吉林省八校2024-2025學年高二上學期11月月考數(shù)學試題【含答案解析】_第1頁
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2024-2025學年度上學期高二年級11月考試數(shù)學本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分,共150分,考試時間120分鐘.注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.2.請以真閱讀答題卡上的注意事項,在答題卡上與題號相對應的答題區(qū)域內(nèi)答題,寫在試卷?草稿紙上或答題卡非題號對應答題區(qū)域的答案一律無效不得在答題卡上做任何標記.3.回答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮接干凈后,再選涂其他答案標號.4.考試結束后,答題卡要交回,試卷由考生自行保存.第I卷(選擇題,共58分)一?單選題:本題包括8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】由直線方程確定斜率,結合傾斜角與斜率關系求傾斜角大小即可.【詳解】由題設,令其傾斜角為,,則,所以.故選:C2.已知在等差數(shù)列中,,則()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意,結合等差數(shù)列的性質(zhì),以及等差中項公式,即可求解.【詳解】由等差數(shù)列中,因為,可得,所以,又由,且,可得.故選:C.3.已知橢圓,為其左右兩個焦點,過的直線與橢圓交于兩點,則的周長為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由橢圓定義求焦點相關三角形周長.【詳解】由題意,,而,故的周長為.故選:C4.在遞增等比數(shù)列中,,,則公比q為()A. B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式基本量的計算,結合已知條件,即可求得結果.【詳解】,,故可得,,兩式相比可得:,即,解得或,又,故;又為遞增數(shù)列,故.故選:B.5.直線被圓所截得的弦長為()A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先由圓的標準方程確定圓心和半徑;再根據(jù)點到直線距離公式計算圓心到直線的距離;最后根據(jù)圓的弦長公式即可求解.【詳解】由圓可得:圓心坐標為,半徑為3.因為圓心到直線的距離為:,所以,直線被圓截得的弦長為.故選:6.德國數(shù)學家高斯是近代數(shù)學奠基者之一,有“數(shù)學王子”之稱,在歷史上有很大的影響.他幼年時就表現(xiàn)出超人的數(shù)學天才,10歲時,他在進行的求和運算時,就提出了倒序相加法的原理,該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成,因此,此方法也稱之為高斯算法.已知數(shù)列,則()A.96 B.97 C.98 D.99【答案】C【解析】【分析】令,利用倒序相加原理計算即可得出結果.【詳解】令,,兩式相加得:,∴,故選:C.7.已知拋物線的焦點到其準線的距離為是拋物線上一點,若,則的最小值為()A.8 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】由拋物線的焦點坐標求得,設在準線上的射影為,利用拋物線的定義進行轉化后易得最小值.【詳解】由焦點到其準線的距離為得;設在準線上的射影為如圖,則,當且僅當共線時取得等號.所以所求最小值是4.故選:D.8.已知為雙曲線上關于原點對稱的兩點,點與點關于軸對稱,,直線交雙曲線的右支于點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】設,利用點差法得到,即可求出離心率.【詳解】設,則,由,則點為線段的中點,則,從而有,又,所以,又由,則,即,所以,所以.故選:D.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式,結合轉化為a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉化為關于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).二?多選題:本題包括3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,至少有兩項符合題目要求,全進對的得6分.部分選對得部分分,選輯的得0分.9.下列說法正確的是()A.直線必過定點2,3B.直線在軸上的裁距為C.過點,且在兩坐標軸的截距相等的直線方程為D.過點?2,3且垂直于直線的直線方程為【答案】ABD【解析】【分析】對于A,整理直線方程,合并出參數(shù)的系數(shù),令其等于零,建立方程,可得答案;對于B,將代入直線方程,結合截距的定義,可得答案;對于C,舉反例即可判斷C選項,從而求解;對于D,根據(jù)直線之間的垂直關系,將?2,3代入直線方程,可得答案;【詳解】對于A:得直線過定點2,3,故A項正確,符合題意;對于B:令,得,故在軸上的截距為,故B項正確,符合題意;對于C:過點,且與坐標軸截距相等,故C項錯誤,不符合題意;對于D:由的斜率分別為,則有,故兩直線互相垂直,將?2,3代入直線方程得,故?2,3在直線上,故D項正確,符合題意;故選:ABD.10.已知數(shù)列的前項和為,則下列說法正確的是()A.若點在函數(shù)(,均為常數(shù))的圖象上,則為等差數(shù)列B.若是等差數(shù)列,則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列,,,則當時,最大D.若,則為等比數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】結合等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識對選項進行分析,由此確定正確選項.【詳解】對于A,由點在函數(shù)(k,b均為常數(shù))的圖象上,可得,因為為常數(shù),所以為等差數(shù)列.A正確;對于B,因為為等差數(shù)列,所以為常數(shù),所以為常數(shù),所以是等比數(shù)列,故B正確;對于C,,所以,又因為,所以公差,所以當或時,最大,C錯誤;對于D,,,,,所以不是等比數(shù)列,D錯誤.故選:AB11.經(jīng)過拋物線的焦點的直線交拋物線于,兩點,設,,則下列說法中正確的是()A.當與軸垂直時,最小 B.C.以弦為直徑的圓與直線相離 D.【答案】ABD【解析】【分析】先設直線的方程,聯(lián)立拋物線,可得D.用拋物線焦點弦公式表示,可得A.利用拋物線定義,可表示,可證B.