3年高考2年模擬2025版新教材高考數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.2集合間的基本關(guān)系講義新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE10集合間的基本關(guān)系課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.理解集合之間包含與相等的含義.(重點(diǎn)、難點(diǎn))2.能識(shí)別給定集合的子集.(難點(diǎn))1.通過(guò)對(duì)集合之間包含與相等的含義以及子集、真子集概念的理解,培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.通過(guò)子集和真子集的求解,培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).草原上,藍(lán)藍(lán)的天上白云飄,白云下面馬兒跑.假如草原上的棗紅馬組成集合A,草原上的全部馬組成集合B.問(wèn)題1:集合A中的元素與集合B中的元素的關(guān)系是怎樣的?答案集合A中的元素都是集合B中的元素.問(wèn)題2:集合A與集合B又存在什么關(guān)系?答案集合A包含在集合B中.1.Venn圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示(1)優(yōu)點(diǎn):形象直觀(guān).(2)表示:通常用平面上①封閉曲線(xiàn)的②內(nèi)部代表集合.2.子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念思索1:隨意兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系?提示不確定.如集合A={0,1,2},B={-1,0,1},這兩個(gè)集合之間就沒(méi)有包含關(guān)系.特殊提示符號(hào)“∈”與“?”的區(qū)分:符號(hào)“∈”表示元素與集合間的關(guān)系,而“?”表示集合與集合之間的關(guān)系.3.空集(1)定義:不含⑧任何元素的集合叫做空集,記為⑨?.(2)規(guī)定:空集是任何集合的⑩子集.思索2:{0}與?相等嗎?提示{0}表示一個(gè)集合,且集合中有且僅有一個(gè)元素0;而?中不含有任何元素,故{0}≠?.4.集合間關(guān)系的性質(zhì)(1)任何一個(gè)集合都是它本身的子集,即A?A.(2)對(duì)于集合A,B,C,若A?B,且B?C,則A?C;若A?B,B?C,則A?C.探究一集合間關(guān)系的推斷例1推斷下列各組中集合之間的關(guān)系:(1)A={x|x是12的約數(shù)},B={x|x是36的約數(shù)};(2)A={x|x=2k-1,k∈N},B={x|x=2k+1,k∈N},C={x|x=4k+1,k∈N};(3)A={x|-1<x<4},B={x|x<5}.解析(1)若x是12的約數(shù),則x必是36的約數(shù),反之不成立,所以A?B.(2)易知集合A={-1,1,3,5,…},集合B={1,3,5,7,…},集合C={1,5,9,…}.所以C?B?A.(3)易知A中的元素都是B中的元素,但存在B中的元素不屬于A,如-2∈B,但-2?A,故A?B.思維突破推斷集合間關(guān)系的方法(1)視察法:一一列舉視察.(2)元素特征法:首先確定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征推斷集合間的關(guān)系.(3)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)軸或Venn圖.提示:若A?B和A?B同時(shí)成立,則A?B更能精確表達(dá)集合A,B之間的關(guān)系.1.下列關(guān)系中,正確的個(gè)數(shù)是()①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}?{2,1,0};③??{0,1,2};④??{0};⑤{0,1}={(0,1)};⑥0={0}.A.1 B.2 C.3 D.4答案C對(duì)于①,是集合與集合的關(guān)系,應(yīng)為{0}?{0,1,2},故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,實(shí)際為同一集合,任何一個(gè)集合是它本身的子集,故②正確;對(duì)于③,空集是任何集合的子集,故③正確;對(duì)于④,{0}是含有單元素0的集合,空集不含任何元素,并且空集是任何非空集合的真子集,所以??{0},故④正確;對(duì)于⑤,{0,1}是含有兩個(gè)元素0與1的集合,而{(0,1)}是以有序?qū)崝?shù)對(duì)(0,1)為元素的單點(diǎn)集,所以{0,1}與{(0,1)}不相等,故⑤錯(cuò)誤;對(duì)于⑥,0與{0}是“屬于與否”的關(guān)系,所以0∈{0},故⑥錯(cuò)誤.故正確的個(gè)數(shù)為3.探究二求子集、真子集(的個(gè)數(shù))例2(1)集合{a,b,c}的全部子集為,其中真子集有個(gè).

