shù)未準點班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準點的概率；(2)能否有90%的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)A，B兩家公司長途客車準點的概率分別為，(2)有【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計算，再利用臨界值表比較即可得結論.【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準點班次有240次，設A家公司長途客車準點事件為M，則；B共有班次240次，準點班次有210次，設B家公司長途客車準點事件為N，則.A家公司長途客車準點的概率為；B家公司長途客車準點的概率為.（2）列聯(lián)表準點班次數(shù)未準點班次數(shù)合計A24020260B21030240合計45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為甲、乙兩城之間的長途客車是否準點與客車所屬公司有關.5．（2021·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【分析】根據(jù)給出公式計算即可【詳解】（1）甲機床生產的產品中的一級品的頻率為,乙機床生產的產品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異.6．（2020·海南·高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：

3218468123710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，0.050

0.010

0.0013.841

6.63510.828【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.7．（2020·山東·高考真題）為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質量進行調研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有.【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，所以該市一天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.8．（2020·全國·高考真題）某學生興趣小組隨機調查了某市100天中每天的空氣質量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次空氣質量等級[0，200](200，400](400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計該市一天的空氣質量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（3）若某天的空氣質量等級為1或2，則稱這天“空氣質量好”；若某天的空氣質量等級為3或4，則稱這天“空氣質量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關？人次≤400人次>400空氣質量好空氣質量不好附：，P(K2≥k)0.050

0.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）該市一天的空氣質量等級分別為、、、的概率分別為、、、；（2）；（3）有，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質量等級分別為、、、的概率；（2）利用每組的中點值乘以頻數(shù)，相加后除以可得結果；（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，再結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質量等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為，等級為的概率為；（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為（3）列聯(lián)表如下：人次人次空氣質量好空氣質量不好，因此，有的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質量有關.【點睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨立性檢驗的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.9．（2017·全國·高考真題）（2017新課標全國II理科）海水養(yǎng)殖場進行某水產品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下：

(1)設兩種養(yǎng)殖方法的箱產量相互獨立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于50kg”，估計A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關：箱產量＜50kg箱產量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）．附：，【答案】(1)；(2)列聯(lián)表見解析，有；(3).【分析】（1）利用相互獨立事件概率公式即可求得事件A的概率估計值.（2）寫出列聯(lián)表計算的觀測值，即可確定有99%的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.（3）結合頻率分布直方圖估計中位數(shù)為．【詳解】（1）記表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產量低于”，表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產量不低于”，舊養(yǎng)殖法的箱產量低于的頻率為，即的估計值為0.62，新養(yǎng)殖法的箱產量不低于的頻率為，即的估計值為0.66，因此事件A的概率估計值為.（2）根據(jù)箱產量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表：箱產量箱產量合計舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100合計96104200，所以有的把握認為箱產量與養(yǎng)殖方法有關.（3）因為新養(yǎng)殖法的箱產量頻率分布直方圖中，箱產量低于的直方圖面積為，箱產量低于的直方圖面積為，所以新養(yǎng)殖法箱產量的中位數(shù)的估計值為.考點02線性回歸直線方程為載體及其應用1．（2022·全國乙卷·高考真題）某地經過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得．(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．附：相關系數(shù)．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）計算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關系數(shù)公式去計算即可求得樣本的相關系數(shù)值；（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為2．（2020·全國·高考真題）某沙漠地區(qū)經過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關系數(shù)r=，≈1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應采用分層抽樣.【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關系數(shù)為（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結構與總體結構的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.【點晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學生數(shù)學運算能力，是一道容易題.3．（2018·全國·高考真題）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖．

