2024年廣東省湛江市赤坎區(qū)湛江市培才學(xué)校九年級(jí)中考數(shù)學(xué)模擬試卷（解析版）

湛江市寸金培才學(xué)校2024?2025學(xué)年度初三級(jí)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)一數(shù)學(xué)科模擬試卷滿(mǎn)分：120分時(shí)間：90分鐘一、選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1.下列圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，居此判定即可．【詳解】解：A．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．該圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．該圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，正確掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題關(guān)鍵．2.已知的半徑為5，點(diǎn)到圓心的距離為6，那么點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)在上 B.點(diǎn)在內(nèi) C.點(diǎn)在外 D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)到圓心的距離大于半徑，點(diǎn)在圓外；點(diǎn)到圓心的距離等于半徑，點(diǎn)在圓上；點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，點(diǎn)在圓內(nèi)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：點(diǎn)在外．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是比較好點(diǎn)和圓心距離與半徑大?。?.如圖，四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∵，∴．故選：C．4.已知二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.對(duì)稱(chēng)軸為 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C.函數(shù)最大值是－3 D.函數(shù)的最小值是－3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵∴二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，為∴A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.近年來(lái)，由于新能源汽車(chē)的崛起，燃油汽車(chē)的銷(xiāo)量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經(jīng)銷(xiāo)商紛紛開(kāi)展降價(jià)促銷(xiāo)活動(dòng)．某款燃油汽車(chē)今年3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，5月份售價(jià)為16萬(wàn)元．設(shè)該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月均下降率是x，則所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月均下降率是x，根據(jù)“今年3月份售價(jià)為23萬(wàn)元，5月份售價(jià)為16萬(wàn)元”即可列出方程．【詳解】解：設(shè)該款汽車(chē)這兩月售價(jià)的月均下降率是x，由題意可得，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．6.如圖，繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，若，，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，可得，又有，，根據(jù)圖形可得，；代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的意義，三角形按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即，又∵，，∴，則．故選：C．【點(diǎn)睛】圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變．7.如圖，為的直徑，點(diǎn)C，D在上．若，則的度數(shù)為（）A.38° B.42° C.48° D.52°【答案】D【解析】【分析】如圖所示，連接，先根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等求出，再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵為的直徑，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．8.是關(guān)于的一元二次方程的解，則（）A. B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整體代入的方法計(jì)算2a+4b的值【詳解】解：將x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的解，整式運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵9.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時(shí)，的取值范圍是（）

A. B. C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖象，寫(xiě)出函數(shù)圖象在軸上方部分的的取值范圍即可．本題考查了二次函數(shù)與不等式，此類(lèi)題目，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解更簡(jiǎn)便．【詳解】解：由圖可知，或時(shí)，．∴則函數(shù)值時(shí)，的取值范圍是或，故選：D．10.如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，若將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度后得到，連接，若，則的長(zhǎng)度為（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)得，得，得，可判斷出是等邊三角形，故可得．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴由旋轉(zhuǎn)得，∴，∴而，∴，即，∵，∴是等邊三角形，∴,故選：B．二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分）11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M（，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．【答案】（2，）【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：點(diǎn)（，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，）．故答案為：（2，）．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．12.已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，若，為方程的兩個(gè)根，則，與系數(shù)的關(guān)系式：，．直接根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系作答即可．【詳解】解：∵m、n是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．13.若點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，則_____．（填“<”或“>”或“=”）【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)，且，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．【詳解】解：，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，∴當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)值隨自變量的增大而增大；∵，，故答案為：．14.如圖，在正方形中，，E為中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由正方形，可得，，，證明，求解，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理可得答案．【詳解】解：∵正方形，∴，，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，在中，，，，的半徑為2，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的一條切線(xiàn)（點(diǎn)為切點(diǎn)），則線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____．【答案】【解析】【分析】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，連接，由為圓O的切線(xiàn)，利用切線(xiàn)的性質(zhì)得到與垂直，利用勾股定理列出關(guān)系式，由最小時(shí)最短，根據(jù)垂線(xiàn)段最短得到垂直于時(shí)最短，利用面積法求出此時(shí)的值，再利用勾股定理即可求出的最短值．【詳解】解：連接，如圖所示，∵是的切線(xiàn)，∴，根據(jù)勾股定理知：，∴當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段最短，∵在中，，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．三、解答題（一）（本大題3小題，每小題7分，共21分）16.解方程：．【答案】，【解析】【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，或，，．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17.