2022-2023學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期專項講練14 菱形的性質(zhì)與判定(拓展篇)

專題1.4菱形的性質(zhì)與判定（拓展篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

類型一、平面直角坐標系中的菱形問題

1.如圖，在平面直角坐標系中、四邊形048C為菱形，。為原點，4點坐標為（8,0）,ZAOC

=60°,則對角線交點E的坐標為（）

A.（4,2萬）B.（2打，4）C.（2萬，6）D.（6,2也）

2.如圖，菱形OA8C在平面直角坐標系中的位置如圖所示，ZAOC=45°,04=2,則點C

的坐標為（）

V

A.（72,1）B.（&,&）C.（1,72）D.（V2+1J）

3.如圖1,點尸從菱形A6CD的頂點A；H發(fā)，沿Af。fB以lcm/s的速度勻速運動到點

6.圖2是點P運動時，AP8C的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數(shù)關(guān)系圖象，則菱形ABCD

的周長為（）

4.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1,0）,四邊形Q43C是菱形,

ZAOC=60°,以08為邊作菱形084C，使頂點用在。。的延長線上，再以。片為邊作菱形

OB.B2C2,使頂點不在0G的延長線上，再以。打為邊作菱形08再。3,使頂點與在0G的

延長線上，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則打。21的坐標是（）

Z/^\2Q2IqlOII

A.（-3,o",O）B.）

22

q2O23qlOII

C.（-（后產(chǎn)1,0）D.

類型二、折疊中的菱形問題

5.如圖，在RaABC中，47=90。，/4=30。,48=2,將?BE/沿EF所在直線翻折得到/DEF,

點。為NABC的平分線與邊AC的交點，則線段所的長度為（）

A.；B.近C.D.-y/3

2233

6.圖，在Rt/XABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=G，點P是斜邊A8上一動點，連結(jié)

CP,將△8CP以直線CP為對稱軸進行軸對稱變換，8點的對稱點為夕，連結(jié)A9,則在產(chǎn)

點從點A出發(fā)向點5運動的整個過程中，線段49長度的最小值為（)

A.1

7.RSABC中，ZC=90°,NB=30。，點。為AB的中點，點E在邊8c（包括點8、C）

上，將4BDE沿著直線OE翻折得到^B'DE,設(shè)NBOE為a,當a為（）度時，以

點A、CB'、。為頂點的四邊形為菱形.

B'

A.60°B.30°C.30?；?20。D.45°或60°

8.如圖1,點。為菱形A8CO的邊5c上一點，將菱形A8CO沿直線AQ翻折，點8的對

應(yīng)點P落在3c的延長線上.已知動點M從點3出發(fā)，在射線8C上以每秒1個單位長度運

動.設(shè)點”運動的時間為彳，AAPM的面積為y.圖2為），關(guān)于x的函數(shù)圖象，則菱形ABCD

的面積為（）

A.12B.24C.10D.20

類型三、菱形的最值問題

9.如圖，在菱形A6c。中，AC與6。相交于點O,A6=4,BD=4后,E為A6的中點,

點P為線段AC上的動點，則EP+BP的最小值為（）

A.4B.2石C.2季D.8

10.如圖，在平行四邊形45C。中，對角線80平分ZA8C,BC=8,ZA8C=45。，在對角

線8。上有一動點P,邊8c上有一動點Q,使PQ+PC的值最小，則這個最小值為（）

A.4B.4&C.4百D.8

11.如圖,AC是菱形A8CD的對角線，ZA8C=120。.點E,戶是AC上的動點，且所=14C,

4

若A￡）=2,則OE+質(zhì)的最小值為（）

A.姮B.痘C.2D.叵

222

12.如圖，已知菱形ABCO的兩條對角線分別為6和8,M、N分別是邊8C、CO的中點,

P是對角線5。上一點，則PM+PN的最小值是（）

D

A.5B.10C.6D.8

類型四、菱形的旋轉(zhuǎn)問題

13.如圖，在AABC中，AC=BC,點￡＞、E分別是邊AB、AC的中點，將AADE繞點E旋

轉(zhuǎn)180°得△（了￡,則四邊形AOC尸一定是（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.梯形

14.如圖，在平面直角坐標系直刀中，菱形4灰?。的8C邊的中點。在坐標原點上，AB=4,

4=60。，A8〃y軸，將菱形ABCD繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，點人的對應(yīng)點為點4,則

點H的坐標為（)

C.(1,-2^)D.卜3,一6)

15.如圖.將菱形ABC。繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)Na得到菱形4SC。，/8=/人當AC平分

NH4C時，/a與滿足的數(shù)量關(guān)系是（)

Dr

B.2Za=3Zp

C.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=180°

16.如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,將菱形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn),

對應(yīng)得到菱形AEFG,點E在AC上，EF與CD交于點P,則DP的長是(

A.石-1B.癢2C.25/3-1D.25/3-2

二、填空題

類型一、坐標系下的菱形問題

17.如圖，若菱形A8CO的頂點48的坐標分別為(3,0),(-2,0),點。在)，軸上，則點

是______.

