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文檔簡介

山西省忻州一中等2025屆高三六校第一次聯考數學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.62.下列函數中,在區(qū)間上單調遞減的是()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當輸出的時,則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.4.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.5.下列說法正確的是()A.命題“,”的否定形式是“,”B.若平面,,,滿足,則C.隨機變量服從正態(tài)分布(),若,則D.設是實數,“”是“”的充分不必要條件6.已知實數x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實數k的值為()A.1 B. C.2 D.7.若函數在時取得最小值,則()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結果為()A. B. C. D.9.已知隨機變量X的分布列如下表:X01Pabc其中a,b,.若X的方差對所有都成立,則()A. B. C. D.10.如圖是二次函數的部分圖象,則函數的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.11.等比數列的各項均為正數,且,則()A.12 B.10 C.8 D.12.若的展開式中的常數項為-12,則實數的值為()A.-2 B.-3 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合U={1,3,5,9},A={1,3,9},B={1,9},則?U(A∪B)=________.14.已知是拋物線的焦點,是上一點,的延長線交軸于點.若為的中點,則_________.15.已知函數,在區(qū)間上隨機取一個數,則使得≥0的概率為.16.若在上單調遞減,則的取值范圍是_______三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點,點在橢圓上,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.(1)求,的值:(2)過點作不與軸重合的直線,設與圓相交于A,B兩點,且與橢圓相交于C,D兩點,當時,求△的面積.18.(12分)已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.19.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)若,求曲線與的交點坐標;(2)過曲線上任意一點作與夾角為45°的直線,交于點,且的最大值為,求的值.20.(12分)以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數方程是(為參數,常數),曲線的極坐標方程是.(1)寫出的普通方程及的直角坐標方程,并指出是什么曲線;(2)若直線與曲線,均相切且相切于同一點,求直線的極坐標方程.21.(12分)在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為.(1)求的直角坐標方程和的直角坐標;(2)設與交于,兩點,線段的中點為,求.22.(10分)在三棱錐S-ABC中,∠BAC=∠SBA=∠SCA=90°,∠SAB=45°,∠SAC=60°,D為棱AB的中點,SA=2(I)證明:SD⊥BC;(II)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系,屬于基礎題.2、C【解析】

由每個函數的單調區(qū)間,即可得到本題答案.【詳解】因為函數和在遞增,而在遞減.故選:C【點睛】本題主要考查常見簡單函數的單調區(qū)間,屬基礎題.3、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.4、B【解析】

分別取、的中點、,連接、、,利用二面角的定義轉化二面角的平面角為,然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,在中計算出,再利用勾股定理計算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點,,,且、分別為、的中點,所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點,同理可知,的外心為點,分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點,則點在平面內,如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關鍵在于找出球心的位置,同時考查了計算能力,屬于中等題.5、D【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項A;可能相交,可判斷B選項;利用正態(tài)分布的性質可判斷選項C;或,利用集合間的包含關系可判斷選項D.【詳解】命題“,”的否定形式是“,”,故A錯誤;,,則可能相交,故B錯誤;若,則,所以,故,所以C錯誤;由,得或,故“”是“”的充分不必要條件,D正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷,涉及到特稱命題的否定、面面相關的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等,是一道容易題.6、B【解析】

畫出約束條件的可行域,利用目標函數的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當時,x在點B處取得最大值,即,得;當時,z在點C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點睛】本題考查由目標函數最值求解參數值,數形結合思想,分類討論是解題的關鍵,屬于中檔題.7、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式,再根據正弦函數的最值,求得在函數取得最小值時的值.【詳解】解:,其中,,,故當,即時,函數取最小值,所以,故選:D【點睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數的最值的應用,屬于基礎題.8、D【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運行,觀察變量值的變化,然后可得結論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.9、D【解析】

根據X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數的性質求出其最大值為,進而得出結論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結合了概率?二次函數等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.10、B【解析】

根據二次函數圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數值正負,即可求出結論.【詳解】∵,結合函數的圖象可知,二次函數的對稱軸為,,,∵,所以在上單調遞增.又因為,所以函數的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數的圖象及函數的零點,屬于基礎題.11、B【解析】

