2022版新教材數(shù)學(xué)必修第二冊（人教B版）分課時全冊教學(xué)案（共34課時）含答案

4.1.1實數(shù)指數(shù)惠及其運算

m

通過對有理款指數(shù)基且；加，〃為整數(shù)，且〃、實數(shù)指

最新課aG(a>0,a#l>0)

程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)寐且aWl:xWR)含義的認(rèn)識，了解指數(shù)簌的拓展過程，掌

握指數(shù)幕的運算性質(zhì).

新知初探舊主學(xué)習(xí)一突出基礎(chǔ)性

知識點一n次方)限及根式的概念

1.。的〃次方根的定義

如果,那么k叫做a的〃次方根，其中心1,且“GN*.

2.〃的〃次方根的表示

(I)當(dāng)〃是奇數(shù)時，a的〃次方根表示為,共.

(2)當(dāng)〃是偶數(shù)時，。的〃次方根表示為,其中________表示。的負(fù)的〃

次方根，.

3.根式

式子叫做根式，這里八叫做,a叫做.

狀元隨筆根式的概念中要求n>l,且n￡N”.

知識點二根式的性質(zhì)

(l)(Va)n=(〃￡R+,且〃>1)；

_____(n為奇數(shù)，且n>1),

⑵W=.(n為偶數(shù)，且n>

狀元隨筆(%)”中當(dāng)n為奇數(shù)時，a￡R；〃為偶數(shù)時，心0,而府中a￡R.

知識點三分?jǐn)?shù)指數(shù)鞋的意義及有理數(shù)指數(shù)幕的

運算性質(zhì)

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義

分?jǐn)?shù)指數(shù)基

正分?jǐn)?shù)m

規(guī)定：a^=_______3>0,"I,〃￡N',且〃>1)

指數(shù)累

負(fù)分?jǐn)?shù)

規(guī)定：a"___________（。>0,加，〃￡N*,且〃>1）

指數(shù)累a*n

性質(zhì)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞等于____一，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)箱______

2.有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)

(1W=；(a>0,r,s￡Q)

(2)(0$=:(公0,r,s￡Q)

(3)W=.(a>0,b>0,r￡Q)

3.無理數(shù)指數(shù)累

無理數(shù)指數(shù)幕。“伍>0,a是無理數(shù))是一個.有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)對于

無理數(shù)指數(shù)塞同樣適用.

基礎(chǔ)自測

1.J（口-4）2+n等于（）

A.4B.2%一4

C.2兀—4或4D.4—2兀

2.6=3（">0）,則b等于（）

A.34B,3?

C.43D.35

3.（多選）下列各式錯誤的是（）

A.7（-3）2=-3B.V?=a

C.（g）3=-2D.（（-2尸=2

課堂探究素養(yǎng)提升強化創(chuàng)新性

利用根式的性質(zhì)化簡求值［經(jīng)典例題］

例1(1)下列各式正確的是()

A.B.a0=\

C.V（-4）4=-4D.V（-5）s=-5

（2）計算下列各式：

①.

②4（3_71）6=_______.

展一儂--------.

③

首先確定式子府中n的奇偶，再看式子的正負(fù)，最后確定化簡結(jié)果.

方法歸為

根式化簡或求值的策略

(1)解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用

根式的性質(zhì)進行化簡或求值.

(2)開偶次方時，先用絕對值是示開方的結(jié)果，再去掉絕對值符號化簡，化簡時要結(jié)合

條件或分類討論.

跟蹤訓(xùn)練1求下列各式的值：

⑴7^2)3：

⑵y(^；

⑶V(3-TT)8；

(4)“2—2xy+y2+J7&(y-x)7.

由根式被開方數(shù)正負(fù)討論x2y,x<y兩種情況.

■碼根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化［經(jīng)典例題］

例2(1)將分?jǐn)?shù)指數(shù)幕aF3>0)化為根式為.

(2)化簡：(滔炳十&I7^)=_______(用分?jǐn)?shù)指數(shù)基表示).

(3)將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕進行互化.

①Va^.

②Va-4b2Vab2(a>0,Z?>0).

利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的性質(zhì)意義化為根式或分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉.

方在拉的

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕互化的方法及思路

(1)方法：根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)J地》分?jǐn)?shù)指數(shù)的分

子.

(2)思路：在具體計算中，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式，然后利用有理數(shù)指

數(shù)幕的運算性質(zhì)解題.

提醒：如果根式中含有多重根號，要由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)繇寫出.

跟蹤訓(xùn)練2下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)累的互化正確的是()

A.—Vx=(—x)2(x>0)

B.VF=yW()y。)

c.xT=犯7(x>0)

D.x~3=—弧(xRO)

A：—《先把4=x5再加上一.

