新高考數(shù)學二輪復習強化練習專題17 直線與圓及相關的最值問題（講）（解析版）

第一篇熱點、難點突破篇專題17直線與圓及相關的最值問題（講）真題體驗感悟高考1．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為SKIPIF1<0，可得圓的半徑為SKIPIF1<0，寫出圓的標準方程，利用點SKIPIF1<0在圓上，求得實數(shù)SKIPIF1<0的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線SKIPIF1<0的距離.【詳解】由于圓上的點SKIPIF1<0在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為SKIPIF1<0，則圓的半徑為SKIPIF1<0，圓的標準方程為SKIPIF1<0.由題意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以圓心的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，圓心到直線的距離均為SKIPIF1<0；圓心到直線的距離均為SKIPIF1<0圓心到直線SKIPIF1<0的距離均為SKIPIF1<0；所以，圓心到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：B.2．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知直線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）與圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0變化時，若SKIPIF1<0的最小值為2，則SKIPIF1<0

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先求得圓心到直線距離，即可表示出弦長，根據(jù)弦長最小值得出SKIPIF1<0【詳解】由題可得圓心為SKIPIF1<0，半徑為2，則圓心到直線的距離SKIPIF1<0，則弦長為SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，弦長SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.3．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）若直線l與曲線y=SKIPIF1<0和x2+y2=SKIPIF1<0都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+SKIPIF1<0 C．y=SKIPIF1<0x+1 D．y=SKIPIF1<0x+SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設出直線SKIPIF1<0的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.【詳解】設直線SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上的切點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的導數(shù)為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由于直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0，兩邊平方并整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍），則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：D.總結規(guī)律預測考向（一）規(guī)律與預測（1）直線、圓的方程及位置關系問題，多以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，此類試題難度中等偏下.有時也會出現(xiàn)在壓軸題的位置，難度較大.

（2）和導數(shù)、圓錐曲線相結合，求直線的方程，考查點到直線的距離公式，中低難度.（3）和圓錐曲線相結合，求圓的方程或弦長、面積等，中高難度．（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一求直線方程【核心知識】直線方程的幾種形式：兩直線平行、垂直的條件：【典例分析】典例1.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線SKIPIF1<0關于點SKIPIF1<0對稱的直線方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設對稱的直線方程上的一點的坐標為SKIPIF1<0,則其關于點SKIPIF1<0對稱的點的坐標為SKIPIF1<0，代入已知直線即可求得結果.【詳解】設對稱的直線方程上的一點的坐標為SKIPIF1<0，則其關于點SKIPIF1<0對稱的點的坐標為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.故選：D.典例2.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）寫出與圓SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都相切的一條直線的方程________________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再結合①解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直線方程有三條，分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0填一條即可SKIPIF1<0[方法二]：設圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然SKIPIF1<0符合題意；又由方程SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相減可得方程SKIPIF1<0，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為SKIPIF1<0，直線OC與直線SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0，設過該點的直線為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而該切線的方程為SKIPIF1<0填一條即可SKIPIF1<0[方法三]：圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，兩圓圓心距為SKIPIF1<0，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設方程為SKIPIF1<0O到l的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以l的方程為SKIPIF1<0，當切線為m時，設直線方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當切線為n時，易知切線方程為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】解決直線方程問題的注意點(1)求解兩條直線平行的問題時，在利用SKIPIF1<0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗，排除兩條直線重合的可能性．(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程即不能表示過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線．(3)討論兩直線的位置關系時，要注意直線的斜率是否存在．(4)直線與圓相切時,利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式，一般求切線方程時主要選擇點斜式．考向二求圓的方程【核心知識】圓的標準方程：圓的一般方程：【典例分析】典例3.（2023·全國·模擬預測）已知圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，寫出一個半徑為SKIPIF1<0，且與圓SKIPIF1<0及直線都相切的圓的方程：______．【答案】SKIPIF1<0(答案不唯一)【分析】根據(jù)圓的圓心和半徑,結合直線和圓的位置關系及兩個圓的位置關系計算即可.【詳解】設圓心SKIPIF1<0為SKIPIF1<0,由已知圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切,圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切,可得SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,且已知半徑為SKIPIF1<0,所以圓的方程可以為:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案為:SKIPIF1<0(答案不唯一)典例4.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設點M在直線SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的方程為______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】設出點M的坐標，利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.【詳解】[方法一]：三點共圓∵點M在直線SKIPIF1<0上，∴設點M為SKIPIF1<0，又因為點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0[方法二]：圓的幾何性質由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點的線段垂直平分線y=3x-4與直線SKIPIF1<0的交點(1,-1).SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0典例5.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點SKIPIF1<0中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【分析】方法一：設圓的方程為SKIPIF1<0，根據(jù)所選點的坐標，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設圓的方程為SKIPIF1<0，（1）若過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）若過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）若過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（4）若過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標準方程（三點中的兩條中垂線的交點為圓心）設SKIPIF1<0（1）若圓過SKIPIF1<0三點，圓心在直線SKIPIF1<0，設圓心坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0；（2）若圓過SKIPIF1<0三點，設圓心坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0；（3）若圓過SKIPIF1<0三點，則線段SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立得SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0；（4）若圓過SKIPIF1<0三點，則線段SKIPIF1<0的中垂線方程為SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0中垂線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立得SKIPIF1<0，所以圓的方程為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【整體點評】方法一；利用圓過三個點，設圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質，先求出圓心再求半徑，運算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．【總結提升】求圓的方程一般有兩種方法(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．考向三直線、圓的距離問題【核心知識】點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0不同時為零)的距離SKIPIF1<0.【典例分析】典例6.（2023秋·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最大值為（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求得SKIPIF1<0點的軌跡，結合圓與直線的位置關系求解即可.【詳解】如圖所示，設SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為2，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，原點除外，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的最大值SKIPIF1<0，故選：C典例7.（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）已知SKIPIF1<0，點A為直線SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作直線與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】設SKIPIF1<0，由切線長公式、兩點間距離公式計算SKIPIF1<0，轉化為點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離之和，即SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點SKIPIF1<0，得最小值為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0共線．【詳解】設SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，圓半徑為SKIPIF1<0，由切線長公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，它表示點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的距離之和，即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0關于直線SKIPIF1<0的對稱點為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，易知當SKIPIF1<0三點共線時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．故選：C．典例8.【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則（