BO\Ax

18.如圖，在平面直角坐標系中，己知菱形。48c的頂點。、B的坐標分別為(0,0)、(2,

2),若菱形繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)135。時，菱形的對角線交點。的坐標為.

19.如圖，在平面直角坐標系中，菱形QMC的對角線。8上有P,。兩個動點，且PQ=2,

己知點A(2"0),NAOC=60。，當△CPQ周長最小時，點P的坐標為

20.已知：在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，點4在x軸的負半軸上，直線)，=?石

x+gG與x軸、軸分別交于8、C兩點.四邊形A8CO為菱形，連接4C,點、P為&ACD

內(nèi)一點，且NAPB=60。，點E在線段AP上，點尸在線段8P上，EBF=AE,連接4凡EF,

類型二、折疊中的菱形問題

21.如圖，A。是△ABC的高，在A8上取一點E,在AC上取一點F,將△ABC沿過E、F

的直線折疊，使點A與點。重合，給出以下判斷：①E尸是AABC的中位線；②△￡>￡：尸的周

長等于AA8C周長的一半；③若A3=AC,則四邊形4E￡>尸是菱形；④若NB4C是直角，則

四邊形AED尸是矩形；其中正確的是.

A

22.如圖，在菱形A8co中，尸為6c邊上一點，將△CD尸沿。尸折疊，點C恰好落在C8延

長線上的點E處，連接DE交AB于點G,若BE=3,BF=2,則。尸的長為.

23.如圖，在菱形A8CO中，NA=120。，AB=2,點E是邊AB上一點、,以力七為對稱軸將

△D4E折疊得到AOGE,再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應(yīng)點為點”，折痕為

E尸且交8c于點F.

(1)NDEF=；

(2)若點E是AB的中點，則。尸的長為

24.如圖，在菱形ABC。中，NB=60。，AB=4,E,產(chǎn)分別是邊A3,8c上的點，將△匹尸

沿EF折疊，使點3的對應(yīng)點9落在邊AO上，若AE=AB',則C產(chǎn)的長為.

B

類型三、菱形的最值問題

25.如圖，菱形ABC。中，對角線AC,8。交于點0,點E,尸分別在對角線AC和邊4。

上，連接EF,若人C=4,BD=2,貝lj￡)￡"'之和的最小值為.

26.如圖，在菱形A8co中，A8=5,AC=8,點M,N在AC上，且MN=1,連接BM,

ON,則BM+ON的最小值為.

27.如在菱形48co中，BC=2,ZC=120°,E為A8的中點，P為對角線BO上的任意一

點，則叢+PE的最小值為.

28.如圖，在菱形A8C曾中，N月8c=120。，對角線AC、BD交子點、O,BD=4,點、E為

。。的中點，點尸為A4上一點，且4尸=38凡點P為AC上一動點，連接PE、PF,則PF

?產(chǎn)石的最大值為一.

類型四、菱形的旋轉(zhuǎn)問題

29.如圖，已知菱形ABCO的邊長為2,NA=45。，將菱形A8CO繞點A旋轉(zhuǎn)45。

、、

,得到菱形AAGA，其中BC。的對應(yīng)點分別是s、cPD,那么點c、G的距離為

30.如圖，菱形ABC。，ZBAC=atM是AC、BO的交點，P是線段BM上的動點（不與點

B、M重合），將線段而繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQ,點。恰好在CD上，若要使得

PQ=QD,則a的范圍為.

31.如圖，已知等邊三角形A8C繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60。得到E,尸分別為線段AC

和線段8上的動點，且AE=C尸：有以下結(jié)論：①四邊形。為菱形；②AABE-CBF；

③所為等邊三角形；④/CFB=NCGE.其中正確結(jié)論有.（填序號）

32.如圖，在平面直角坐標系中，。是菱形ABCO對角線BO的中點，AO〃x軸，AD=4,

NA=60。.將菱形ABC。繞點O旋轉(zhuǎn)，使點。落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點的坐標是

三、解答題

33.如圖，在平面直角坐標系中，直線A8的解析式為y=]X+3,它與x軸交于點8,與y

軸交于點4,直線產(chǎn)子與直線交于點C.動點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速

度沿射線CO運動，運動時間為/秒.