B：注意yvO.

C：負(fù)指數(shù)次靠運算.

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運算與化簡［教材P7例引

例3化簡下列各式:

m+m-1+2

⑴

m-2+m2

_+1

【解析】⑴原式=等x5XX34XyH4=24x°y6=24y6.

22

八店｝_(ml)+2mlm4+(m4y_(ml+m4)

(2)原式=121=T7-

m2+m_2m2+m-2

=m2+m2.

狀元隨筆①先進行指數(shù)運算，在進行指數(shù)運算時可將底數(shù)化成帚的形式，再利用哥的

乘方進行運算；②對于零次暴，直接運用aO=l(aWO)得出結(jié)論；③底數(shù)為帶分?jǐn)?shù)的化成假

分?jǐn)?shù)，進而將底數(shù)化成鬲的形式；④底數(shù)為小數(shù)的一般化成分?jǐn)?shù)來運算；⑤先算乘方(開方)，

再算乘除，最后算加減.

數(shù)材反思

利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)化簡求值的方法

(1)進行指數(shù)球的運算時，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分款指數(shù)球，化小數(shù)為分

數(shù)，同時兼顧運算的順序.

(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或具體次數(shù))時，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進行

化簡運算.

(3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)瓶的形式表示.

跟蹤訓(xùn)練3計算:

(1)(-1.8)。+(|)2.與子一焉+回

⑵(/。＞0).

0.1-2(a3b~3)2

狀元隨筆先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)箱再運用指數(shù)累的運算法則計算.

4.1.1實數(shù)指數(shù)幕及其運算

新知初探咱主學(xué)習(xí)

知識點一

1.xT=a

2.(1)y[aR(2)±Va~Va[0,+?>)

3.VS根指數(shù)被開方數(shù)

知識點二

⑴〃(2)a\a\

知識點三

L黃行卷0無意義

2.(\)ar+s(2)^(3)arhr

3.確定的實數(shù)

[基礎(chǔ)自測]

1.解析：，(ir-4)2+兀=4一兀+兀=4.故選A.

答案：A

2.解析：因為〃=3(比>0),."=，5=3；.

答案：B

3.解析：由于#=3,V資=|。|,秋節(jié)=—2,故選項A,B,D錯誤.

答案：ABD

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】(1)由于府=(同‘"為彳瞥’則選項A,C排除，D正確，B需要加

Ia,九為奇數(shù)

條件nWO.

Q)①

②((3-n)6=1(71-3)6=兀_3.

③斤得腎-腎-希=+W

【答案】(1)D⑵①一②兀-3?i

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)及二取=—2；

(2)V(-3)2=V37=V3；

(3)7(3-n)8=|3-7t|=7r-3：

(4)原式=J(%—y)z+y—x=|x-y|+y—x.

當(dāng)x^y時，原式=%—)，+>—x=0；

當(dāng)x<y時，原式=y—x+y—i=2(y-x).

所以原式=f°,X-y，

12(y—x),x<y.

例2【解析】(1)a4=4=^

a彳Va

(2)(a2-7a3)-?(Va-1Va^)=(a2-a5)-?(a2-aw)=aT4-as==as

(S/Do3-V?=?3-a3=a3+i=aT.②Ja-4b2%b?=Ja-4b2(ab2)3=Ja-4b2a*bW=

_1181，4

a-Tb3=a~b3.

【答案】(1)七(2)at(3)@aT②a」舞

跟蹤訓(xùn)練2解析：一五一"(Jf>0);y^2=(y2)Z=-y5(j'<0);

一=(%-3)；=衿(x>0)；

一=(**中)

答案：C

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)原式=1+圖2.仔r-]0+9\i+(|)2.C)2-]0+27=29-10

=19.

(2)原式=4次I?.需1=2X京X8=5

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

(1)通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.

展折課

能用描點法或借助計算工具囪出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指

程標(biāo)準(zhǔn)(2)

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

新知初探店主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性

知識點一指數(shù)函數(shù)的定義

函數(shù)(a>0且aWl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.定義域為R.

狀元隨筆指數(shù)函數(shù)解析式的3個特征

(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù).

(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1.

(3)a、的系數(shù)是I.

知識點二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

a>\0<?<1

y.Ey=tf*

'/(?>1)L

圖像

8,1)(0.1)

0xF*

定義域

性值域

質(zhì)過定點過點______,即刀=______時，y=______

函數(shù)值當(dāng)心>0時，_______；當(dāng)x>0時，________；

的變化當(dāng)XV。時，________當(dāng)XV。時，________

單調(diào)性是R上的________是R上的________

狀元隨筆底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖像的“升”與“降”.當(dāng)a>l時,

指數(shù)函數(shù)的圖像是“上升”的；當(dāng)0<a<l時，指數(shù)函數(shù)的圖像是“下降”的.

