江蘇省鹽城市東臺市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷 含解析

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平考試高一數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、座號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上.一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計(jì)40分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，請?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）1.下列各式中，正確的個數(shù)是（）①；②；③；④；⑤；⑥.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系和集合與集合的關(guān)系判斷各命題.【詳解】因?yàn)椋盛馘e；因?yàn)椋盛趯?；因?yàn)椋盛蹖?；因?yàn)榍遥盛苠e；因?yàn)椋盛蒎e；因?yàn)?，又且，故⑥錯；所以正確的個數(shù)為個，故B正確.故選：B.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，即可直接寫出答案.【詳解】因?yàn)榇嬖诹吭~命題的否定是全稱量詞命題，所以命題“，”的否定是，故選：B.3.函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用配湊法，求出，令，代入計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，則.故選：A.4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由且，求交集即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】若“”則是的充分條件；若“”則是的必要條件.【詳解】當(dāng)時，則無意義；當(dāng)時，或，∴則“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.已知函數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析在各段區(qū)間上的值域，再根據(jù)條件由外而內(nèi)依次求得，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；令，則由，得，由上述分析可得且，解得，即，所以且，解得.故選：D.7.已知，，，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時等號成立，所以的最小值為.故選：.8.設(shè)函數(shù)，若，時，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，根據(jù)，，得到，求出解集.【詳解】由得，即，變形為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解?故選：C二、多項(xiàng)選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分，請?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）9.下列命題是真命題的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷A、B、D，解方程，即可判斷C.【詳解】對于A，B，當(dāng)時，，故A正確，B錯誤；對于C：由，解得，所以不存在，使得，故C錯誤；對于D：因?yàn)?，所以，所以，，故D正確.故選：AD10.設(shè)正數(shù)，滿足，則有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及其相關(guān)變形，分別檢驗(yàn)各個選項(xiàng)即可判斷正誤.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；對于C，由B知，，則，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，則，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列正確的是（）A.當(dāng)時，B.C.不等式的解集為D.函數(shù)的圖象與軸有4個不同的交點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】【分析】函數(shù)奇偶性求出函數(shù)解析式，分段解決分段函數(shù)有關(guān)的不等式，由函數(shù)圖像找到交點(diǎn)為4個點(diǎn)的的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，由題意可知，A選項(xiàng)正確；由題意可知：，B選項(xiàng)錯誤；∵fx=32?x?1,x<00,x=01?32+x,x>0，令，則或∴，即或，即或，C選項(xiàng)正確；令，即函數(shù)的函數(shù)圖像如下：由圖像可知，當(dāng)和存在4個交點(diǎn)時，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，本題已知分段函數(shù)的奇偶性和其中某個區(qū)間的解析式，通過奇函數(shù)的性質(zhì)可以求出整個函數(shù)的解析式，由此可以借助函數(shù)圖像來解決一些函數(shù)相關(guān)的問題.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.）12.已知，，則______.（用數(shù)字作答）【答案】45【解析】【分析】利用指對數(shù)互化和指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即得.詳解】由，可得，又，則.故答案為：45.13.已知函數(shù)，滿足對任意的實(shí)數(shù)且，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得關(guān)于的不等式組，解之即可．【詳解】對任意的實(shí)數(shù)，都有，即異號，故是上的減函數(shù)；可得：，解得．故答案為：14.用表示非空集合中元素的個數(shù)，定義，若，，若，則的所有可能取值構(gòu)成集合，則______.【答案】5【解析】【分析】解方程得到，由定義知道的值，再分類討論得出結(jié)果.【詳解】解得或，即，∵，∴或，方程可整理為，①當(dāng)時，即方程組只有一個解，則，即，②當(dāng)時，即方程組只有三個解，顯然時不成立，∴，即方程有兩個不同的解，⑴當(dāng)方程只有一個實(shí)根時，，，⑵當(dāng)方程有二個不同實(shí)根時，Δ=2a2?4×6>0，或顯然不是的實(shí)根，則是方程其中一個實(shí)根，則，解得，綜上所述：.