(I)求△AOC的面積；

(2)設(shè)△雨。的面積為S,求S與，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

⑶M是直線OC上一點，在平面內(nèi)是否存在點M使以A,0,M,N為頂點的四邊形是菱

形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

34.矩形A8C。中，AD=5,AB=3,將矩形ABC。沿某直線折疊，使點A的對應(yīng)點H落在線

段8C上，再打開得到折痕￡尸.

(1)當H與B重合時(如圖1),EF=；

(2)當折痕E尸過點￡＞時(如圖2),求線段E尸的長；

(3)觀察圖3和圖4,①利用圖4,證明四邊形AE/V尸是菱形；

②設(shè)BA。，當”的取值范圍是時，四邊形AE4,是菱形.

35.如圖，在菱形ABC￡＞中，ND4B=60。，點E為A8邊上一動點(與點A,B不重合)，

連接CE,將/ACE的兩邊所在射線CE,C4以點C為中心，順時針旋轉(zhuǎn)120。，分別交射線

AO于點凡G.

(1)若NACT=a,求NAR7的大小(用含a的式子表示)；

⑵證明4￡+AF=>/5CG；

(3)若AB=4,點M為菱形4BCO對角線AC(不含A點)上的任意一點，則的最

小值為.

36.綜合與探究

問題情境：

數(shù)學(xué)實踐課上，老師要求同學(xué)們先制作一個透明的菱形塑料板，然后在紙上畫一個與透明的

菱形相似的菱形AMG,把透明的菱形放在上面記作菱形A8CD,它們的銳角頂點A重合,

且NBAD=NEAG,連接8E,DG.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：

如圖I,當邊A。在邊AE所在的射線上，直接寫出BE與06的數(shù)量關(guān)系：

⑵探究發(fā)現(xiàn)：

如圖2,將菱形ABCO繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點O落在所邊上，連接和DG

.你認為（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

（3）探究拓廣：

如圖3,在（2）的條件下，當/胡O=N￡4G=90°時，探究并說明線段跖和力G的數(shù)量關(guān)

系和位置關(guān)系.

參考答案

1.D

【分析】

過點上作EFLx軸于點F,由直角三角形的性質(zhì)求出E尸長和。尸長即可.

解：過點E作破_Lx軸于點尸,

■:四邊形OABC為菱形，ZAOC=60°,

，NAOE=g"OC=30。，0B1AC,ZME=60°,

ZAEF=30°

VA(8,0),

.*.AO=S,

???AE號AO4X8=4,

??4尸二—AE-2,EF=\lAE2-AF2=V42-22=V12=2V5，

/.OF=JO-AF=8-2=6,

???E(6,2V3).

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理及含30。直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

2.B

【分析】

作CDJ_x軸，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OC=OA=2,在心△08中，根據(jù)勾股定理求出。。的

值，即可得到。點的坐標.

解：作C￡)_Lx軸于點O,

y

貝i」NCDO=90。，

???四邊形048c是菱形，OA=2,

：.OC=OA=2,

又：Z4OC=45°,

:.ZOCD=90°-ZAOC=90°-45°=45°,

NDOC=/OC3

:.CD=OD,

在陽△OCO中，OC=2,CD2+OD2=OC2

:.2002=002=22=4,

???0。2=收，

：?0D=CD=O,

則點C的坐標為（夜,也）,

故選：B.

【點撥】此題考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)勾股定理和等

腰直角三角形的性質(zhì)求出也是解決問題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】

由圖1可知點尸在A。上運動時，APBC的底和高不變，面積不變；在。8上運動時，面積

在減??；故結(jié)合圖2可知菱形的邊長為m高為3,BD=5,進而構(gòu)建直角三角形，由勾股定

理可得到答案.

解.：由圖可知菱形的邊長為小BD=5,菱形8。邊上的高是3,如圖

D

則有O〃=3

，BH=<BD+DH，=4

:.CD=a.CH=4-a

，由C￡>2=C〃2+Q〃2有°2=（4-a）2+32

解得4a=B

故選：D.

