函數(shù)的極值教案

1.2函數(shù)的極值一、教學(xué)目標(biāo)理解并掌握函數(shù)極值的概念；能利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；掌握求函數(shù)極值的方法和步驟；二、教學(xué)重、難點(diǎn)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法和步驟。三、知識(shí)鏈接導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0,則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)SKIPIF1<0是增加的如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0,則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)SKIPIF1<0是減少的四、學(xué)習(xí)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一：極值的定義SKIPIF1<0OyxaSKIPIF1<0bSKIPIF1<0Q問題1觀察函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0OyxaSKIPIF1<0bSKIPIF1<0Q圖1圖2（1）觀察函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的函數(shù)值SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0與附近點(diǎn)的函數(shù)值的大小？SKIPIF1<0點(diǎn)是函數(shù)的最大值點(diǎn)嗎？SKIPIF1<0的函數(shù)值大于其附近點(diǎn)的函數(shù)值，SKIPIF1<0點(diǎn)不一定是最大值點(diǎn)。（2）觀察函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0點(diǎn)處的函數(shù)值SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0與附近點(diǎn)的函數(shù)值的大?。縎KIPIF1<0點(diǎn)是函數(shù)的最大值點(diǎn)嗎？SKIPIF1<0的函數(shù)值小于其附近點(diǎn)的函數(shù)值，SKIPIF1<0點(diǎn)不一定是最小值點(diǎn)。像這樣的，反映函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)的值稱為極值。問題2極值的定義類比圖1中具體函數(shù)的極值，寫出函數(shù)極值的一般性定義：如圖2，在包含類SKIPIF1<0的一個(gè)區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，函數(shù)SKIPIF1<0在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于或等于SKIPIF1<0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，其函數(shù)值SKIPIF1<0為函數(shù)的極大值如圖2，在包含類SKIPIF1<0的一個(gè)區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)，函數(shù)SKIPIF1<0在任何一點(diǎn)的函數(shù)值都小于或等于SKIPIF1<0點(diǎn)的函數(shù)值，稱點(diǎn)SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極小值點(diǎn)，其函數(shù)值SKIPIF1<0為函數(shù)的極小值極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。例1找出圖中的極值點(diǎn)極大值點(diǎn)是：d,f,h極小值點(diǎn)是：c,e,g反思1：（1）函數(shù)的極值是唯一的嗎？函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值(2)極大值與極小值之間有無(wú)確定的大小關(guān)系?請(qǐng)舉例說(shuō)明.極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系。即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值，如上圖所示，f是極大值點(diǎn)，c是極小值點(diǎn)，而SKIPIF1<0>SKIPIF1<0(3)極值一定是最大值或最小值嗎？極值不一定是最大值或最小值.極值是就某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言，是函數(shù)的局部性質(zhì)，由極值的定義知，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)問題探究二：連續(xù)函數(shù)圖像特征與導(dǎo)數(shù)關(guān)系：觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的研究方法,總結(jié)極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系?（完成表格）a極大值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：yaySKIPIF1<0SKIPIF1<0左側(cè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0右側(cè)SKIPIF1<0（符號(hào)）SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（單調(diào)性）遞增極大值遞減SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0X0bxaX0bxaoSKIPIF1<0SKIPIF1<0左側(cè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0右側(cè)SKIPIF1<0（符號(hào)）SKIPIF1<0=0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（單調(diào)性）遞減極小值遞增oaxoax0bxySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0反思2：如何判斷極值SKIPIF1<0是極大值還是極小值？如果在x0附近的左邊SKIPIF1<0＞0,右邊SKIPIF1<0＜0,那么f(x0)是極大值.如果在x0附近的左邊SKIPIF1<0＜0,右邊SKIPIF1<0＞0,那么f(x0)是極小值例2求函數(shù)SKIPIF1<0的極值解：因?yàn)镾KIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0變化時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的變化情況表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03SKIPIF1<0SKIPIF1<0+0－0+SKIPIF1<0↑極大↓極小↑所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)有極大值，且極大值為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)有極小值，且極小值為SKIPIF1<0反思3求函數(shù)極值的步驟是什么？（1）求導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0（2）解方程SKIPIF1<0=0，利用方程的根x0，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格（3）由SKIPIF1<0在方程SKIPIF1<0=0的根左右的符號(hào)，來(lái)判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況:①若f’(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則x0為極大值點(diǎn);②若f’(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則x0為極小值點(diǎn);③若f’(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則x0不是極值點(diǎn)變式1判斷下列函數(shù)是否有極值，若有極值，請(qǐng)求出；若沒有極值，請(qǐng)說(shuō)明理由。SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以函數(shù)SKIPIF1<0在R上為增函數(shù)，無(wú)極值。（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0即在SKIPIF1<0的附近SKIPIF1<0不變號(hào)，所以此函數(shù)無(wú)極值。反思4（1）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)SKIPIF1<0處取得極值的條件是什么？可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)x0取得極值的充要條件f(x0)=0且點(diǎn)x0的左右附近的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)要相反（2）“點(diǎn)SKIPIF1<0是可導(dǎo)函數(shù)SKIPIF1<0的極值點(diǎn)”是“SKIPIF1<0”的什么條件？可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn).例如,函數(shù)SKIPIF1<0,在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點(diǎn),原因是函數(shù)在點(diǎn)x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零.因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件,其充分條件是在這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào).即“點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”是“f′(x0)＝0”的充分但不必要條件;變式2函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)有極值10，則SKIPIF1<0的值為（C）A.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.以上都不正確解：由題設(shè)條件得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0通過(guò)驗(yàn)證，只有SKIPIF1<0符合題意（為什么要檢驗(yàn)？）歸納總結(jié)：1．理解極值的定義需注意哪些2.判別f(x0)是極大、極小值的方法:3.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟:課堂練習(xí)1：下列說(shuō)法正確的是（D）A.若SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0