第1課時指數(shù)函數(shù)的概念

基礎(chǔ)自測

1.下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()

A.y=(一3尸B.y=~3x

C.y=31D.y=(9”

2.函數(shù)八%)=五餐的定義域為()

A.RB.(0,+C.［0,+―)D.(—8,0)

3.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2"與y=G尸的圖像之間的關(guān)系是()

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于彳軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

課堂探究?素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性

指數(shù)函數(shù)概念的應(yīng)用［經(jīng)典例題］

例1(I)若指數(shù)函數(shù)/)=(2〃-iy是R上的減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)

B.(1,+8)

C.61)

D.(一8,))

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，底數(shù)a>0且aWl,a*的系數(shù)是1.

(2)指數(shù)函數(shù))，=/)的圖像經(jīng)過點(-2,》，那么人4)貝2)等于.

(2)先設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax,借助條件圖像過點(一2,$求a,最后求值.

【解析】⑴由已知，得0<2°—1<1,則/<1,所以實數(shù)。的取值范圍是g1).

(2)設(shè)y=y(x)=a*(4>0,且aWl),所以2=：,所以。=2,

所以人4)火2)=24乂22=64.

【答案】(1)C(2)64

方弦歸附

(1)判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合丁=爐(公>0,且。六1)這一結(jié)構(gòu)特征.

②明特征：指數(shù)函數(shù)的解析式具有三個特征，只要有一個特征不具備，則不是指數(shù)函數(shù).

(2)已知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的基本步驟

跟蹤訓(xùn)練1⑴若函數(shù)尸(3一%)，為指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

1.指數(shù)函數(shù)系數(shù)為1.

2.底數(shù))0且盧1.

(2)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是.(填序號)

?y=2-(V2)r?y=2x~}③y=(》"④y=V⑤y=3心⑥/=金

指數(shù)函數(shù)

例2已知指數(shù)函數(shù)九0="(心0,且aWl),且43)=兀，求40),貝1),3)的值.

狀元隨筆要求f(0),f(I),f(—3)的值，應(yīng)先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.

激材反思

求指數(shù)函數(shù)的解析式,of,一效采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用巳知

條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指數(shù)由數(shù)的概念是解決這類

問題的關(guān)鍵.因為底數(shù)。是大于0且不等于1的實數(shù)，所以。=一3應(yīng)舍去.

跟蹤訓(xùn)練2若指數(shù)函數(shù)火彳)的圖像經(jīng)過點(2,9),求人力的解析式及人一1)的值.

設(shè)f(x)=ax,代入(2,9)求出a.

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

新知初探咱主學(xué)習(xí)

知識點一

y=ax

知識點二

R(0,+8)(0,I)01y>\0<><1(Xy<ly>\增函數(shù)減函數(shù)

第1課時指數(shù)函數(shù)的概念

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義且〃W1)可知只有D項正確.

答案：D

2.解析：要使函數(shù)有意義，則2*—1>0,??.2A,???Q0.

答案：B

3.解析：由作出兩函數(shù)圖像可知，兩函數(shù)圖像關(guān)于)，軸對稱，故選A.

答案：A

課堂探究?素養(yǎng)提升

跟蹤訓(xùn)練1解析：(I)若函數(shù)y=(3一勿尸為指數(shù)函數(shù)，

則［3一2。>0,解得“V；且不］

(3—2Q1,2

(2)①中指數(shù)式(遮》的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中y=21=；.2』，指數(shù)式2*的

系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)為x,不滿足底數(shù)是唯一確定的值，故不是指數(shù)函

數(shù)；⑤中指數(shù)不是心故不是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是咤一確定的值，故不是

指數(shù)函數(shù).故填③.

答案：(1)(一8,1)(2)@

例2【解析】因為人￥)=不，且43)=兀，則03=兀，解得。=疝，于是兀v)=市.

所以，<O)=7T0=1,/(I)=113=Vn?貝-3)=兀-1=，.

跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)於)=爐("0,且〃W1),將點(2,9)代入，得標(biāo)=9,解得。=3

或。=—3(舍去).

所以人x)=3L所以人-1)=31=：

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

(1)通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.

最新課

(2)能用描點法或借助計茸工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指

程標(biāo)灌

數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

新知初探后主學(xué)習(xí)一突出基礎(chǔ)性

知識點一指數(shù)函數(shù)的定義

函數(shù)(a>0且aHl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量.定義域為R.

狀元隨筆指數(shù)函數(shù)解析式的3個特征

⑴底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù).

(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1.

(39的系數(shù)是1.