【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形；懂得從圖中數(shù)據(jù)提煉圖形的邊長并構(gòu)建直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

4.A

【分析】

連接AC、BJ,分別交08、03/于點。、利用菱形的性質(zhì)及勾股定理即可得08的長，

進一步在菱形0B8/G計算出0歷，過點3/作3/M_Lx軸于M,利用勾股定理計算出BM

0M,從而得助的坐標，同理可得&,&,B4,Bs,&,歷，BQ,BIO,8/2,根據(jù)

循環(huán)規(guī)律可得比⑶的坐標.

解；如圖所示，連接入C,PG分別交OB,。馬與。、

???點4的坐標為（1,0）,

AOA=1,

???四邊形0ABe是菱形，NAOC=60。，

：,OC=OA=\t08=200,NCOO=30°,N80=90°,

：.CD=-OC=-,

22

?**OD=j+（；>=亭，

OB=A

???NAOC=60。,

???Zfi/OC/=90°-60°=30°,

?.?四邊形OKA/G是菱形,

.?.NCQO=90。，OC\=OB=G磔=2叫,

在R於oCiDj中c"=goq=等

**?OD]=｝廚-(爭2=；,

???0B[=20D尸3,

過點8/作8/M_Lx軸于點M,

13

在放△。歷夕中，OM=-0B[=-

22

.?.B.A/=^32-(1)2=|V3

***?

22

同理可得員（0,3揚,用（弓竽），84（-三,竽），B5（-27,0）,

攀），8,（-3，-苧），&（0,-81揚，

為苧一號烏,B吟，一青旦,昂（729,。）.

o,7296729.

用2（2，^―），

由此可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律“每經(jīng)過12次作圖后點的坐標符號與第一次坐標符號相同，每次菱形

的邊長變成原來的6倍即OBti=（右）用,

72021-12=168......5,

???&⑼的縱坐標符號與&的相同，則&⑼在），軸的負半軸上,

又。8謝=（石嚴2=嚴

???&02/的坐標為（-3叫0）,

故選A

【點撥】本題考查平面直角坐標系找規(guī)律，利用菱形的性質(zhì)處理條件，掌握循環(huán)規(guī)律的處理

方法是解題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】

連接3。，求證四邊形8EO尸是菱形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形

的判定和性質(zhì)求解即可.

解：如圖，連接8。，

VZC=90°,ZA=30°,AB=2,

:.BC=-AB=\ZABC=90°-ZA=60°，

2f

???點D為NABC的平分線與邊AC的交點，

???/ABD=/CBD=LzABC=30°,

2

???將48所沿E尸所在直線翻折得到

:?BE=DE,BF=DF,

???NEOB=/CBD=30°,ZFDB=ZABD=30°,

：.ZEBD=ZFDB=30°fNEDB=NFBD=300,

：.BE//DF,BF//DE,四邊形5￡￡）尸是平行四邊形，ZADF=ZC=90°,

又?：BE=DE,

???四邊形BEDr是菱形，

:,BE=BF=DF=DE,

在R/A4。尸中，

???ZA=30°,

*：AF=2DF=2BF,

:.AB=AF+BF=2BF+BF=3BF,

?*BF=—AB=一,

33

又?；BE=BF,ZABC=60°,

??.△8￡產(chǎn)是等邊二角形.

:,BE=BF=EF=',

故選：C.

【點撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性

質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運用這些知識點.

6.D

【分析】

由題意可知點&在AC上時，線段A9長度最短，故可求解.

解：???將ABCP以直線b為對稱軸進行軸對稱變換，0點的對稱點為8',AC.8c長度不

變，故當A、C在三點共線時，符合題意，

即點5'在AC上時，線段A9長度最短，即

???在RtZVIBC中，ZC=90°,ZA=30。，BC=￡,

：,AB=2BC=243,

\lAB1—BC~=3，

??.線段A*長度最短為AC-8C=3-6，

故選D.

【點撥】此題主要考查三角形的長度求解，解題的關(guān)鍵是熟知軸對稱變換的特點及含30。的

直角三角形的性質(zhì).

7.C

【分析】

分AD為菱形點對角線，菱形的邊長兩種情況討論即可

解：???RSA8C中，ZC=90°,ZB=30°,點。為48的中點,

AAC=AD=CD=DB,ND4C=60°

“OC是等邊三角形

???折疊

..DZ=DB

①如圖，當為菱形的邊長時，ACUDB'

???zmc=60°

ZAZ)B/=120°

.-.ZBDB/=60°,則a=30。

②當AO為菱形的對角線時，此時E與C重合，如圖

同理可得/。。6=120。，則a=120°

故選C

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的宜角三角形的性質(zhì)，折您的性質(zhì)，確定^AOC

是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

由圖2,可知2A6,SAABP=12,由圖1翻折可知，AQA-BP,進而得出人。=4,由勾股定理，

可知8C=AB=5,菱形ABCO的面積為BOA。即可求出.