(2)寫(xiě)出滿(mǎn)意{3,4}?P?{0,1,2,3,4}的全部集合P.答案(1)?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c};7解析(1)集合{a,b,c}的子集:?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,都是{a,b,c}的真子集,共7個(gè).(2)由題意知,集合P中確定含有元素3,4,并且是至少含有三個(gè)元素的集合,因此全部滿(mǎn)意題意的集合P:{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}.思維突破1.求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的3個(gè)步驟2.與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的4個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素,則(1)A的子集有2n個(gè);(2)A的非空子集有2n-1個(gè);(3)A的真子集有2n-1個(gè);(4)A的非空真子集有2n-2個(gè).2.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},試寫(xiě)出A的全部子集.解析因?yàn)锳={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的全部子集:?,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.探究三集合間關(guān)系的應(yīng)用例3(易錯(cuò)題)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.易錯(cuò)辨析:解答本題易出現(xiàn)的失誤為漏掉探討B(tài)=?的狀況.事實(shí)上,當(dāng)B?A時(shí),B可能為空集.解析由題意可知,①當(dāng)B≠?時(shí),如圖所示.∴m+1≥-2②當(dāng)B=?時(shí),由m+1>2m-1,得m<2.綜上可得,m的取值范圍是{m|m≤3}.易錯(cuò)點(diǎn)撥利用集合的關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題(1)利用集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,常涉及兩個(gè)集合,其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù)),另一個(gè)為靜集合(詳細(xì)的),解答時(shí)常借助數(shù)軸來(lái)建立變量間的關(guān)系,需特殊留意端點(diǎn)問(wèn)題.(2)空集是任何集合的子集,因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí),要留意探討A=?和A≠?兩種狀況,前者常被忽視,造成思索問(wèn)題不全面的現(xiàn)象.3.(1)(變條件)若本例中的條件“A={x|-2≤x≤5}”改為“A={x|-2<x<5}”,其他條件不變,求m的取值范圍;(2)(變條件)若本例中的條件“B?A”改為“A?B”,其他條件不變,求m的取值范圍.解析(1)由題意可知,①當(dāng)B=?時(shí),由m+1>2m-1,得m<2.②當(dāng)B≠?時(shí),如圖所示.∴m+1>-綜上可得,m的取值范圍是{m|m<3}.(2)當(dāng)A?B時(shí),如圖所示,此時(shí)B≠?.∴2m-1>m+11.已知集合A={x|x2-1=0},則有()A.1?A B.0?A C.??A D.{0}?A答案C由已知得,A={1,-1},所以選項(xiàng)A,B,D都錯(cuò)誤;因?yàn)?是任何非空集合的真子集,所以C正確.故選C.2.下列四個(gè)集合中,是空集的是()A.{0} B.{x|x>8,且x<5}C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}答案B選項(xiàng)A中有元素0,選項(xiàng)C中有元素1,選項(xiàng)D中含有多數(shù)個(gè)元素,例如5,而選項(xiàng)B中無(wú)元素,故選B.3.集合A={-1,0,1},A的全部子集中,含有元素0的子集共有()A.2個(gè) B.4個(gè) C.6個(gè) D.8個(gè)答案B依據(jù)題意,在集合A的全部子集中,含有元素0的子集有{0},{0,1},{0,-1},{-1,0,1},共4個(gè),故選B.4.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B?A,則實(shí)數(shù)m=.