知識點二指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

a>l0<?<1

定義域

性值域

質(zhì)過定點過點______,即1=_____時，y=______

函數(shù)值當(dāng)x>0時，_______；當(dāng)4>0時，________；

的變化當(dāng)x<0時，________當(dāng)x<0時，________

單調(diào)性是R上的一是R上的一

狀元隨筆底數(shù)a與1的大小關(guān)系決定了指數(shù)函數(shù)圖像的“升”與“降”.當(dāng)a>l時,

指數(shù)函數(shù)的圖像是“上升”的；當(dāng)0<a<l時，指數(shù)函數(shù)的圖像是“下降”的.

第1課時指數(shù)函數(shù)的概念

基礎(chǔ)自測

1.下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()

A.尸(一3尸B.尸一3"

C.尸3門D.尸(：尸

2.函數(shù)的定義域為()

VZ八一1

A.RB.(0,+8)C.［0,+8)D.(一8,0)

3.在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2,與丁=(｝》的圖像之間的關(guān)系是()

A.關(guān)于y軸對稱B.關(guān)于彳軸對稱

C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線y=x對稱

課堂探究素養(yǎng)提升一強化創(chuàng)新性

睡里鼻指數(shù)函數(shù)概念的應(yīng)用［經(jīng)典例題］

例1(1)若指數(shù)函數(shù)於)=(2〃一1廠是R上的減函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)

B.(1,+8)

C.(1,1)

D.(一8,1)

(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可知，底數(shù)a>0且aWl,ax的系數(shù)是1.

(2)指數(shù)函數(shù))，=於)的圖像經(jīng)過點(?2,那么.44)火2)等于.

(2)先設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=ax,借助條件圖像過點(一2,》求2,最后求值.

【解析】⑴由已知，得0<2°-1<1,則/<1,所以實數(shù)。的取值范圍是弓，1).

(2)設(shè)了=火力="3>0,且。工1),所以2=%所以。=2,

所以八4)火2)=24乂22=64.

【答案】(1)C⑵64

方法但相

(1)判斷一個函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

①看形式：只需判定其解析式是否符合)，=爐(心0,且1)這一結(jié)構(gòu)特征.

②明特征：指數(shù)函數(shù)的解析式具有三個特征，只要有一個特征不具備，則不是指數(shù)函數(shù).

(2)已知某函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的基本步驟

跟蹤訓(xùn)練1⑴若函數(shù)y=(3—2。為指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

1.指數(shù)函數(shù)系數(shù)為1.

2.底數(shù)>0且NL

(2)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是,.(填序號)

①尸2?(近尸②尸2門③y=G尸④尸爐⑤尸3/?y=X3.

指數(shù)函數(shù)

例2已知指數(shù)函數(shù)人6="(心0,且aWl),且式3)=%，求人0)，犬1)，八一3)的值.

狀元隨筆要求f(0),f(l),f(—3)的值，應(yīng)先求出f(x)=ax的解析式，即先求a的值.

數(shù)材反思

求指數(shù)函數(shù)的解析式時，一皴采用待定系數(shù)法，即先設(shè)出函數(shù)的解析式，然后利用已知

條件，求出解析式中的參數(shù)，從而得到函數(shù)的解析式，其中掌握指教函數(shù)的概念是解決這類

問題的關(guān)鍵.因為底數(shù)4是大于0且不等于1的實數(shù)，所以。=一3應(yīng)舍去.

跟蹤訓(xùn)練2若指數(shù)函數(shù)段)的圖像經(jīng)過點(2,9),求?r)的解析式及人一1)的值.

設(shè)f(x)=ax,代入(2,9)求出a.

4.1.2指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

新知初探咱主學(xué)習(xí)

知識點一

y=ar

知識點二

R(0,+8)(0,I)01y>l0<}<1(Xy<ly>\增函數(shù)減函數(shù)

第1課時指數(shù)函數(shù)的概念

I基礎(chǔ)自測］

1.解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義y="(a>0且aW?？芍挥蠨項正確.

答案：D

2.解析：要使函數(shù)有意義，則2、一1>0,???29,???Q0.

答案：B

3.解析：由作出兩函數(shù)圖像可知，兩函數(shù)圖像關(guān)于)，軸對稱，故選A.

答案：A

課堂探究?素養(yǎng)提升

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)若函數(shù)y=(3一加尸為指數(shù)函數(shù),

3—2a>0,3,

則解傳且aa#I.

3—2aH1,2

(2)①中指數(shù)式(遮》的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中丁=21=/2］，指數(shù)式2、的

系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；④中底數(shù)為x,不滿足底數(shù)是唯一確定的值，故不是指數(shù)函

數(shù)；⑤中指數(shù)不是x,故不是指數(shù)函數(shù)；⑥中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定的值，故不是

指數(shù)函數(shù).故填③.