）A．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離小于SKIPIF1<0B．點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離大于SKIPIF1<0C．當SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】計算出圓心到直線SKIPIF1<0的距離，可得出點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當SKIPIF1<0最大或最小時，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0，A選項正確，B選項錯誤；如下圖所示：當SKIPIF1<0最大或最小時，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，CD選項正確.故選：ACD.【點睛】結論點睛：若直線SKIPIF1<0與半徑為SKIPIF1<0的圓SKIPIF1<0相離，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則圓SKIPIF1<0上一點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離的取值范圍是SKIPIF1<0.典例9.（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知圓：SKIPIF1<0上恰有3個點到直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距離等于2，則SKIPIF1<0的值為_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)圓上SKIPIF1<0個點到直線的距離等于SKIPIF1<0,可得圓心到直線的距離為SKIPIF1<0,利用點到直線的距離公式解出SKIPIF1<0即可.【詳解】解:因為圓的方程為SKIPIF1<0,所以圓心為SKIPIF1<0,半徑為SKIPIF1<0,因為圓SKIPIF1<0上恰有SKIPIF1<0個點到直線SKIPIF1<0的距離都等于SKIPIF1<0,所以只需要圓心到直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0即可,直線方程為SKIPIF1<0所以圓心到直線的距離為:SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0【規(guī)律方法】（1）求點到直線的距離時，應先將直線方程化為一般式.（2）求兩平行線之間的距離時，應先將兩直線方程化為一般式且SKIPIF1<0的系數(shù)對應相等.（3）求曲線上任意一點到已知直線的最小距離時，要利用數(shù)形結合和轉化與化歸的思想解題.