如圖，在破殘的圓形殘片上，弦的垂直平分線(xiàn)交弧于點(diǎn)，交弦于點(diǎn)，已知，．（1）求作此殘片所在的圓的圓心（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）求出（1）中所作圓的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了垂經(jīng)定理的應(yīng)用和基本作圖，用到的知識(shí)點(diǎn)是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法與性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，基本作圖需要熟練掌握．（1）在圓形殘片上作弦的垂直平分線(xiàn)，交于點(diǎn)P，連接，以P為圓心，為半徑的圓為所求殘片的圓．（2）先設(shè)圓P的半徑為r，根據(jù)和已知條件求出，，在中，根據(jù)，得出，求出r即可．【小問(wèn)1詳解】解：作圖如下，【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)圓P的半徑為r，∵，，，∴，，在中，，∴，解得，∴的半徑為．18.如圖，把一個(gè)含有角的直角三角尺繞著角的頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)與延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)重合，其中點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接．（1）是_____三角形，的度數(shù)是_____（2）若，求的面積．【答案】（1）等腰，（2）的面積．【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．（1）由旋轉(zhuǎn)，得到，即可得到是等腰三角形，再利用三角形的外角性質(zhì)可求得的度數(shù)；（2）求得中邊上高，再利用三角形面積公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴是等腰三角形，；故答案為：等腰，；【小問(wèn)2詳解】解：作于點(diǎn)，∵，，∴，∴的面積．四、解答題（二）（本大題3小題，每小題9分，共27分）19.如圖，是二次函數(shù)的圖象的一部分，根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題：（1）確定的值（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是，是軸上的一個(gè)點(diǎn)，若的面積為6，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）結(jié)合圖象，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)，利用面積公式進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：由圖可知，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，代入解析式，得：，解得：；【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，∴，設(shè)，∴，由題意，得：，解得：或；∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．20.某超市以每件10元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種文具，銷(xiāo)售時(shí)該文具的銷(xiāo)售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)且不高于19元．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷(xiāo)售數(shù)量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元）之間滿(mǎn)足一次函數(shù)關(guān)系：．（1）若該超市每天銷(xiāo)售這種文具獲利192元，則銷(xiāo)售單價(jià)為多少元？（2）設(shè)銷(xiāo)售這種文具每天獲利（元），求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)出自變量的取值范圍），并求出當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】（1）銷(xiāo)售單價(jià)為元；（2）當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)是元．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)每天的獲利=每件的利潤(rùn)×每天的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)每天的獲利每件的利潤(rùn)每天的銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：整理得：解得：(不合題意，舍去)，答：銷(xiāo)售單價(jià)為元；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意得：，∴當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為：，∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤(rùn)是元．21.如圖，在中，，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，使．（1）求證：為的切線(xiàn)；（2）若平分，且分別交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）EF=．【解析】【分析】（1）如圖，連接OC，欲證明CD是的切線(xiàn)，只需求得∠OCD=90°；（2）由角平分線(xiàn)及三角形外角性質(zhì)可得，即∠CEF=∠CFE，根據(jù)勾股定理可求得EF的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC∵為的直徑∴，即∠A+∠ABC=90°又∵OC=OB∴∠ABC=∠OCB∵∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°∵OC是圓O的半徑∴CD是的切線(xiàn)．（2）解：∵平分∴∠CDE=∠ADE又∵∴，即∠CEF=∠CFE∵∠ACB=90°，∴CE=CF=2∴EF=【點(diǎn)睛】此題主要考查切線(xiàn)的判定方法、角平分線(xiàn)及三角形外角性質(zhì)和勾股定理，熟練進(jìn)行推理論證是解題關(guān)鍵．五、解答題（三）（本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分）22.【綜合與實(shí)踐】問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們利用兩張全等的直角三角形紙片進(jìn)行圖形變換的操作探究，已知，，，．【操作探究1】（1）小穎將和按如圖1的方式在同一平面內(nèi)放置，其中與重合，此時(shí)，、三點(diǎn)恰好共線(xiàn)．點(diǎn)，在點(diǎn)異側(cè)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；【操作探究2】（2）小軍在圖1的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作：保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度（，射線(xiàn)和交于點(diǎn)（如圖2）．①求證：；②如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析②【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理得的長(zhǎng)，由全等知，可得，即可；（2）①由和線(xiàn)段的差可得結(jié)論；②如圖，當(dāng)時(shí)，，分別求和的長(zhǎng)，利用線(xiàn)段的差可得的長(zhǎng)，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，在中，，∴，∴，∵，∴，由勾股定理得；，∵，∴，∴；（2）①證明：如圖2，連接，在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即；②當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∵，∴；如圖設(shè)，則，∵，在中，，∴，解得：，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，認(rèn)真閱讀理解題意，并正確畫(huà)圖是關(guān)鍵．23.如圖1，拋物線(xiàn)與x軸相交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為B點(diǎn)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C點(diǎn)．（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)D，使得？若存在，求出所有點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)E是點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)F是直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)G．設(shè)和的面積分別為和，求的最大值．【答案】（1），；（2）存在，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，使得；（3）的最大值為．【解析】【分析】（1）令，求出的值即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，將函數(shù)化作頂點(diǎn)式可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）分點(diǎn)在直線(xiàn)下方、上方兩種情況，分別求解即可；（3）如圖，分別過(guò)點(diǎn)，作軸的平行線(xiàn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，，則，，設(shè)，可表達(dá)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：令，解得或，∴，∵，∴頂點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)的解析式為