答案：（1）（一8,1）U（1,1）（2）③

例2【解析】因為人。=爐，且43)=兀，則蘇=兀，解得。=彼，于是段)=n三.

所以，yco)=7t°=l,41)=市=訴，4-3)=兀一|=；.

跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)於)=/伍>0,且。工1),將點(2,9)代入，得標(biāo)=%解得。=3

或。=—3(舍去).

所以外)=3].所以貝一1)=3一=：.

第2課時指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

基礎(chǔ)自測

1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.總B.y=|x|

C.y=2xD.y=x^

2.下列判斷正確的是（）

A.1,5,5>1.52B.0.52<0.53

C.e2<V2eD.0.9°2>0.9°5

3.已知y=G)x，以=3"，9=10-"，川=10、則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖

像為(）

4.已知函數(shù)/)=4+a'r(a>0且nW1)的圖像恒過定點P,則點P的坐標(biāo)是

課堂探究?素養(yǎng)提升——強化創(chuàng)新性

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小[教材P]2例1]

例1利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個值的大小:

(l)0.8-0J與0.8一。4(2)2.5。與2.5“”.

狀元隨筆對于(1)(2),要比較的兩個值可以看作一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值，因此可

以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較,可以利用函數(shù)y=0.8x和y=2.5x的單調(diào)性，以及“x

=0時，y=l”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.

數(shù)材以思

1.由例題可以看出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系可以判斷相應(yīng)函數(shù)

值的大小關(guān)系.

2.比較寐值大小的三種類型及處理方法

跟蹤訓(xùn)練1比較下列各題中兩個值的大小:

⑴er"與?3；

⑵?)-0.5與(令-。.5；

(3)0.203與0.3。2.

底數(shù)相同，指數(shù)不同；

底數(shù)不同，指數(shù)相同：

底數(shù)不同，指數(shù)不同.

指數(shù)函數(shù)的圖像問題［經(jīng)典例題］

例2(1)如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖像：

⑴先由a>l,OVaVl兩個角度來判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.

?y=av@y=bx

③),：d?y=dK

則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()

A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c

(2)當(dāng)a>0且aWl時，函數(shù)44)=出一3一2必過定點.

(2)由y=ax過定點(0,1)來求f(x)過定點.

【解析】(1)可先分為兩類，③④的底數(shù)一定大于1,①②的底數(shù)一定小于1,然后再

由③④比較的大小，由①②比較a,8的大小.當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖像上升，

且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖像向上越靠近)軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于。小于1時，圖像下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小,

圖像向下越靠近人軸，故選B.

(2)當(dāng)。>0且“W1時，總有貝3)=〃-3-2=—1,所以函數(shù)兀0=爐一3一2必過定點(3,

-1).

【答案】(1)B(2)(3,-1)

方祛歸購

指數(shù)函數(shù)的圖像隨底數(shù)變化的規(guī)律可歸納為：

(1)無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)。如何變化，指數(shù)函數(shù)y=〃(a>0,a#l)的圖像與直線x=l相

交于點(1,。)，由圖像可知：在)，軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大.

(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關(guān)系可概括記憶為：在第一象限內(nèi)，底數(shù)自下而上依次

增大.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知則指數(shù)函數(shù)①②/二次的圖像為()

由底數(shù)的范圍判斷函數(shù)圖像.

(2)若-1<6<0,則函數(shù)的圖像一定在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

解簡單的指數(shù)不等式［經(jīng)典例題］

例3(1)不等式3「2>1的解為；

(2)若優(yōu)”>(》s-3x(a>o,且aWl),求x的取值范圍.

狀元隨筆首先確定指數(shù)不等式對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)單調(diào)性確定X的取值范圍.

方法揚他

解指數(shù)不等式應(yīng)注意的問題

(1)形如的不等式，借助于函數(shù))，=〃的單調(diào)性求解，如果〃的取值不確定，需

分與OVaVl兩種情況討論；

(2)形如的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以。為底數(shù)的指數(shù)寐的膨式，再借助于函數(shù)y

=〃的單調(diào)性求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)解不等式G)”2-2<3；

(2)已知(小+2。+3尸>(Q2+2Q+3)1T,求x的取值范圍.

⑴化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(2)判斷a2+2a+3的范圍.

題型"指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4已知函數(shù)?r)=a一荔匚(x￡R).

(1)用定義證明：不論。為何實數(shù)，｛r)在(一8,十8)上為增函數(shù);

(2)若貝工)為奇函數(shù)，求兒0在區(qū)間［1,5］上的最小值.