為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：．

（1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．【答案】（1）利用模型①預測值為226.1，利用模型②預測值為256.5，（2）利用模型②得到的預測值更可靠．【詳解】分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，所以分別求自變量為2018時所對應的函數(shù)值，就得結果;（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預測.詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=–30.4+13.5×19=226.1（億元）．利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=99+17.5×9=256.5（億元）．（2）利用模型②得到的預測值更可靠．理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．（ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠．點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù).4．（2017·全國·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設生產狀態(tài)正常，記X表示一天內抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學期望；（2）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經計算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計值，用樣本標準差s作為σ的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1），（2）（?。┮娫斀?；（ⅱ）需要.,【分析】（1）依題知一個零件的尺寸在之內的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進而可以求出的數(shù)學期望.（2）（i）判斷監(jiān)控生產過程的方法的合理性，重點是考慮一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）計算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計值.【詳解】（1）抽取的一個零件的尺寸在之內的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學期望為.（2）（i）如果生產狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產過程進行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為.【點睛】本題考查正態(tài)分布的實際應用以及離散型隨機變量的數(shù)學期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細心計算，屬中檔題.5．（2017·全國·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每隔從該生產線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：）．下面是檢驗員在一天內依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經計算得，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．（1）求的相關系數(shù)，并回答是否可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ簦瑒t可以認為零件的尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?）一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查．（ⅰ）從這一天抽檢的結果看，是否需對當天的生產過程進行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產線當天生產的零件尺寸的均值與標準差．（精確到）附：樣本的相關系數(shù)，．【答案】（1）可以；（2）（?。┬枰唬áⅲ?，.【分析】（1）依公式求；（2）（i）由，得抽取的第13個零件的尺寸在以外，因此需對當天的生產過程進行檢查；（ii）剔除第13個數(shù)據(jù)，則均值的估計值為10.02，方差為0.09．【詳解】（1）由樣本數(shù)據(jù)得的相關系數(shù)為.由于，因此可以認為這一天生產的零件尺寸不隨生產過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小.（2）（i）由于，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在以外，因此需對當天的生產過程進行檢查.（ii）剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產線當天生產的零件尺寸的均值的估計值為10.02.，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，這條生產線當天生產的零件尺寸的標準差的估計值為.【點睛】解答新穎的數(shù)學題時，一是通過轉化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運用數(shù)學思想方法，以“新”制“新”，應特別關注創(chuàng)新題型的切入點和生長點．6．（2016·全國·高考真題）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（Ⅱ）建立y關于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646.參考公式：相關系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)答案見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)相關系數(shù)的公式求出相關數(shù)據(jù)后，代入公式即可求得的值，最后根據(jù)值的大小回答即可；（Ⅱ）準確求得相關數(shù)據(jù)，利用最小二乘法建立y關于t的回歸方程，然后預測．試題解析：（Ⅰ）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，.因為與的相關系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，.所以，關于的回歸方程為：.將2016年對應的代入回歸方程得：.所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.【考點】線性相關系數(shù)與線性回歸方程的求法與應用．【方法點撥】（1）判斷兩個變量是否線性相關及相關程度通常有兩種方法：（1）利用散點圖直觀判斷；（2）將相關數(shù)據(jù)代入相關系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進行判斷．求線性回歸方程時要嚴格按照公式求解，并一定要注意計算的準確性．7．（2015·重慶·高考真題）隨著我國經濟的發(fā)展，居民的儲蓄存款逐年增長.設某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款（年底余額）如下表：年份20102011201220132014時間代號12345儲蓄存款（千億元）567810（Ⅰ）求y關于t的回歸方程（Ⅱ）用所求回歸方程預測該地區(qū)2015年（）的人民幣儲蓄存款.附：回歸方程中【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.【詳解】試題分析：（Ⅰ）列表分別計算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，（Ⅱ）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款．試題解析：（1）列表計算如下i11515226412337921448163255102550153655120這里又從而.故所求回歸方程為.（2）將代入回歸方程可預測該地區(qū)2015年的人民幣儲蓄存款為考點：線性回歸方程.考點03賽事類（分配類）的分布列及期望方差1．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段.第二階段由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據(jù)對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【詳解】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，，，，應該由甲參加第一階段比賽.(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，，，，，記乙先參加第一階段比賽，比賽成績的所有可能取值為0，5，10，15，同理，因為，則，，則，應該由甲參加第一階段比賽.【點睛】關鍵點點睛：本題第二問的關鍵是計算出相關概率和期望，采用作差法并因式分解從而比較出大小關系，最后得到結論.2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．3．（2022·全國甲卷·高考真題）甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局．三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍．已知甲學校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結果相互獨立．(1)求甲學校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個項目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計算出對應的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為，所以甲學校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.4．（2022·北京·高考真題）在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到以上（含）的同學將獲得優(yōu)秀獎．為預測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總人數(shù)，估計X的數(shù)學期望E（X）；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？（結論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計算出X的數(shù)學期望.(3)