解：由圖2,得BP=6,SMBP=12

：.AQ=4

由翻折可知，AQ±BP

由勾股定理，得BC=AB=442+32=5

???菱形ABCD的面積為BCXAQ=5X4=20

故選：D

【點撥】本題是一道幾何變換綜合題，解決本題主要用到勾股定理，翻折的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)

圖象找HI幾何圖形中的對應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

9.C

【分析】

連接OE交AC于點P,連結(jié)BR根據(jù)菱形的性質(zhì)推出A。是8。的垂直平分線，推出

PE+PB=PE+PD=OE且值最小，根據(jù)勾股定理求出OE的長即可.

解：???四邊形A8CO是菱形，

AAC1BD,AO=^AC,B0=3BD=26,

*：AB=4f

?*-AO=JAS-BO2=2,

連接。E交AC于點P,連結(jié)BP,作EM_L5。于點M,

???四邊形ABC。是菱形，

：.AC1BD,KDO=BOf即人。是8。的垂直平分線,

:,PD=PB,

:.PE+PB=PE+PD=DE且值最小,

:七是A4的中點，EMVBD.

：.BE=2

：.EM=-A0=\,

2

：?BM7BE?-EM?=石

3

:.DM=BD-BM=580=35

?*-DE=VEA/2+DM2=Jf+（3石）2=2幣，

故選c.

【點撥】此題考查了軸對稱?最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理等等，關(guān)鍵是根據(jù)題意

確定P點位置從而確定尸E+P3的最小值的情形.

10.B

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NADB=NCBD,由角平分線的定義得到NABD=NCBD,得到平

行四邊形ABCD是菱形，推出點A,C關(guān)于BD對稱，過A作AQ_LBC于Q交BD于P,

則PQ+PC最小值=AQ,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD/7BC,

，NADB=NCBD,

?；BD平分NABC,

AZABD=ZCBD,

AZABD=ZADB,

AAB=AD,

???平行四邊形ABCD是菱形，

???點A,C關(guān)于BD對稱，

過A作AQXBC于Q交BD于P,

則PQ+PC最小值=AQ,

VZABC=45°,

???△ABQ是等腰直角三角形，

VAB=BC=8,

.??AQ=在AB=4日

2

???這個最小值為4,2，

故選：B.

【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰

直角三角形的性質(zhì)，準確的找到P與Q的位置是解題的關(guān)鍵.

11.D

【分析】

如圖，作出輔助線，當點G,凡8共線時，DE+3萬有最小值，利用題目中的條件，在他AB0G

中，求出60，OG的長度，即可求HIBG的長度，即為的最小值.

解：如圖，過點、DG//EF,過點尸作尸G〃OE,DG,FG交于點、G,

B

則四邊形DEFG是平行四邊形，

：,DG=EF,DE=FG,

當點G,F,B共線時，DE+8廠有最小值.

連接6Q,由菱形的性質(zhì)可知AC_L8O,

ZOAD=1/BAD=1(180°-^ABC)=30°,

I1c

OD=-AD=\tOA=+OD=6,80=28=2,AC=2』,DG=^AC=^~,

又???DG//AC,

，ZBDG=ZB￡>C+ZCDG=ZBZ)C+ZACD=60o+30o=90o.

當G,F,B共線時，BG=\BD，+DG?=卜+惇=程,

故。E+8歹的最小值為亞，

2

故選：D.

【點撥】本題主要考查了動點幾何問題中的最短線段問題，正確作出輔助線，得到點G,凡

8共線時，止+3廠有最小值，并利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求解是解題的關(guān)鍵.

12.A

【分析】

作M關(guān)于8。的對稱點Q,連接M2,交BD于P,連接MP,此時MP+NP的值最小，連接

AC,求出CP、BP,根據(jù)勾股定理求出8。長，證出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.

