江蘇省無錫市錫山區(qū)錫北片2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024—2025學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)錫北片八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.中國(guó)“二十四節(jié)氣”已被正式列入聯(lián)合國(guó)教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作品錄.下面四幅作品分別代表“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.2.4的平方根是（）A.2 B. C. D.3.“三角形具有穩(wěn)定性”這個(gè)事實(shí)說明了（）A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS4.等腰三角形有兩條邊的長(zhǎng)分別為3和4，則該三角形的周長(zhǎng)為（）A.10 B.10或11 C.11 D.7或115.到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（）A.三條高的交點(diǎn) B.三條角平分線的交點(diǎn)C.三條中線的交點(diǎn) D.三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)6.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.0.3，0.4，0.5 B.10，15，18C.，， D.6，8，107.在等腰三角形ABC中，，則的度數(shù)為（）A. B. C.或 D.或8.如圖，在中，，，則與的關(guān)系是（）A. B.C. D.9.如圖，已知中，，，在直線BC或AC上取一點(diǎn)P，使得是等腰三角形，則符合條件的P點(diǎn)有（）A.2個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè)10.如圖，在，中，，，，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE.以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤時(shí)，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分.11.的立方根是__________.12.小明從鏡子里看到對(duì)面電子鐘的像如圖所示，則實(shí)際時(shí)間是__________.13.一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則__________.14.若a、b、c是的三邊，且，，，則最長(zhǎng)邊上的高等于__________.15.如圖，在四邊形ABCD中，E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接BE、ED、BD，若，則的度數(shù)為__________.16.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目的大致意思是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都是1尺（1尺寸），則AB的長(zhǎng)是幾寸？若設(shè)圖中單扇門的寬寸，則可列方程為：__________.圖1圖217.如圖，在中，，，，P為三角形內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為__________.18.如圖，在中，點(diǎn)D，E分別是邊AC、AB上的兩點(diǎn)，連接BD，CE，，已知，，則的最小值的平方是__________.三、解答題：本題共9小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.（本小題8分）解方程：（1） （2）20.（本小題7分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，，，.（1）證明：；（2）若，，求BE的長(zhǎng).21.（本小題7分）等腰三角形的周長(zhǎng)為21cm.（1）若已知腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的3倍，求各邊長(zhǎng)；（2）若已知一邊長(zhǎng)為6cm，求其他兩邊長(zhǎng).22.（本小題8分）作圖：（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中：①畫出關(guān)于直線l軸對(duì)稱的（其中D、E、F分別是A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）；②直接寫出中AB邊上的高=__________.（2）如圖2，在四邊形ABCD內(nèi)找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到AB、BC的距離相等，并且點(diǎn)P到點(diǎn)A、D的距離也相等.（用直尺與圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）.圖1圖223.（本小題8分）如圖，在四邊形ABCD中，，，，且，求的度數(shù).24.（本小題8分）如圖，在中，，，D是AB邊上一點(diǎn)（不與A，B重合），以CD為邊作等腰，，且，CB與DE交于點(diǎn)F，連接BE.（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，證明是等腰三角形.25.（本小題8分）如圖，的外角的平分線交BC邊的垂直平分線于P點(diǎn)，于D，于E.（1）求證：；（2）若，，求AD的長(zhǎng).26.（本小題10分）課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長(zhǎng)是整數(shù)時(shí)我們稱之為“勾股數(shù)”.王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決.若兩直角邊為a，，斜邊為c.（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：11、__________、__________；（2）當(dāng)（n為奇數(shù)，且）時(shí)，若__________，__________時(shí)可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；并證明你的猜想；（3）構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請(qǐng)你尋找當(dāng)時(shí)，__________.27.（本小題10分）如圖，在中，，，，.點(diǎn)C在直線l上.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿的路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P和Q分別以2單位/秒和3單位/秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒；在運(yùn)動(dòng)過程中，若有一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，直到兩點(diǎn)都到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)才能停止.（1）點(diǎn)P在AC邊上時(shí)，__________；點(diǎn)Q在AC邊上時(shí)，__________；（用含t的代數(shù)式表示）；（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，是以CD為腰的等腰三角形，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；（3）分別過P和Q作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，當(dāng)與全等時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值.