計算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計值最大.【詳解】（1）由頻率估計概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計值最大.因為鉛球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.5．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先回答類問題．6．（2020·全國·高考真題）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四局以內結束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出甲贏的基本事件，結合獨立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內結束比賽的概率為，所以，需要進行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.【點睛】本題考查獨立事件概率的計算，解答的關鍵就是列舉出符合條件的基本事件，考查計算能力，屬于中等題.7．（2019·天津·高考真題）設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（Ⅰ）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【分析】(Ⅰ)由題意可知分布列為二項分布，結合二項分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學期望即可；(Ⅱ)由題意結合獨立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.【詳解】(Ⅰ)因為甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天7:30之前到校的概率均為，故，從面.所以，隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望.(Ⅱ)設乙同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為，則.且.由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨立，從而由(Ⅰ)知：.【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件和相互獨立事件的概率計算公式等基礎知識.考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力.8．（2019·全國·高考真題）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【答案】（1）；（2）0.1【分析】(1)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果；(2)本題首先可以通過題意推導出所包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結果．【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以【點睛】本題考查古典概型的相關性質，能否通過題意得出以及所包含的事件是解決本題的關鍵，考查推理能力，考查學生從題目中獲取所需信息的能力，是中檔題．9．（2017·山東·高考真題）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.【答案】（1）（2）見解析【詳解】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進一步計算X的數(shù)學期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學期望是=【名師點睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計算公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學應用意識、基本運算求解能力等.10．（2016·山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結果亦互不影響．假設“星隊”參加兩輪活動，求：（Ⅰ）“星隊”至少猜對3個成語的概率；（Ⅱ）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學期望EX．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【詳解】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊”至少猜對3個成語所包含的基本事件，由獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得到的分布列，根據(jù)期望公式求解.試題解析：（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊’至少猜對3個成語”.由題意，由事件的獨立性與互斥性，,所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為.（Ⅱ）由題意，隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機變量的分布列為012346P所以數(shù)學期望.【考點】獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和數(shù)學期望【名師點睛】本題主要考查獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機變量的分布列和數(shù)學期望.解答本題，首先要準確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個數(shù)，利用獨立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數(shù)學應用意識、基本運算求解能力等.11．（2016·天津·高考真題）邗江中學高二年級某班某小組共10人，利用寒假參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為2，4，4．現(xiàn)從這10人中選出2人作為該組代表參加座談會．（1）記“選出2人參加義工活動的次數(shù)之和為4”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）（2）.【分析】（1）由已知得，即可得到事件的概率.（2）由題意得，得到隨機變量的所有可能取值，利用組合知識，結合古典概型概率公式求得隨機變量取每個值的概率，即可得到隨機變量的分布列，利用期望公式計算其數(shù)學期望.【詳解】（1）由已知得.所以事件發(fā)生的概率為.（2）隨機變量的所有可能取值為0，1，2計算，，；所以隨機變量的分布列為：隨機變量的數(shù)學期望為.【點睛】本題主要考查了古典概型概率公式的應用及隨機變量的分布列、數(shù)學期望，屬于中檔題.求解數(shù)學期望問題，首先要正確理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關.12．（2015·重慶·高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有個粽子，其中豆沙粽個，肉粽個，白粽個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取個．（）求三種粽子各取到個的概率．（）設表示取到的豆沙粽個數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．【答案】(1);(2)見解析.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式進行計算即可；（Ⅱ）隨機變量X的取值為：0，1，2，別求出對應的概率，即可求出分布列和期望試題解析：（1）令A表示事件“三種粽子各取到1個”，由古典概型的概率計算公式有P（A）＝＝.（2）X的可能取值為0,1,2，且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝綜上知，X的分布列為：X012P故E（X）＝0×＋1×＋2×＝（個）考點：離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式13．（2015·天津·高考真題）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.（1）設為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件發(fā)生的概率；（2）設為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）.【詳解】（Ⅰ）由已知，有所以事件發(fā)生的概率為.