解：作M關(guān)于8。的對稱點Q,連接N。，交BD于P,連接MP,此時MP+NP的值最小,

連接其。，則。是AC中點，

???四邊形4BCO是菱形，

.\AC1BD,/QBP=/MBP,

即。在48上，

VA/G±BD,

：,AC//MQ,

為BC中點,

；?Q為AB中點，

?:N為CD中點、,四邊形A8C。是菱形,

：.BQ//CD,BQ=CN,

???四邊形BQVC是平行四邊形，

：.PQ//ADf

而點。是A8的中點，

故尸Q是△人△力的中位線，即點。是的中點，

同理可得，PM是△4BC的中位線，

故點P是AC的中點，

即點尸是菱形ABCO對角線的交點，

???四邊形A8CO是菱形，

則為直角三角形，

CP=-AC=\BP=-BD=4.

22

在放ABPC中，由勾股定理得：8c=5,

即NQ=5,

:.MP+NP=QP+NP=QN=5.

故選：A.

【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出尸的位置.

13.A

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定4E=CE,DE=EF,進而確定四邊形是平行四邊形，再根據(jù)

等腰三角形三線合?的性質(zhì)確定乙位）C=90。，進而確定四邊形A0CF是矩形.

解:?:AADE繞i點、E旋轉(zhuǎn)180°得芯，

：?AE=CE,DE=EF,

???四邊形ADCF是平行四邊形，

VAC=BC,點。是邊AB的中點，

:.NAQC=90°,

，四邊形AOCF是矩形.

故選：A.

【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定定理，熟練掌握以上知識點

是解題關(guān)鍵.

14.D

【分析】

根據(jù)60。的菱形的性質(zhì)得到。8長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形得到OP,A'P,OP

長，結(jié)合圖形從而得到點⑷的坐標；

解：如圖1，連接。A,???NABC=60。，點O為菱形ABC。中BC邊的中點，???Q4_L8C,

404=90。，???/班0=30°,??.O5=1AB=[X4=2,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OB'=OB=2,

22

在Rt△9OP中，OP=O&sin￡=#x2=G，=OB'cosB'=gx2=1,/.

4P=A8'—P8'=4—1=3,J點才的坐標為"，一G),故選D.

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標由圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正確的

識別圖形是解題的關(guān)鍵

15.C

【分析】

根據(jù)4c平分NBNC,得到N8AC=NC4C,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為Na,得到/848=NCAC=Na,

根據(jù)4c平分/BAQ,得至IJ/BAC=ND4C,推出NBAg=NOAC,推出N8AU=/84C=

ZG4C=ZDAC=Za,根據(jù)AO〃8C,得到N8+NH4O=180。，推出4Na+/0=180°.

解：???AC平分/￡4(7,

:.ZB'AC=ZCAC,

???菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)Na得到菱形ABC。,

：.ZBAB'=ZCAC=Za,

???AC平分NBA。，

Z.ZBAC=ZDAC,

：.ZBAB'=ZDACt

???ZBAB'=ZB'AC=ZCAC=ZDAC=Na,

,:AD〃BC,

.*.ZS+ZBAD=180°,

/.4Za+Zp=180o.

故選：C.

【點撥】本題考查了菱形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和角平分線，熟練掌握菱形的邊、角、對角線性質(zhì),

旋轉(zhuǎn)圖形全等性質(zhì)，角平分線定義，是解決本題的關(guān)鍵.

16.A

【分析】

連接BD交AC于0,根據(jù)四邊形ABCD是菱形,得至ljAD=CD=AB=2,ZBCD=ZBAD=60°,

ZACD=ZBAC=|ZBAD=30°,OA=OC,AC±BD,求出AC=2萬，由旋轉(zhuǎn)得AE=AB=2,

NEAG=NBAC=60。，求出CE=AC-AE=273-2,再證得/CPE=90。，求出PC=QPE=3-G，

根據(jù)DP=CD-PC求出數(shù)值即可.

解：連接BD交AC于O,

???四邊形ABCD是菱形，

AAD=CD=AB=2,ZBCD=ZBAD=60°,NACD=NBAC=/NBAD=30°,0A=0C,

AC1BD,

???△ABD是等邊三角形，

.\0B=^AB=l,

AOA=ABcos30°=>/3,

???AC=25

由旋轉(zhuǎn)得AE=AB=2,ZEAG=ZBAC=60°,

.,.CE=AC-AE=2V3-2,

???四邊形AEFG是菱形，

AEF/7AG,

???ZCEP=ZEAG=60°

??,ZCEP+ZACD=90°,

r.ZCPE=90°,

???PE=3CE=G-1,PC=73PE=3-X/3,

:.DP=CD-PC=2-(3-75)=^-1,

故選：A.

【點撥】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定，直角三角

形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

17.10

【分析】

利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出。。的長，進而三角形的面積.