考向四直線與圓、圓與圓位置關系判斷【核心知識】1．直線與圓的位置關系：相交、相切和相離，判斷的方法(1)點線距離法．(2)判別式法：設圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程組SKIPIF1<0消去y，得到關于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2．圓與圓的位置關系有五種，即內含、內切、相交、外切、外離．【典例分析】典例10.【多選題】（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若點A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點A在圓C內，則直線l與圓C相離C．若點A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點A在直線l上，則直線l與圓C相切【答案】ABD【分析】轉化點與圓、點與直線的位置關系為SKIPIF1<0的大小關系，結合點到直線的距離及直線與圓的位置關系即可得解.【詳解】圓心SKIPIF1<0到直線l的距離SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在圓C上，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則直線l與圓C相切，故A正確；若點SKIPIF1<0在圓C內，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則直線l與圓C相離，故B正確；若點SKIPIF1<0在圓C外，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則直線l與圓C相交，故C錯誤；若點SKIPIF1<0在直線l上，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.典例11.【多選題】（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0，則（

）A．直線SKIPIF1<0必過定點 B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0被圓SKIPIF1<0截得的弦長為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0可能相切 D．直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0不可能相離【答案】ABD【分析】將直線SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0，即可求定點坐標，即可判斷A；根據(jù)弦長公式求弦長，判斷B；根據(jù)直線SKIPIF1<0所過定點與圓SKIPIF1<0的關系，再結合直線方程的形式，即可判斷CD.【詳解】A.SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直線過點SKIPIF1<0，故A正確；B.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，弦長SKIPIF1<0，故B正確；C.直線所過定點SKIPIF1<0在圓上，過點SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的直線是SKIPIF1<0，但直線SKIPIF1<0，表示斜率存在的直線，表示不了直線SKIPIF1<0，故不存在直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，故C錯誤；D.直線所過定點SKIPIF1<0在圓上，所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0總有公共點，不可能相離，故D正確.故選：ABD典例12.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱的直線與圓SKIPIF1<0有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求出點SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱點SKIPIF1<0的坐標，即可得到直線SKIPIF1<0的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0對稱的點的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所在直線即為直線SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；圓SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，依題意圓心到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0【總結提升】判斷直線與圓的位置關系主要通過比較圓心到直線的距離和半徑的大小，兩個圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩個圓的圓心距與兩個圓的半徑差的絕對值或和的大小關系.過圓外一點求解切線段長的問題，可先求出圓心到圓外點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．考向五直線與圓、圓與圓弦長問題【核心知識】半徑、弦心距、弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0為弦長，SKIPIF1<0為圓的半徑,SKIPIF1<0為圓心到弦的距離).【典例分析】典例13.【多選題】（2023秋·江蘇泰州·高三統(tǒng)考期末）過圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0內一點SKIPIF1<0作兩條互相垂直的弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到四邊形SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0的最小值為4B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0C．四邊形SKIPIF1<0面積的最大值為16D．SKIPIF1<0為定值【答案】ABD【分析】當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點時SKIPIF1<0最小，即可求出SKIPIF1<0，從而判斷A；設SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，從而求出SKIPIF1<0，即可判斷B；根據(jù)SKIPIF1<0利用基本不等式求出四邊形SKIPIF1<0面積的最大值，即可判斷C；分別取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出SKIPIF1<0的值，即可判斷D.【詳解】解：當SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點時SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正確；設SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故C錯誤.SKIPIF1<0SKIPIF1<0分別取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為定值，故D正確.故選：ABD.典例14.（2023秋·天津河西·高三?？计谀┤暨^點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，若弦長SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意結合垂徑定理求得SKIPIF1<0，再利用點到直線的距離公式運算求解，注意討論直線的斜率是否存在.【詳解】由題意可知：圓SKIPIF1<0的圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，設圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，若弦長SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，即直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，故圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，符合題意；當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0此時直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0；綜上所述：直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.典例15.（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知圓SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于A，B兩點，則直線SKIPIF1<0的方程為______；SKIPIF1<0的面積為______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】兩圓相減得到相交弦方程，即直線SKIPIF1<0的方程，求出圓心SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離，利用垂徑定理得到SKIPIF1<0，得到三角形面積.