（Ⅱ）隨機變量的所有可能取值為所以隨機變量的分布列為所以隨機變量的數(shù)學期望考點：古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望.14．（2015·湖南·高考真題）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎.（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（1）；（2）詳分布列見解析，.【分析】（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝｛顧客抽獎1次獲一等獎｝，｛顧客抽獎1次獲二等獎｝，｛顧客抽獎1次能獲獎｝，則可知與相互獨立，與互斥，與互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析題意可知，分別求得；；；，即可知的概率分布及其期望.【詳解】（1）記事件｛從甲箱中摸出的1個球是紅球｝，｛從乙箱中摸出的1個球是紅球｝，｛顧客抽獎1次獲一等獎｝，｛顧客抽獎1次獲二等獎｝，｛顧客抽獎1次能獲獎｝，由題意，與相互獨立，與互斥，與互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率為；（2）顧客抽獎3次獨立重復試驗，由（1）知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，∴，于是；；；，故的分布列為0123的數(shù)學期望為.考點：1.概率的加法公式；2.離散型隨機變量的概率分布與期望.【名師點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實際應用，這一直都是高考命題的熱點，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實生活中的熱點問題轉化，并且與統(tǒng)計的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎知識綜合的試題逐漸增多，在復習時應予以關注.15．（2015·安徽·高考真題）已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.（Ⅰ）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【詳解】試題分析：（1）求古典概型概率，先確定兩次檢測基本事件個數(shù)：，再確定第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的基本事件個數(shù)，從而得所求事件概率為（2）先確定隨機變量：最少兩次（兩次皆為次品），最多四次（前三次兩次正品，一次次品），三次情況較多，可利用補集求其概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求期望試題解析：解:（Ⅰ）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，（Ⅱ）的可能取值為200,300,400（或）故的分布列為X200300400P考點：1.古典概型概率；2.分布列和數(shù)學期望.【方法點睛】（1）求隨機變量的分布列的主要步驟：一是明確隨機變量的取值，并確定隨機變量服從何種概率分布；二是求每一個隨機變量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意運用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列是否正確；（3）求解離散隨機變量分布列和方差，首先要理解問題的關鍵，其次要準確無誤的找出隨機變量的所有可能值，計算出相對應的概率，寫成隨機變量的分布列，正確運用均值、方差公式進行計算.16．（2015·福建·高考真題）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內出現(xiàn)3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王決定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試.若密碼正確，則結束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（Ⅰ）求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；（Ⅱ）設當天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，期望為．【詳解】（Ⅰ）設“當天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則（Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3又所以X的分布列為X123P所以．考點：1、古典概型；2、離散型隨機變量的分布列和期望．考點04其他類型的分布列及期望方差1．（2024·北京·高考真題）某保險公司為了了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：賠償次數(shù)01234單數(shù)假設：一份保單的保費為0.4萬元；前3次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元.假設不同保單的索賠次數(shù)相互獨立.用頻率估計概率.(1)估計一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；(2)一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差.（i）記為一份保單的毛利潤，估計的數(shù)學期望；（ⅱ）如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值與（i）中估計值的大小．（結論不要求證明）【答案】(1)(2)(i)0.122萬元；(ii)這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學期望估計值大于（i）中估計值【分析】（1）根據(jù)題設中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率;（2）（ⅰ）設為賠付金額，則可取，用頻率估計概率后可求的分布列及數(shù)學期望，從而可求.（ⅱ）先算出下一期保費的變化情況，結合（1）的結果可求，從而即可比較大小得解.【詳解】（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得.（2）（?。┰O為賠付金額，則可取，由題設中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可得，，，，故故（萬元）.（ⅱ）由題設保費的變化為，故（萬元），從而.2．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求出；（2）設，由題意可得，根據(jù)數(shù)列知識，構造等比數(shù)列即可解出；（3）先求出兩點分布的期望，再根據(jù)題中的結論以及等比數(shù)列的求和公式即可求出．【詳解】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設，依題可知，，則，即，構造等比數(shù)列，設，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．【點睛】本題第一問直接考查全概率公式的應用，后兩問的解題關鍵是根據(jù)題意找到遞推式，然后根據(jù)數(shù)列的基本知識求解．3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結果，檢測結束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X).(II）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進而求出，即可得解.【詳解】（1）①對每組進行檢測，需要10次；再對結果為陽性的組每個人進行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.4．（2020·江蘇·高考真題）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示)．【答案】（1）（2）【分析】（1）直接根據(jù)操作，根據(jù)古典概型概率公式可得結果；（2）根據(jù)操作，依次求，即得遞推關系，構造等比數(shù)列求得，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結果.【詳解】（1），，.（2），，因此，從而，即.又的分布列為012故.【點睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關系、構造法求數(shù)列通項、數(shù)學期望公式，考查綜合分析求解能力，屬難題.5．（2019·北京·高考真題）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：