解：???菱形ABC。的頂點A,8的坐標分別為(3,0),(-2,0),點。在y軸上，

：.AB=3-(-2)=5,AB//CD,AD=CD=AB=5,

即CO〃x軸，

在mZkAO。中，

由勾股定理得：濟/="二孕=4

/.S=5x4x—=10

故答案：10.

【點撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出。。的長是

解題的關(guān)鍵.

18.(-72,0)

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得。點坐標，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得。點的坐標.

解：菱形OA8C的頂點O(0,0),B(2,2),得。點坐標為(1,1).

；?OO=廬了=夜，。8與)，軸的正半軸的夾角為45。，

而y軸的正半軸與x軸的負半釉夾角為90°,

???菱形繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)135。時，即線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)135。時，此時0D在

軸的負半軸上，

...菱形的對角線交點力的坐標為(-75,0),

故答案為：

【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

19.(2>/3,2)

【分析】

連接AP、4c交8。于點E,過A點作4O〃PQ,且4APQ,連接收、CD,則當點Q在

線段8上時CQ+CP最短，從而ACPQ周長最小，則易得"_LOA,從而可求得點尸的坐

標.

解：連接AP、AC交BD于點E,過A點作A?！ㄊ琎,且AQ=PQ,連接OQ、CD,如圖

???四邊形4OQP是平行四邊形

：.DQ=APfAD=PQ=2

由菱形的對稱性知：AP=CP

：,DQ=CP

當點。在線段8上時，CQ+QQ=CQ+CP最短，從而AbQ周長=CQ+CP+2最小

???四邊形OA3C是菱形

AOC=OA=2>/3,CE=AE,AC.L8D

*/NAOL60。

???△O4C是等邊三角形

：?AC=OA=2-75

\'AD//PQ

：,AC1AD

由勾股定理得CD=ylAD2+AC2=V42+I22=4

:.ZACD=30Q

'：AP//CD

???ZPAC=ZACD=30°

:.ZPAO=ZCAO+ZPAC=90C

即PALOA

■:N4OE=30。

:.OP=2AP

在RSBAO中,由勾股定理得：(2y/3)2+AP2=(2AP)2

解得：AP=2

則點尸的坐標為(26,2)

故答案為：(2百,2)

【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾

股定理，兩點間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是掌握過A點作AQ〃P。，且

20.25

【分析】

連接CE、CF.證明ACEF是等邊三角形以及AELCR然后利用勾股定理得出答案.

.?哈0）,。（0,竽）,

在RtAOBC中，BC=JOC2+OB2=5^

???四邊形45co是菱形,

AB=BC=5,

:.OA=5--=-=OB,

22

-CO1AB,

AC=BC=5f

AB=BC=AC,

???AA8C是等邊三角形，

AZACB=60°,

???ZAPB=60°,

:.ZAPB=ZACB,

.ZPAG+ZAPB=ZAGB=ZCBG+ZACB,

:.ZPAG=ZCBG,

在A4CE和ABCF中，

AE=BF

<NEAC=ZFBC,

AC=BC

.-.MCE=ABCF(SAS),

.CE=CF,ZACE=/BCF,

NECF=ZACF+ZACE=ZACF+NBCF=ZACB=60°,

ACE/是等邊三角形，

NCAE=ar,EF=FC,

-.?ZAfE=30°,

:.ZAFC=ZAFE+ZCFE=9(y>,

在RlAACF中，AF2+CF2=AC2=25.

:.AF2+EF2=25.

故答案為：25.

【點撥】本題考查一次函數(shù)綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問

題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

21.①②③

【分析】

由折疊的性質(zhì)及垂直的條件可得點￡、尸分別是A5、AC的中點，從而可判定①正確；由

中位線定理即可判定②正確；由4B=AC及E、產(chǎn)分別為中點可得A￡=4F,由折疊的性質(zhì)即

可判定③正確；當48與AC不相等時，點。不是8C的中點，則OE與4c不平行，從而四

邊形AE￡>/不是平行四邊形，故不是矩形，從而可判定④錯誤.