由等比數列的性質求得,再由對數運算法則可得結論.【詳解】∵數列是等比數列,∴,,∴.故選:B.【點睛】本題考查等比數列的性質,考查對數的運算法則,掌握等比數列的性質是解題關鍵.12、C【解析】

先研究的展開式的通項,再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為,所以的展開式中的常數項為:,解得,故選:C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、{5}【解析】易得A∪B=A={1,3,9},則?U(A∪B)={5}.14、【解析】

由題意可得,又由于為的中點,且點在軸上,所以可得點的橫坐標,代入拋物線方程中可求點的縱坐標,從而可求出點的坐標,再利用兩點間的距離公式可求得結果.【詳解】解:因為是拋物線的焦點,所以,設點的坐標為,因為為的中點,而點的橫坐標為0,所以,所以,解得,所以點的坐標為所以,故答案為:【點睛】此題考查拋物線的性質,中點坐標公式,屬于基礎題.15、【解析】試題分析:可以得出,所以在區(qū)間上使的范圍為,所以使得≥0的概率為考點:本小題主要考查與長度有關的幾何概型的概率計算.點評:幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題,包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等,但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.16、【解析】

由題意可得導數在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當時,顯然,符合題意;當時,在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)由已知根據拋物線和橢圓的定義和性質,可求出,;(2)設直線方程為,聯立直線與圓的方程可以求出,再聯立直線和橢圓的方程化簡,由根與系數的關系得到結論,繼而求出面積.【詳解】(1)焦點為F(1,0),則F1(1,0),F2(1,0),,解得,=1,=1,(Ⅱ)由已知,可設直線方程為,,聯立得,易知△>0,則===因為,所以=1,解得聯立,得,△=8>0設,則【點睛】本題主要考查拋物線和橢圓的定義與性質應用,同時考查利用根與系數的關系,解決直線與圓,直線與橢圓的位置關系問題.意在考查學生的數學運算能力.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據條件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,進而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入兩角和的正弦公式計算即可.【詳解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用,運用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值,考查了學生的運算求解能力.19、(1),;(2)或【解析】

(1)將曲線的極坐標方程和直線的參數方程化為直角坐標方程,聯立方程,即可求得曲線與的交點坐標;(2)由直線的普通方程為,故上任意一點,根據點到直線距離公式求得到直線的距離,根據三角函數的有界性,即可求得答案.【詳解】(1),.由,得,曲線的直角坐標方程為.當時,直線的普通方程為由解得或.從而與的交點坐標為,.(2)由題意知直線的普通方程為,的參數方程為(為參數)故上任意一點到的距離為則.當時,的最大值為所以;當時,的最大值為,所以.綜上所述,或【點睛】解題關鍵是掌握極坐標和參數方程化為直角坐標方程的方法,和點到直線距離公式,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.20、(1),,表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線;(2)【解析】

(1)消去參數的直角坐標方程,利用,即得的直角坐標方程;(2)由直線與拋物線相切,求導可得切線斜率,再由直線與圓相切,故切線與圓心與切點連線垂直,可求解得到切點坐標,即得解.【詳解】(1)消去參數的直角坐標方程為:.的極坐標方程.∵,.當時表示以為圓心為半徑的圓;為拋物線.(2)設切點為,由于,則切線斜率為,由于直線與圓相切,故切線與圓心與切點連線垂直,故有,直線的直角坐標方程為,所以的極坐標方程為.【點睛】本題考查了極坐標,參數方程綜合,考查了學生綜合分析,轉化劃歸,數學運算的能力,屬于中檔題.21、(1),(2)【解析】

(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標方程,把點P的極坐標化成直角坐標;(2)把直線l的參數方程的標準形式代入曲線C的直角坐標方程,根據韋達定理以及參數t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標方程為y2=1,設點P的直角坐標為(x,y),因為P的極坐標為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點P的直角坐標為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因為△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可設方程的兩根為t1,t2,則t1,t2為A,B對應的參數,且t1+t2,依題意,點M對應的參數為,所以|PM|=||.【點睛】本題考查了簡單曲線的極坐標方程,屬中檔題.22、(I)證明見解析;(II)1【解析】

(I)過D作DE⊥BC于E,連接SE,根據勾股定理得到SE⊥BC,DE⊥BC得到BC⊥平面SED,得到證明.(II)過點D作DF⊥SE于F,證明DF⊥平面SBC,故∠ESD

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