利用拋物線定義,結合圖像位置關系可判斷C.【詳解】如圖,設直線,聯(lián)立,得,即,所以,,故D正確,,將代入得,故當時,取得最小值,此時直線與軸垂直,故A正確,,代入,,得,故B正確,設的中點為,則以弦為直徑的圓的圓心為,半徑為分別過作拋物線垂線,垂足分別為,由拋物線的定義知,,則,故以弦為直徑的圓與直線相切,C錯誤,故選:ABD第Ⅱ卷(非選擇題,共92分)三?填空題:本題包括3小題,每小題5分,共15分.12.已知等差數(shù)列的前項和為,且,,則__________.【答案】16【解析】【分析】由于等差數(shù)列的前項和為,所以,,成等差數(shù)列,代入數(shù)據(jù)即可求得.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為,所以,,,成等差數(shù)列,所以,即解得,所以,所以,解得,故答案為:1613.已知直線與直線,若,則與之間距離是__________【答案】【解析】【分析】兩條平行直線與之間的距離,等于直線上的點到直線的距離.【詳解】直線過點,由,與之間距離等于點到直線的距離,故距離.故答案為:.14.已知數(shù)列,滿足,則__________;若數(shù)列的前項和為,且,則__________.【答案】①.②.【解析】【分析】利用累加法求解即可得出;先求出,進而得到,分組求和得到.【詳解】因為,所以,所以,又因為,所以,,,當時也適合上式,所以.由,因為,所以,解得當時,當時,當時,所以所以故答案為:;.四?解答題:本題包括5大題,其中15題13分,16題?17題每題15分,18題?19題每題17分,共77分.15.已知數(shù)列是首項為2,各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且是和的等差中項.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求的前2024項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解;(2)利用裂項相消法結合對數(shù)運算公式求數(shù)列的前n項和即可.【小問1詳解】設數(shù)列的公比為,則.因為是和的等差中項,所以,即,解得或(舍去)或(舍去)所以.【小問2詳解】由(1)知,.,故的前2024項和.16.已知圓經(jīng)過和兩點,且圓心在直線上.(1)求圓的方程;(2)從點向圓C作切線,求切線方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根據(jù)弦的中垂線過圓心,聯(lián)立過圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標,即可求解;(2)根據(jù)直線與圓相切,則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【小問1詳解】由題可知,所以線段的中垂線的斜率等于1,又因為的中點為,所以線段的中垂線的直線方程為,即,聯(lián)立解得,所以圓心又因為半徑等于,所以圓的方程為.【小問2詳解】設圓的半徑為,則,若直線的斜率不存在,因為直線過點,所以直線方程為,此時圓心到直線的距離,滿足題意;若直線的斜率存在,設斜率為,則切線方程為,即,因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離,解得,所以切線方程為,即.所以切線方程為或.17.已知直線與橢圓相交于,兩點.(1)若橢圓的離心率為,焦距為,求橢圓的方程;(2)在(1)的橢圓中,設橢圓的左焦點為,求線段的長及的面積.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率為,焦距為,建立方程求解參數(shù)從而求得橢圓的方程;(2)直線與橢圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理可求得線段長度,求出點到直線的距離,即可求得的面積.【詳解】(1)橢圓的離心率為,焦距為,所以,得,所以,則橢圓的方程為;(2)聯(lián)立方程組得設,則,,所以由(1)知左焦點為,直線方程為,所以點到直線的距離為則的面積為.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時,要注意:(1)注意觀察應用題設中的每一個條件,明確確定直線、橢圓的條件;(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力,重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.18.已知數(shù)列的前項和為,且(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,且數(shù)列前項和為.求.(3)在(2)條件下若都有不等式恒成立,求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)首先得,進一步由的關系得是以1為首項,為公比的等比數(shù)列,由此即可求解;(2)由等差數(shù)列求和公式、錯位相減法求得表達式,(3)在(2)條件下進一步原問題等價于不等式恒成立,由此即可求解.【小問1詳解】因為①,當時可得,即.當時,②由①-②得,即,即是以1為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.【小問2詳解】因為,所以,,兩式相得,,即,則,故.小問3詳解】由(2)知,所以有,即,依題意,不等式恒成立,因為隨著n增大而減小,所以,即的取值范圍為.19.已知雙曲線C的中心為坐標原點,左焦點為,離心率.(1)求雙曲線C的方程;(2)記雙曲線C的右頂點為,過點作直線,與C的左支分別交于兩點,且,為垂足.(i)證明:直線恒過定點,并求出點坐標;(ii)判斷是否存在定點,使得為定值,若存在說明理由并求出點坐標.【答案】(1)(2)(i)證明見解析,;(ii)存在,,理由見解析【解析】【分析】(1)利用待定系數(shù)法結合雙曲線的幾何性質(zhì)即可求得雙曲線C的方程:(2)(i)設直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立方程組,利用韋達定理,并結合條件進行運算,即可證明直線過定點;(ii)由,此時存在以為斜邊的直角三角形,從而可知存在定點為中點滿足,從而可求出點坐標【小問1詳解】由題意,雙曲線的中心為坐標原點,左焦點為,離心率為,可得,解得,所以雙曲線方程.【小問2詳解】證明:(i)由(1)知,當直線斜率存在時,設直線方程為,聯(lián)立方程組,整理得,,即,設,由韋達定理可得.因為,所以,可得,即,即,整理得,即,即,可得,解得,將代入直線,此時直線過定點,不

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