∴.故答案為：5【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛，在討論含參方程的根的個數(shù)時，需要分類討論.而本題集合是由兩個二次方程相乘得到的方程，第一步需拆分，分別討論根的個數(shù)，注意兩個方程可能出現(xiàn)相同的實(shí)數(shù)根.四、解答題（本大題共5小題，計(jì)77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi).）15.（1）已知正數(shù)滿足，求下列各式值：①；②.（2）求值：.【答案】（1）①；②；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)找到目標(biāo)式與條件的關(guān)系求值.（2）由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡求值即可；【詳解】（1）因?yàn)檎龜?shù)滿足，所以①；②，又，所以.（2）.16.已知全集，集合，集合.（1）當(dāng)時，求，；（2）已知是的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）解分式不等式求得集合，因?yàn)榍蟮?，進(jìn)而可求，；（2）因?yàn)槭堑淖蛹?，分與兩種情況討論可求得的取值范圍.【小問1詳解】由，得，解得，所以，當(dāng)時，，所以或，所以，或x>1=x|1<x<2【小問2詳解】當(dāng)時，得，解得，當(dāng)時，由是的子集，則2a≤a+22a>?1a+2<2，解得，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為17.某主播在直播平臺上銷售一款成本為每件24元的商品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示.（1）求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該主播按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？（3）若該主播要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則每天的銷售量最少應(yīng)為多少件？【答案】（1）（2）單價定為元時利潤最大，最大利潤為元（3）【解析】【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求得正確答案.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值以及此時對應(yīng)的單價.（3）根據(jù)已知條件列不等式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得銷售量的最小值.【小問1詳解】設(shè)，由圖可知，函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，解得，所以，由解得.所以每天的銷售量與銷售單價之間的函數(shù)關(guān)系式是.【小問2詳解】若單價不低于成本價24元，且不高于50元銷售，則，則利潤，其開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時，利潤取得最大值為，所以當(dāng)單價為元時，取得最大利潤為元.【小問3詳解】由（2）得利潤，又該商品每天獲得的利潤不低于1280元，則，整理得，即，解得，銷售量是減函數(shù)，所以當(dāng)時，銷售量最小，且最小值為件.18.已知二次函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，且不等式的解集為.（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）關(guān)于的不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得，是方程的兩個根，寫出解析式，再結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)求解即得.（2）由（1）的結(jié)論，分類求解不等式，進(jìn)而確定的范圍.（3）依題意可得對，不等式恒成立，令，，則，解得即可.【小問1詳解】由不等式的解集為，得且是關(guān)于的方程的兩個根，因此，所以函數(shù)的圖象開口向上，其對稱軸為，而該圖象與直線有且僅有一個公共點(diǎn)，則圖象的頂點(diǎn)為，于是，解得，所以此二次函數(shù)的表達(dá)式為，即.【小問2詳解】由（1）知不等式為，整理得，即，依題意，不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，則，當(dāng)時，解得，即不等式的解集為，此時解集中不含正整數(shù)，故舍去；當(dāng)時，解得，不等式的解集為，要使解集中恰有一個正整數(shù)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問3詳解】對，不等式恒成立，即對，不等式恒成立，令，，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.若函數(shù)在上的最大值記為，最小值記為，且滿足，則稱函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”.（1）函數(shù)是否是在上的“美好函數(shù)”，并說明理由；（2）已知函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值；（3）已知函數(shù)是在上的“美好函數(shù)”，求的值.【答案】（1）不是，理由見解析（2）（3）或【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的最值，即可判斷；（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最值，從而得到方程，解得即可；（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義及對勾函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，再對分類討論，分別求出函數(shù)的最值，即可得到方程，解得即可.【小問1詳解】因?yàn)?，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，所以，，則，所以不是在上的“美好函數(shù)”；【小問2詳解】因?yàn)?，，則在上單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)是在上的“美好函數(shù)”，所以，解得.【小問3詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞減的證明如下：設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)，即時在上單調(diào)遞減，則，，所以，解得或（舍去），所以，即在上為“美好函數(shù)”