新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)思想02 分類與整合思想（講）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想02分類與整合思想（講）考向速覽方法技巧典例分析一.分類整合思想的含義：分類與整合思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的思想策略．對(duì)問題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度；分類研究后還要對(duì)討論結(jié)果進(jìn)行整合．二.分類與整合思想在解題中的應(yīng)用(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類．有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論．有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起的分類．如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的限制，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等．(4)由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等．三.分類方法與原則1.簡(jiǎn)化分類討論的策略:分類討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問題，通過對(duì)基礎(chǔ)性問題的解答來實(shí)現(xiàn)解決原問題的策略.(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結(jié)合；(7)縮小范圍等.2.分類討論遵循的原則是:(1)不重不漏，科學(xué)地劃分(2)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明，分清主次,不越級(jí)討論.(3)能不分類的要盡量避免，決不無原則的討論.3.解題時(shí)把好“四關(guān)”：(1)要深刻理解基本知識(shí)與基本原理,把好“基礎(chǔ)關(guān)”;(2)要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn),把好“分類關(guān)”;(3)要保證條理分明,層次清晰,把好“邏輯關(guān)”;(4)要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息,合理取舍,把好“檢驗(yàn)關(guān)”.四.高考以解答題的方式考查分類與整合思想，主要是函數(shù)導(dǎo)數(shù)解答題、數(shù)列題和解析幾何解答題等.01由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論【核心提示】1.有許多核心的數(shù)學(xué)概念是分類的,由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論,如絕對(duì)值的定義、二次函數(shù)的定義、分段函數(shù)的定義、異面直線所成角的定義、直線的斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.2.在中學(xué)數(shù)學(xué)中,一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,基本不等式,等比數(shù)列的求和公式在不同的條件下有不同的結(jié)論,或者在一定的限制條件下才成立,應(yīng)根據(jù)題目條件確定是否進(jìn)行分類討論.3.有些分類討論的問題是由運(yùn)算的需要引發(fā)的.比如除法運(yùn)算中分母能否為零的討論;解方程及不等式時(shí),兩邊同乘一個(gè)數(shù)是否為零、正數(shù)、負(fù)數(shù)的討論;二次方程運(yùn)算中對(duì)兩根大小的討論;求函數(shù)單調(diào)性時(shí),導(dǎo)數(shù)正負(fù)的討論;排序問題;差值比較中的差的正負(fù)的討論;有關(guān)去絕對(duì)值或根號(hào)問題中等價(jià)變形引發(fā)的討論等.【典例分析】典例1.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例2.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)，SKIPIF1<0．若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的最小值為(

)A．1180 B．1179 C．2020 D．2021典例3.（2021·全國(guó)·高考真題）函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為______.典例4.（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，對(duì)任意的SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0對(duì)SKIPIF1<0均成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是__．02由圖形位置或形狀引起的分類討論【核心提示】1.一般由圖形的位置或形狀變動(dòng)引發(fā)的討論包括:二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的變動(dòng);函數(shù)問題中區(qū)間的變動(dòng);函數(shù)圖象形狀的變動(dòng);直線由斜率引起的位置變動(dòng);圓錐曲線由焦點(diǎn)引起的位置變動(dòng)或由離心率引起的形狀變動(dòng);立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置變動(dòng)等.2.圓錐曲線形狀不確定時(shí)，常按橢圓、雙曲線來分類討論，求圓錐曲線的方程時(shí)，常按焦點(diǎn)的位置不同來分類討論.3.相關(guān)計(jì)算中，涉及圖形問題時(shí)，也常按圖形的位置不同、大小差異等來分類討論.【典例分析】典例5.【多選題】（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？家荒＃╅L(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0C．沿長(zhǎng)方體的表面從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0D．沿長(zhǎng)方體的表面從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的最短距離為SKIPIF1<0典例6.2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0左支上的一點(diǎn)，且點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的周長(zhǎng)最小為_________，此時(shí)其面積為___________．典例7.（2023秋·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0表面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn),SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心,則下列結(jié)論中所有正確結(jié)論的編號(hào)有______________．①當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值SKIPIF1<0;②當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí),異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0;③當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)時(shí),平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;④當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),若SKIPIF1<0到棱SKIPIF1<0的距離等于它到棱SKIPIF1<0的距離,則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為拋物線的一部分.典例8.（2021·江蘇如皋·高三階段練習(xí)）過拋物線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線的方程為______；SKIPIF1<0的最小值為______.03由變量或參數(shù)引起的分類討論【核心提示】含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.求解這類問題的一般思路是:結(jié)合參數(shù)的意義及參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論.討論時(shí),應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況,參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.【典例分析】典例9.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例10.（2023春·湖南株洲·高三株洲二中?？茧A段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0.若對(duì)于任意正整數(shù)n，均有SKIPIF1<0恒成立，求m的最小值.典例11.（2023·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知用周長(zhǎng)為36的矩形截某圓錐得到橢圓SKIPIF1<0與矩形的四邊都相切且焦距為SKIPIF1<0，__________.①SKIPIF1<0為等差數(shù)列；②SKIPIF1<0為等比數(shù)列.(1)在①②中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)（1）中所求SKIPIF1<0的左?右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0為橢圓的右頂點(diǎn)，直線SKIPIF1<0分別交直線SKIPIF1<