答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意.故選：D.根據(jù)軸對(duì)稱圖形的知識(shí)求解.本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念：軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合.2.【答案】C【解析】解：4的平方根是.故選：C.根據(jù)平方根的定義求解即可.本題考查了平方根的定義，解答本題的關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù).3.【答案】D【解析】解：當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意.故選：D.當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.這一特性主要應(yīng)用在實(shí)際生活中.考查了三角形的穩(wěn)定性，數(shù)學(xué)要學(xué)以致用，會(huì)對(duì)生活中的一些現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋.4.【答案】B【解析】解：①當(dāng)腰是3，底邊是4時(shí)，，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng)；②當(dāng)?shù)走吺?，腰長(zhǎng)是4時(shí)，，能構(gòu)成三角形，則其周長(zhǎng).故選：B等腰三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要分兩種情況討論.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.5.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等解答即可.本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.【解答】解：到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：D.6.【答案】D【解析】解：A、0.3，0.4，0.5不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；B、，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；C、，，不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)不合題意；D、，且都是正整數(shù)，是勾股數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D.利用勾股數(shù)定義進(jìn)行分析即可.此題主要考查了勾股數(shù)，關(guān)鍵是掌握滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).注意：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是勾股數(shù).②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到的三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…7.【答案】D【解析】解：設(shè)，則，當(dāng)是頂角時(shí)，，即：，解得：，此時(shí)；當(dāng)是底角時(shí)，，即，解得：，此時(shí)，綜上所述，的度數(shù)為或.故選：D.分是頂角和底角兩種情況分類討論列出方程求解即可.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，能夠進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.8.【答案】A【解析】解：，，，，，，，.故選：A.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到兩組相等的角，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可表示出和，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可得到與之間的關(guān)系.此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.9.【答案】C【解析】【分析】本題是開放性試題，根據(jù)題意，畫出圖形結(jié)合求解.本題考查了等腰三角形的判定來解決實(shí)際問題，其關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)來求解.【解答】解：第1個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑截取，交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P；第2個(gè)點(diǎn)在AC上，作線段AB的垂直平分線，交AC于點(diǎn)P，則有；第3個(gè)點(diǎn)是以B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑截取，與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P；第4個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑截取，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P；第5個(gè)點(diǎn)是以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑截取，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P；第6個(gè)點(diǎn)是以B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑截取、與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P；符合條件的點(diǎn)P有6個(gè)點(diǎn).故選：C.10.【答案】C【解析】解：①，，，在和中，，，，故結(jié)論①正確；②在中，，，，，，故結(jié)論②正確；③設(shè)，，，在中，，，，在中，，，，，，故結(jié)論③正確；④在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，，，，，在中，由勾股定理得：，，，，，，故結(jié)論④不正確；⑤，當(dāng)時(shí)，則，，故結(jié)論⑤正確，綜上所述：正確的結(jié)論由①②③⑤，共4個(gè)，故選：C.①先證明，進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定和全等，然后由全等三角形的性質(zhì)可對(duì)結(jié)論①進(jìn)行判斷；②根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)和全等得，由此可對(duì)結(jié)論②進(jìn)行判斷；③設(shè)，則，進(jìn)而得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，進(jìn)而得，由此可對(duì)結(jié)論③進(jìn)行判斷；④由勾股定理得，，則，證明得，，由此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷；⑤先求出，再根據(jù)時(shí)，得，進(jìn)而得，由此可對(duì)結(jié)論⑤進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案.此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形，勾股定理，理解等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.11.【答案】【解析】解：，的立方根是.故答案為：.利用立方根的意義解答即可.本題主要考查了立方根，熟練掌握立方根的意義是解題的關(guān)鍵.12.【答案】15：01【解析】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，題中所顯示的時(shí)刻與10：21成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為15：01，故答案為：15：01.利用鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解.鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱.本題考查鏡面對(duì)稱.掌握鏡面對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.13.【答案】【解析】解：由題意得：，解得：.故答案為：.