(1)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步：

①取值：②作差變形；③定號；④結(jié)論.

(2)先由f(x)為奇函數(shù)求a,再由單調(diào)性求最小值.

方取舊時

(1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問題，可利用奇、偶函數(shù)

的定義，根據(jù)五-x)=-/(x)或人一1)=外)，結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)建立方程求參數(shù)；

(2)若奇函數(shù)在原點處有定義，則可利用人0)=(),建立方程求參數(shù).

跟蹤訓(xùn)練4已知定義在R上的函數(shù)kr)=2x+S，。為常數(shù)，若?r)為偶函數(shù),

Z*

(1)求。的值；

(2)判斷函數(shù)應(yīng)r)在(0,+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明；

(3)求函數(shù)人》)的值域.

⑴由偶函數(shù)求a.

(2)4步法證明f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性.

(3)利用單調(diào)性求最值，得值域.

第2課時指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：y=:在(0,十8)上單調(diào)遞減，所以排除A；y=M是偶函數(shù)，所以排除B；y

=2、為非奇非偶函數(shù)，所以排除C.選D.

答案：D

2.解析：因為y=09，是減函數(shù)，且0.5>0.2,

所以0.90,2>0.9”

答案：D

3.解析：方法一>2=3、與)，4=@單調(diào)遞增；川=(界與>3=10一"=(劫”單調(diào)遞減，

在第一象限內(nèi)作直線x=l,該直線與四條曲線交點的縱坐標(biāo)對應(yīng)各底數(shù)，易知選A.

方法二”=3"與山=10"單洞遞增，且丁4=10'的圖像上升得快，yi=G)x與”=3，的

圖像關(guān)于y軸對稱，與州=10"的圖像關(guān)于y軸對稱，所以選A.

答案：A

4.解析：令x—1=0,得x=l,此時/(1)=5.所以函數(shù)危)=4+a「i(a>0且。#1)的圖

像恒過定點P(l,5).

答案：(1,5)

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】⑴因為0.8一?！古c0.8一。2都是以0.8為底的森值，聲以考察函數(shù)y=0M

由于這個函數(shù)在實數(shù)集R上是減函數(shù)，又因為-0.1>—0.2,所以0.80,<0.8。2.

(2)因為2.5。與2.5“+i都是以2.5為底的森值，所以考察函數(shù)y=2.5],由于這個函數(shù)在實

數(shù)集R上是增函數(shù)，又因為所以2.5“<2.5內(nèi).

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因為OV^Vl,所以函數(shù)y=G尸在其定義域R上單調(diào)遞減，又

-1.8>-2.5,所以

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y=(g尸與)，=(:尸的圖像，如圖所示.當(dāng)入二

一0.5時，由圖像觀察可得(§-°5>弓)-?！?

(3)因為0V0.2V0.3V1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.2工與y=0.3，在定義域R上均是減函數(shù)，且

在區(qū)間(0,+8)上函數(shù)),=0.2、的圖像在函數(shù)y=0.3、的圖像的下方，所以0.2。?2<0.3。2.

又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.2、的性質(zhì)可得0.2。，3<0.2。，2,所以0.2。3<0.3。&

跟蹤訓(xùn)練2

解析：(1)由于OVznV〃V1,所以y=W與都是減函數(shù)，故排除A、B,作直線％

=1與兩個曲線相交，交點在下面的是函數(shù)y="的圖像，故選C.

(2)Va>l,且一IVbVO,故其圖像如右圖所示.

答案：(1)C(2)A

例3【解析】(1)3-2>1=3'-2>3。=%一2>0=工>2,所以解為(2,+~).

(2)因為爐+|>(》5-30所以當(dāng)時，y=爐為增函數(shù)，可得x+l>3x—5,所以xV

3.

當(dāng)OVaVl時，y="為減函數(shù)，可得x+lV3x—5,所以x>3.

綜上，當(dāng)時，工的取值范圍為(一8,3),

當(dāng)0<。<1時，x的取值范圍為(3,+8).

【答案】⑴(2,+8)(2)見解析

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)(9/-2=(3-1濡-2=32一/，

，原不等式等價于32—/W3L

??萬=3,是R上的增函數(shù)，???2-/Wl.

1,即或xW—1.

?,?原不等式的解集是｛x|x21或-W-1｝.

(2)：々2+%+3=伍+1)2+2>1,

???y=32+2a+3》在R上是增函數(shù).

解得

???x的取值范圍是｛川力>，｝.

例4【解析】⑴證明：因為危)的定義域為R,任取為〈及，

則加)_*)=〃_島'+嬴=(『；；')?

因為A1<A2,

所以25一2M<0,

又(1+2/)(1+2M)>0.