交付金額(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（Ⅰ）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（Ⅱ）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.【分析】(Ⅰ)由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；(Ⅱ)首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可.(Ⅲ)由題意結合概率的定義給出結論即可.【詳解】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：人，則：該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率.(Ⅱ)由題意可知，僅使用A支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，僅使用B支付方法的學生中，金額不大于1000的人數(shù)占，金額大于1000的人數(shù)占，且X可能的取值為0,1,2.，，，X的分布列為：X012其數(shù)學期望：.(Ⅲ)我們不認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下：隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于概率．學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.（答案不唯一，小概率事件發(fā)生也可認為是人數(shù)發(fā)生了變化）【點睛】本題以支付方式相關調查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活息息相關.6．（2018·北京·高考真題）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“”表示第k類電影得到人們喜歡，“”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差，，，，，的大小關系．【答案】(1)概率為0.025(2)概率估計為0.35(3)>>=>>【詳解】分析：(1)先根據(jù)頻數(shù)計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率，(2)恰有1部獲得好評為第四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得好評第五類電影獲得好評這兩個互斥事件，先利用獨立事件概率乘法公式分別求兩個互斥事件的概率，再相加得結果，(3)服從0-1分布，因此，即得>>=>>．詳解：解：（Ⅰ）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50．故所求概率為．（Ⅱ）設事件A為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件B為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得好評”．故所求概率為P（）=P（）+P（）=P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）．由題意知：P（A）估計為0.25，P（B）估計為0.2．故所求概率估計為0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．點睛：互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件概率乘法公式:若A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B).7．（2018·全國·高考真題）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立．（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？【答案】（1）；（2）（i）；（ii）應該對余下的產品作檢驗.【分析】（1）方法一：利用獨立重復實驗成功次數(shù)對應的概率，求得，之后對其求導，利用導數(shù)在相應區(qū)間上的符號，確定其單調性，從而得到其最大值點，這里要注意的條件；（2）方法一：先根據(jù)第一問的條件，確定出，在解（i）的時候,先求件數(shù)對應的期望，之后應用變量之間的關系，求得賠償費用的期望；在解（ii）的時候，就通過比較兩個期望的大小，得到結果.【詳解】（1）［方法一］：【通性通法】利用導數(shù)求最值件產品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當時，；當時，.所以的最大值點為；［方法二］：【最優(yōu)解】均值不等式由題可知，20件產品中恰有2件不合格品的概率為．，當且僅當，即可得所求．（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于，故應該對余下的產品作檢驗.【整體點評】（1）方法一：利用導數(shù)求最值，是求函數(shù)最值的通性通法；方法二：根據(jù)所求式子特征，利用均值不等式求最值，是本題的最優(yōu)解．8．（2017·全國·高考真題）某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關.如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?【答案】（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）由題意知的可能取值為200，300，500，分別求出相應的概率，由此能求出的分布列．（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮，根據(jù)和分類討論．【詳解】解：（1）由題意知，所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知的分布列為2003005000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當時，若最高氣溫不低于25，則2n；若最高氣溫位于區(qū)間，則1200-2n；若最高氣溫低于20，則=800-2n因此當00時，若最高氣溫不低于20，則2n，若最高氣溫低于20，則=800-2n，因此160+1.2n所以時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．9．（2017·江蘇·高考真題）已知一個口袋有m個白球，n個黑球（m,n,n2）,這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，……，m+n的抽屜內，其中第k次取球放入編號為k的抽屜（k=1,2,3，……，m+n）.（1）試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p;（2）隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)，E(x)是x的數(shù)學期望，證明【答案】（1）（2）見解析【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件先確定總事件數(shù)為，而編號為2的抽屜內放的是黑球的事件數(shù)為，最后根據(jù)古典概型的概率公式即可求概率；（2）先確定最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)為，所對應的概率，再根據(jù)數(shù)學期望公式得，利用性質，進行放縮變形：，最后利用組合數(shù)性質化簡，可得結論．試題解析：解:(1)編號為2的抽屜內放的是黑球的概率為:.(2)隨機變量X的概率分布為:X……P……隨機變量X的期望為：.所以.點睛:求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：（1）“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；（2）“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；（3）“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；（4）“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度．10．（2016·全國·高考真題）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（1）求X的分布列；（2）若要求，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應選用哪個？【答案】（1）見解析.