【詳解】兩圓相減得：SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0變形得到SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0，半徑為2，故圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由垂徑定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【總結提升】求解圓的弦長的方法1.幾何法:根據(jù)半徑、弦心距、弦長構成的直角三角形，構成三者間的關系SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0為弦長，SKIPIF1<0為圓的半徑,SKIPIF1<0為圓心到弦的距離).2.公式法:根據(jù)公式SKIPIF1<0求解(其中SKIPIF1<0為弦長SKIPIF1<0直線與圓相交所得兩個交點的橫坐標，SKIPIF1<0為直線的斜率).3.距離法:聯(lián)立直線與圓的方程，解方程組先求出兩交點坐標，再利用兩點間的距離公式求解.考向六直線、圓與圓錐曲線【核心知識】圓錐曲線方程及其幾何性質【典例分析】典例16.（2023·全國·高三對口高考）設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左右焦點，與直線SKIPIF1<0相切的圓SKIPIF1<0交橢圓于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的切點，則橢圓焦距與長軸長之比為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，利用橢圓性質可得SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，即可求得SKIPIF1<0.【詳解】如圖所示，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.典例17.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若雙曲線SKIPIF1<0的漸近線與圓SKIPIF1<0相切，則SKIPIF1<0_________．【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標準式，即可得到圓心坐標與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．【詳解】解：雙曲線SKIPIF1<0的漸近線為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，依題意圓心SKIPIF1<0到漸近線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）．故答案為：SKIPIF1<0．典例18.（2021·全國·高考真題）拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：SKIPIF1<0交C于P，Q兩點，且SKIPIF1<0．已知點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與l相切．（1）求C，SKIPIF1<0的方程；（2）設SKIPIF1<0是C上的三個點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均與SKIPIF1<0相切．判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關系，并說明理由．【答案】（1）拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0；（2）相切，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與SKIPIF1<0相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利用對稱性設出SKIPIF1<0坐標，由SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0；由圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相切，求出半徑，即可得出結論；（2）方法一：先考慮SKIPIF1<0斜率不存在，根據(jù)對稱性，即可得出結論；若SKIPIF1<0斜率存在，由SKIPIF1<0三點在拋物線上，將直線SKIPIF1<0斜率分別用縱坐標表示，再由SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系，最后求出SKIPIF1<0點到直線SKIPIF1<0的距離，即可得出結論.【詳解】（1）依題意設拋物線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，所以半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）[方法一]：設SKIPIF1<0若SKIPIF1<0斜率不存在，則SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性不妨設SKIPIF1<0，則過SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的另一條直線方程為SKIPIF1<0，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在SKIPIF1<0，不合題意；若SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性不妨設SKIPIF1<0則過SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切的直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時直線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切；若直線SKIPIF1<0斜率均存在，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，同理直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切；綜上若直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，則直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，同解法1．當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，同理，由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切得SKIPIF1<0．因為方程SKIPIF1<0同時經(jīng)過點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，點M到直線SKIPIF1<0距離為SKIPIF1<0．所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切．綜上所述，若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切．【整體點評】第二問關鍵點：過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示，將問題轉化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；法一是要充分利用SKIPIF1<0的對稱性，抽象出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關系，把SKIPIF1<0的關系轉化為用SKIPIF1<0表示，法二是利用相切等條件得到SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，利用點到直線距離進行證明，方法二更為簡單，開拓學生思路考向七隱圓問題【核心知識】1.在題設中沒有明確給出圓的相關信息，而是隱含在題目中的，要通過分析、轉化發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識來求解，稱這類問題為隱圓問題.

2.發(fā)現(xiàn)隱圓的方法（1）利用圓的定義或圓的幾何性質確定隱圓.（2）在平面上給定相異的兩點SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0在同一平面上，且滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0的軌跡是一個圓，這個圓我們稱為阿波羅尼斯圓.（3）兩定點SKIPIF1<0與動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，確定隱圓.（4）兩定點SKIPIF1<0與動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0是定值，確定隱圓.【典例分析】典例19.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙M：SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動點，過點SKIPIF1<0作⊙M的切線SKIPIF1<0，切點為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0最小時，直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由題意可判斷直線與圓相離，根據(jù)圓的知識可知，四點SKIPIF1<0共圓，且SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0可知，當直線SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，求出以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程，根據(jù)圓系的知識即可求出直線SKIPIF