所以人為)一/(也)<0,即1為)</(%2).

所以不論4為何實數(shù)，氏丫)在(一8,+8)上為增函數(shù).

(2)因為｛r)在x￡R上為奇函數(shù)，

所以火0)=0,

即〃一￡7=0，解得a=g.

所以府)=!一六，

由(1)知，為增函數(shù)，

所以弱造在區(qū)間口,5］上的最小值為逃1).

因為貝D=,_g=a

所以其t)在區(qū)間［1,5］上的最小值為;.

跟蹤訓(xùn)練4解析：⑴由於)為偶函數(shù)得對任意實數(shù)x都有2、+葛=5+〃2成立，即

N八Lr

2P—4)=91—a),

23

所以1—a=0,

所以a=\.

⑵由⑴知危)=2葉表，段)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

證明如下：任取xi,x2e(0,+8)且X］V12,

則加)-M)=2'，+點—(2必+9)=(2右—20)+(2-9)=(2/—2&)+嘉嘉=

（2*'—2必）（1.）=（2%—2必）.^1

因為且汨，X2(0,+8),

所以2%〈2物，2MM>1,

所以/(X1)—/(X2)VO,即外1)〈/2),

所以逐X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)由(2)知人x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

又由｛r)為偶函數(shù)知函數(shù)/U)在(-8,0］上單調(diào)遞減,

所以人力利0)=2.

故函數(shù)式處的值域為［2,+<?).

第2課時指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

基礎(chǔ)自測

1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.YB.y=|x|

C.y=2xD.y=x^

2.下列判斷正確的是（）

A.1,5,5>1.52B.0.52<0.53

C.e2<V2eD.0.9°2>0.9°5

3.已知y=G)x，以=3"，9=10-"，川=10、則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖

像為(）

4.已知函數(shù)/)=4+a'r(a>0且nW1)的圖像恒過定點P,則點P的坐標(biāo)是

■;里行?坯卷.妄美坦并

利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大?。劢滩腜］2例1］

例1利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較下列各題中兩個值的大小:

(l)0.8-0J與0.8一。4(2)2.5。與2.5“”.

狀元隨筆對于(1)(2),要比較的兩個值可以看作一個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值，因此可

以直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較,可以利用函數(shù)y=0.8x和y=2.5x的單調(diào)性，以及“x

=0時，y=l”這條性質(zhì)把它們聯(lián)系起來.

數(shù)材以思

1.由例題可以看出，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過自變量的大小關(guān)系可以判斷相應(yīng)函數(shù)

值的大小關(guān)系.

2.比較寐值大小的三種類型及處理方法

跟蹤訓(xùn)練1比較下列各題中兩個值的大小:

⑴er"與?3；

⑵?)-0.5與(令-。.5；

(3)0.203與0.3。2.

底數(shù)相同，指數(shù)不同；

底數(shù)不同，指數(shù)相同：

底數(shù)不同，指數(shù)不同.

指數(shù)函數(shù)的圖像問題［經(jīng)典例題］

例2(1)如圖所示是下列指數(shù)函數(shù)的圖像：

⑴先由a>l,OVaVl兩個角度來判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)圖像.

?y=av@y=bx

③),：d?y=dK

則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是()

A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<c

C.\<a<b<c<dD.a<b<\<d<c

(2)當(dāng)a>0且aWl時，函數(shù)44)=出一3一2必過定點.

(2)由y=ax過定點(0,1)來求f(x)過定點.

【解析】(1)可先分為兩類，③④的底數(shù)一定大于1,①②的底數(shù)一定小于1,然后再

由③④比較的大小，由①②比較a,8的大小.當(dāng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1時，圖像上升，

且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖像向上越靠近)軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于。小于1時，圖像下降，且當(dāng)?shù)讛?shù)越小,

圖像向下越靠近人軸，故選B.

(2)當(dāng)。>0且“W1時，總有貝3)=〃-3-2=—1,所以函數(shù)兀0=爐一3一2必過定點(3,

-1).

【答案】(1)B(2)(3,-1)

方祛歸購

指數(shù)函數(shù)的圖像隨底數(shù)變化的規(guī)律可歸納為：

(1)無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)。如何變化，指數(shù)函數(shù)y=〃(a>0,a#l)的圖像與直線x=l相

交于點(1,。)，由圖像可知：在)，軸右側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大.

(2)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖像間的關(guān)系可概括記憶為：在第一象限內(nèi)，底數(shù)自下而上依次

增大.

跟蹤訓(xùn)練2(1)已知則指數(shù)函數(shù)①②/二次的圖像為()

由底數(shù)的范圍判斷函數(shù)圖像.