答案4解析∵B?A,∴元素3,4必為A中元素,∴m=4.5.已知集合A={x|x-7≥2},B={x|x≥5},試推斷集合A,B的關(guān)系.解析∵A={x|x-7≥2}={x|x≥9},B={x|x≥5},∴A?B.數(shù)學(xué)抽象——利用分類(lèi)探討思想解決集合間的關(guān)系已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B?A,求實(shí)數(shù)m的全部取值組成的集合.素養(yǎng)探究:涉及“B?A”或“B?A”的問(wèn)題,確定要分B=?和B≠?兩種狀況探討,不要忽視空集的狀況,過(guò)程中體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).解析由x2-4x+3=0,得x=1或x=3,∴集合A={1,3}.①當(dāng)B=?時(shí),m=0,滿(mǎn)意B?A.②當(dāng)B≠?時(shí),m≠0,則B={x|mx-3=0}=3m∵B?A,∴3m=1或3綜上可知,所求實(shí)數(shù)m的全部取值組成的集合為{0,1,3}.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.(1)若A為非空集合,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若A?B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)若A≠?,則有2a+1≤3a-5,解得a≥6,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥6}.(2)當(dāng)A?B時(shí)有如下三種狀況:①A=?,即3a-5<2a+1,解得a<6;②A≠?,且A?{x|x<-1},則有3a③A≠?,且A?{x|x>16},則有2a+1>16綜上,a的取值范圍是aa1.集合{1,2}的子集有()A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)答案A集合{1,2}的子集有?,{1},{2},{1,2},共4個(gè).2.下列表述正確的有()①空集沒(méi)有子集;②任何集合都有至少兩個(gè)子集;③空集是任何集合的真子集;④若??A,則A≠?.A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)答案B???,故①錯(cuò);?只有一個(gè)子集,即它本身,所以②錯(cuò);空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以③錯(cuò);④正確,故選B.3.集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,則實(shí)數(shù)m=()A.2 B.-1 C.2或-1 D.4答案C∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.4.(多選)給出下列關(guān)系式,其中正確的為()A.2∈Q B.{1,2}={(1,2)}C.2∈{1,2} D.??{1,2}答案CD2為無(wú)理數(shù),故A不正確;{1,2}是以1,2為元素的集合,{(1,2)}是以點(diǎn)(1,2)為元素的集合,故兩個(gè)集合不相等,所以B不正確;由元素與集合的關(guān)系知,C正確;空集是任何集合的子集,故D正確.故選CD.5.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=(xA.A?B B.B?A C.A=B D.A?B答案B∵B=(x,y)6.(2024上海光明中學(xué)高一期中)已知M={x|x≤15},a=3,則下列關(guān)系正確的是()A.a?M B.a?M C.{a}∈M D.{a}?M答案D∵3<15,∴a∈M,∴{a}?M.故選D.7.集合{(1,2),(-3,4)}的全部非空真子集是.

答案{(1,2)},{(-3,4)}解析{(1,2),(-3,4)}的全部真子集有?,{(1,2)},{(-3,4)},非空真子集是{(1,2)},{(-3,4)}.8.設(shè)a,b∈R,集合A={1,a},B={x|x(x-a)(x-b)=0},若A=B,則a=,b=.

答案0;1解析解方程x(x-a)(x-b)=0,得x=0或x=a或x=b,若A=B,則a=0,b=1.9.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.(1)若A?B,求a的取值范圍;(2)若B?A,求a的取值范圍.解析(1)若A?B,由圖可知,a>2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a>2}.(2)若B?A,由圖可知,1≤a≤2.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|1≤a≤2}.10.集合1,a,ba={0,a2A.0 B.1 C.-1 D.±1答案C∵1,a,b∴ba∴a2=1,∴a=±1.又a≠1,∴a=-1,∴a2019+b2018=-1+0=-1.11.若集合M=xx=k2+14,k∈ZA.M=N B.N?MC.M?N D.以上均不對(duì)答案C因?yàn)镸=xx=xxN=x=xx又2k+1(k∈Z)為奇數(shù),k+2(k∈Z)為整數(shù),所以M?N.12.設(shè)集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M與P的關(guān)系為.

答案M=P解析因?yàn)閤y>0,所以x,y同號(hào),又x+y<0,所以x<0,y<0,即集合M表示第三象限內(nèi)的點(diǎn),又因?yàn)榧螾也表示第三象限內(nèi)的點(diǎn),所以M=P.13.已知集合A={x∈R|x2+x=0},則集合A=.若集合B滿(mǎn)意{0}?B?A,則集合B=.

答案{-1,0};{-1,0}解析∵解方程x2+x=0,得x=-1或x=0,∴集合A={x∈R|x2+x=0}={-1,0}.∵集合B滿(mǎn)意{0}?B?A,∴集合B={-1,0}.14.已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析當(dāng)B=?時(shí),只需2a>a+3,即a>3.當(dāng)B≠?時(shí),依據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)