根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可得關(guān)于a的方程，解出即可.本題考查平方根的知識(shí)，難度不大，關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù).14.【答案】4.8【解析】解：、b、c是的三邊，且，，，又，是直角三角形，且6，8是兩條直角邊的長(zhǎng)，10為斜邊的長(zhǎng)，設(shè)斜邊上的高為h，則，解得.故答案為4.8.先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出為直角三角形，且最長(zhǎng)邊為，再通過三角形的面積公式列出方程，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出答案.本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形.也考查了直角三角形的面積.判斷出為直角三角形是解題的關(guān)鍵.15.【答案】【解析】解：，E是AC的中點(diǎn)，，，，，，，，，，.故答案為：.由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，推出，，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，，即可推出.本題考查直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)即可求解.16.【答案】【解析】解：取AB的中點(diǎn)O，過D作于E，如圖2所示：由題意得：，設(shè)寸，則（寸），寸，寸，寸，在中，，即，故答案為：.取AB的中點(diǎn)O，過D作于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.本題考查了勾股定理的應(yīng)用，弄懂題意，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.圖217.【答案】【解析】解：將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD、PE，則，，，是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，的最小值為，故答案為：.將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD、PE，則，，是等邊三角形，所以，可證明，得，而，，則，所以，由，得，則的最小值為，于是得到問題的答案.此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.18.【答案】194【解析】解：，，，，作，使點(diǎn)F與點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)，且，連接EF、CF，，，，在和中，，，，，且，，的最小值為，的最小值的平方為194，故答案為：194.由，，，求得，作，使點(diǎn)F與點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)，且，連接EF、CF，可證明，得，由，且，得，則的最小值為，所以的最小值的平方為194，于是得到問題的答案.此題重點(diǎn)考查勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.19.【答案】解：（1），則，解得：；（2），，，解得：或.【解析】（1）直接利用立方根的定義計(jì)算得出答案；（2）直接利用平方根的定義計(jì)算得出答案.此題主要考查了立方根和平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.20.【答案】（1）證明：在和中，，（2）解：，，，，，，.【解析】（1）由“SAS”可證；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得，即可求解.本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.21.【答案】解：（1）如圖，設(shè)底邊，則，等腰三角形的周長(zhǎng)是21cm，，，，等腰三角形的三邊長(zhǎng)是3cm，9cm，9cm；（2）①當(dāng)?shù)妊切蔚牡走呴L(zhǎng)為6cm時(shí)，腰長(zhǎng)；則等腰三角形的三邊長(zhǎng)為6cm、7.5cm、7.5cm，能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)；則等腰三角形的三邊長(zhǎng)為6cm，6cm、9cm，能構(gòu)成三角形.故等腰三角形其他兩邊的長(zhǎng)為7.5cm，7.5cm或，6cm、9cm.【解析】（1）設(shè)底邊，則，代入求出即可；（2）分類討論，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷求出的結(jié)果是否符合題意.本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.22.【答案】【解析】解：（1）①如圖，為所作；圖1圖2②設(shè)AB邊上的高為CF，，而，，；故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)P為所作.（1）①利用網(wǎng)格特點(diǎn)和軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)即可；②利用面積方式計(jì)算AB邊上的高；（2）分別作的角平分線和線段AD的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為P點(diǎn).本題考查了作圖-軸對(duì)稱變換：作軸對(duì)稱后的圖形的依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，基本作法是：先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn).也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì).23.【答案】解：如圖所示，連接AC，，，，，又，，，，，是直角三角形，，.【解析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理.解題的關(guān)鍵是連接AC，并證明是直角三角形.由于，，利用勾股定理可求AC，并可求，而，，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求.24.【答案】證明：（1），，在和中，，.（2），，，同理，由（1）得，，，，，，，，，，，，是等腰三角形.【解析】（1）由，得，而，，即可根據(jù)“SAS”證明；（2）由，，求得，同理，由全等三角形的性質(zhì)得，由，得，再證明，則，所以，則，所以是等腰三角形.此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵.25.【答案】（1）證明：連接BP、CP，點(diǎn)p在BC的垂直平分線上，，是的平分線，，，，在和中，，，；（2）解：在和中，，，，，即，，即，.【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和線段的垂直平分線的性質(zhì).（1）連接BP、CP，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，再利用角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)“HL”可判斷，從而得到結(jié)論；（2）先證明得到，再利用得到，從而可求出AD的長(zhǎng).26.【答案】606152或101或29【解析】解：（1）、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，，60，61；故答案為：60，61.（2）觀察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)（n為奇數(shù)，且）時(shí)，則股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；則用含n的代數(shù)式表示每組第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)分別為：，，證明如下：，，，又為奇數(shù)，且，，，三個(gè)數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù).故答案為：，；（3）當(dāng)時(shí)，由勾股定理可得：，當(dāng)，則有：，即，當(dāng)，解得：，，，（舍去）；當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)，解得：；當(dāng)，解得：，綜上，c的值為52或101或29.故答案為：52或101或29.（1）分析所給四組的勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一組勾股數(shù)：11，60，61；（2）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去1的二分之一