(2)若-1<6<0,則函數(shù)的圖像一定在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、二、四象限

解簡單的指數(shù)不等式［經(jīng)典例題］

例3(1)不等式3「2>1的解為；

(2)若優(yōu)”>(》s-3x(a>o,且aWl),求x的取值范圍.

狀元隨筆首先確定指數(shù)不等式對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)單調(diào)性確定X的取值范圍.

方法揚他

解指數(shù)不等式應(yīng)注意的問題

(1)形如的不等式，借助于函數(shù))，=〃的單調(diào)性求解，如果〃的取值不確定，需

分與OVaVl兩種情況討論；

(2)形如的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以。為底數(shù)的指數(shù)寐的膨式，再借助于函數(shù)y

=〃的單調(diào)性求解.

跟蹤訓(xùn)練3(1)解不等式G)”2-2<3；

(2)已知(小+2。+3尸>(Q2+2Q+3)1T,求x的取值范圍.

⑴化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(2)判斷a2+2a+3的范圍.

題型"指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例4已知函數(shù)?r)=a一荔匚(x￡R).

(1)用定義證明：不論。為何實數(shù)，｛r)在(一8,十8)上為增函數(shù);

(2)若貝工)為奇函數(shù)，求兒0在區(qū)間［1,5］上的最小值.

(1)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步：

①取值：②作差變形；③定號；④結(jié)論.

(2)先由f(x)為奇函數(shù)求a,再由單調(diào)性求最小值.

方取舊時

(1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問題，可利用奇、偶函數(shù)

的定義，根據(jù)五-x)=-/(x)或人一1)=外)，結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)建立方程求參數(shù)；

(2)若奇函數(shù)在原點處有定義，則可利用人0)=(),建立方程求參數(shù).

跟蹤訓(xùn)練4已知定義在R上的函數(shù)kr)=2x+S，。為常數(shù)，若?r)為偶函數(shù),

Z*

(1)求。的值；

(2)判斷函數(shù)應(yīng)r)在(0,+8)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明；

(3)求函數(shù)人》)的值域.

⑴由偶函數(shù)求a.

(2)4步法證明f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性.

(3)利用單調(diào)性求最值，得值域.

第2課時指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：y=:在(0,十8)上單調(diào)遞減，所以排除A；y=M是偶函數(shù)，所以排除B；y

=2、為非奇非偶函數(shù)，所以排除C.選D.

答案：D

2.解析：因為y=09，是減函數(shù)，且0.5>0.2,

所以0.90,2>0.9”

答案：D

3.解析：方法一>2=3、與)，4=@單調(diào)遞增；川=(界與>3=10一"=(劫”單調(diào)遞減，

在第一象限內(nèi)作直線x=l,該直線與四條曲線交點的縱坐標(biāo)對應(yīng)各底數(shù)，易知選A.

方法二”=3"與山=10"單洞遞增，且丁4=10'的圖像上升得快，yi=G)x與”=3，的

圖像關(guān)于y軸對稱，與州=10"的圖像關(guān)于y軸對稱，所以選A.

答案：A

4.解析：令x—1=0,得x=l,此時/(1)=5.所以函數(shù)危)=4+a「i(a>0且。#1)的圖

像恒過定點P(l,5).

答案：(1,5)

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】⑴因為0.8一?！古c0.8一。2都是以0.8為底的森值，聲以考察函數(shù)y=0M

由于這個函數(shù)在實數(shù)集R上是減函數(shù)，又因為-0.1>—0.2,所以0.80,<0.8。2.

(2)因為2.5。與2.5“+i都是以2.5為底的森值，所以考察函數(shù)y=2.5],由于這個函數(shù)在實

數(shù)集R上是增函數(shù)，又因為所以2.5“<2.5內(nèi).

跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)因為OV^Vl,所以函數(shù)y=G尸在其定義域R上單調(diào)遞減，又

-1.8>-2.5,所以

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出指數(shù)函數(shù)y=(g尸與)，=(:尸的圖像，如圖所示.當(dāng)入二

一0.5時，由圖像觀察可得(§-°5>弓)-?！?

(3)因為0V0.2V0.3V1,所以指數(shù)函數(shù)y=0.2工與y=0.3，在定義域R上均是減函數(shù)，且

在區(qū)間(0,+8)上函數(shù)),=0.2、的圖像在函數(shù)y=0.3、的圖像的下方，所以0.2。?2<0.3。2.

又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=0.2、的性質(zhì)可得0.2。，3<0.2。，2,所以0.2。3<0.3。&

跟蹤訓(xùn)練2

解析：(1)由于OVznV〃V1,所以y=W與都是減函數(shù)，故排除A、B,作直線％

=1與兩個曲線相交，交點在下面的是函數(shù)y="的圖像，故選C.

(