解：由折疊性質(zhì)得：AE=DE,AF=DF,EFLAD

:.NEAD=NEDA

*：ADLBC

:?NEQA+NEDB=90°,ZEAD+ZB=90°

:.ZEDB=ZB

:.DE;RE

：.DE=AE

即點E是AB的中點

同理：點產(chǎn)是AC的中點

???E尸是8c的中位線

故①正確

???所是△4BC的中位線

:.EF=-BC

2

VAE=-AB,AF=-AC

22

:.△AEF的周長為4E+E尸+4/7=L(A8+8C+4C)

2

而乙ABC的周長為AB+BC+AC

???△AE產(chǎn)的周長等于△A5C周長的一半

故②正確v

?：AB=AC,E、尸分別是A3、AC的中點

：.AE=AF

?:AE=DE,AF=DF

:,AE=DE=DF=AF

即四邊形AEDr是菱形

故③正確

當48與AC不相等時，點。不是BC的中點，則DE與AC不平行，從而四邊形AED尸

不是平行四邊形，故不是矩形

故④錯誤

故答案為：①??

【點撥】本題考查了三角形中位線定理，菱形的判定，折疊的性質(zhì)等知識，由題意得到E、

尸分別是中點是解題的關(guān)鍵.

22.2而

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)得CF=E凡DF±BC,代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得C7三5,807,由菱形的性質(zhì)得

DC=7.最后根據(jù)勾股定理可得。尸的長.

解：由折疊得，CF=EF,DF1BC,

V5E=3,BF=2

：.EF=BE+BF=3+2=5

：.CF=5

：.BC=BF+FC=2+5=1

???四邊形ABC。是菱形

：.DC=BC=7

在陽△。尸C中，戊?2=+Cf：Z

；?DF=\lDC2-CF2=Ji2-52=2yf6

故答案為：2瓜

【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)折疊的性質(zhì)得

到CF=EF,O”J_8c是解答本題的關(guān)鍵.

23.9002.8

【分析】

(1)由折疊得=再根據(jù)平角的定義可得結(jié)論；

(2)首先證明5、G、。在同一條直線上，再運用勾股定理列方程求解即可.

解：解由折橙得，/AED=QEG,4BEF=NHEF

???ZDEG+ZHEF=ZAED+ZBEF

???ZAED+ZDEG+ZHEF+^BEF=180°

；?/DEG+^HEF=！x180"=90"

2

即N￡>EF=90。

故答案為：90°；

(2)???四邊形ABC。是菱形

：,AD//BC,DCHAB,AB=BC=CD=DA=2

???ZB+Z4=180°

???ZA=120°

zrB=180o-ZA=180°-120°=60o

???點E為AB的中點,且AE=2

???AE=BF=-AB=-x2=\.

22

???點A與點G重合，

；?ZDGE=ZA=120°

???點8與點〃重合

???ZEHF=ZB=60°

又4E=EG,BE=EH,AE=BE

:.EG=EH

.??點G與點〃重合

,/ZDGE+NFHE=/DGE+NFGE=100°+80°=180°

???B,G,。三點在同?條直線上

過點。作交8c的延長線于點0,如圖，

■:DCHAB

???NDCO=4=60°,DC=AB=2

AZCZX>=30°

.??CO=-DC=-x2=l.

22

在R/ADCO中，OD=^DC2-OC2=V22-l2=V5

由折疊得，BF=FH,AD=DH=2

設(shè)5尸=%，則FC=2-x

ADF=DF+GF=2+x,FO=FC+CO=2-x+\=3-x

在脅4?；?。中，DF2=FO2+DO2

：.(2+x)2=(3-X)2+(X/3)2

解得，x=0.8

???DF=2+0.8=2.8

故答案為2.8

【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線構(gòu)造

直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

24.4-2^##-273+4

【分析】

根據(jù)菱形性質(zhì)和N3=60。，可得BC=AB=4,ADiiBC,NB4￡>=120。，過點A作AG_LE/

于點G,AP1BC于點P,過點B'Q_L8C于點。，得矩形然后利用含30度角的

直角三角形可得g(4-4E)=#4E,得4E=26-2,再利用勾股定理即可解決問題.

解：在菱形A6C。中，ZB=60°,BC=AB=4,AD//BC,

.\ZR4D=120°,

如圖，過點A作4G_LE9下點G,AP_L8C下點產(chǎn)，過點*Q—BC于點。，

得矩形人尸。夕，如圖所示：

PQ=AB',B'Q=AP,

-AE-AB',AG±EB',

:.EG=BG=-EB'ZAEG=30°,

2t

由翻折可知：BE=B'E,BF=B'F,

:.BE=B'E=AB-AE=4-AE,

:.EG=B,G=^（4-AE）

-EG=AEcos300,

解得AE=2>/5-2,

..PQ=ABf=AE=2>/3-2,

在mAABP中，ZB=60°,AB=4,

BP=-AB=2,

2

AP=2y/3,

：.B'Q=AP=26

;.CF=B