《空間向量基本定理》知識(shí)探究

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《空間向量基本定理》知識(shí)探究探究點(diǎn)1空間向量基本定理1.空間向量基本定理:如果三個(gè)向量不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得.2.基向量:其中叫做空間的一個(gè)基底,都叫做基向量.3.基底:空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.【要點(diǎn)辨析】1.空間任意不共面的三個(gè)向量都可以作為向量的基底，基底不唯一.2.三個(gè)向量不共面，隱含它們都是非零向量.3.一個(gè)基底是指一個(gè)向量組，一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量，二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.4.基向量的選擇和使用方法（1）盡可能選擇具有垂直關(guān)系的，從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底.（2）用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的，一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘.5.用基底表示向量時(shí)的注意事項(xiàng)(1)若基底確定,要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則,以及向量的數(shù)乘運(yùn)算律進(jìn)行.(2)若沒給定基底,首先要選擇基底,選擇時(shí)要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夾角已知或易求.6.基向量法解決長度、垂直及夾角問題的步驟(1)設(shè)出基向量.(2)用基向量表示出直線的方向向量.(3)用求長度;用判斷垂直;用求夾角;用.(4)轉(zhuǎn)化為線段長度,兩直線垂直及夾角問題.學(xué)科素養(yǎng):利用空間向量基本定理判斷可作為基底的三個(gè)向量，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).典例1-1[概括理解能力、推測解釋能力]已知是空間的一個(gè)基底,且,試判斷能否作為空間的一個(gè)基底.解析:本題考查利用空間向量基本定理中基底的概念判斷三個(gè)向量能否作為基底,解決本題需理解空間向量基本定理,分析題意,我們使用反證法,假設(shè)三個(gè)向量共面,由共面向量基本定理,寫出恒等式,利用系數(shù)相等,列出方程組,計(jì)算出未知數(shù),若無解,說明假設(shè)不成立,即三個(gè)向量不共面,可作為基底;若有解,說明假設(shè)成立,三個(gè)向量共面,不能作為基底.

解:假設(shè)共面,由向量共面的充要條件知,存在實(shí)數(shù),使成立,

,

即.是空間的一個(gè)基底,不共面.

此方程組無解.

即不存在實(shí)數(shù)使得,

所以不共面,能作為空間的一個(gè)基底.典例1-2[分析計(jì)算能力]長方體中,為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.點(diǎn)撥：本題考查利用空間向量基本定理,基向量法解決夾角問題,分析題意,我們可以將求異面直線與所成角的余弦值問題轉(zhuǎn)化為與夾角的余弦值問題,由空間向量基本定理,我們可用基向量、、表示與,通過向量的數(shù)量積公式計(jì)算出與夾角的余弦值,即得出異面直線與所成角的余弦值.解析：∵,∴.所以異面直線與所成角的余弦值為.答案B探究點(diǎn)2空間向量正交分解1.單位正交基底:如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直,且長度都是1,那么這個(gè)基底叫做單位正交基底,常用表示.2.正交分解:把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.【要點(diǎn)辨析】1.正交基底,則,即.2.單位正交基底,那么,且,即.學(xué)科素養(yǎng):利用空間向量基本定理先用基底表示空間中的向量，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).典例2[簡單問題解決能力]正方體中,分別是的中點(diǎn),以