專題05 一元二次方程【考點精講】（解析版）

專題05一元二次方程一、一元二次方程一元二次方程概念（1）只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項，a是二次項的系數(shù)，b是一次項的系數(shù)，注意a≠0.解法（降次）①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，當b2-4ac≥0時，用直接開平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0，左邊化為兩個一次因式的積，令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程就得到原方程的解根的判別式（1）當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根;

（3）當b2-4ac<0時，方程無實數(shù)根.根與系數(shù)的關(guān)系如果關(guān)于的一元二次方程的兩根（當）為,,那么有【擴展】一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩類應(yīng)用（1）求含有兩根的代數(shù)式的值：設(shè)法將所求代數(shù)式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果（2）構(gòu)造以兩數(shù)為根的一元二次方程：:由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程【考點1】一元二次方程的概念【例1】若關(guān)于x的方程是一元二次方程，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴，∴，故選A．【例2】將一元二次方程化為一般形式后，其中二次項系數(shù)為______，一次項系數(shù)為________，常數(shù)項為________．【答案】

3

0【詳解】解：將一元二次方程化為一般形式為，故二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是．故答案為．1．（2022·遼寧·阜新實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）下列方程中，一定是關(guān)于的一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A．，即，是一元一次方程，不是一元二次方程，故此選項不合題意；B．，當a、b、c均為常數(shù)，而時，不是一元二次方程，故此選項不合題意；C．是一元二次方程，故此選項符合題意；D．不是整式方程，故此選項不合題意；故選：C．2．（2022·福建·龍巖蓮東中學(xué)九年級期中）一元二次方程的一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．3，1 B．3， C．6，1 D．，【答案】D【詳解】解：由一元二次方程的一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是，；故選：D．3．（2022·江蘇·東臺市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）一元二次方程的一次項系數(shù)是（）A． B． C． D．2【答案】C【詳解】解：一元二次方程的一次項系數(shù)是，故選：C【考點2】一元二次方程的解法【例3】用配方法解方程時，配方結(jié)果正確的是（）A． B． C． D．【分析】先把常數(shù)項移到方程的右邊，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，然后把方程左邊利用完全平方公式寫成平方形式即可．【詳解】解：，，，，故選：D．【例4】（2022·黑龍江齊齊哈爾）解方程：【答案】，【分析】直接開方可得或，然后計算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇（1）當b=0時，首選直接開平法（2）當c=0時，首選因式分解法或配方法（3）當a=1,b≠0,c≠0時，首選配方法或因式分解法（4）當a≠1,b≠0,c≠0時，首選公式法或因式分解法1．（2022·江蘇南京·九年級階段練習(xí)）觀察表格中數(shù)據(jù)，一元二次方程的一個近似解為（）x4.674.614.564.514.464.414.35A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵x=?1.12時，；x=?1.11時，；∴時，對應(yīng)x應(yīng)滿足?1.12<x<?1.11，∴原方程的近似解為：?1.117．故選C．2．（2022·云南）方程2x2+1=3x的解為________．【答案】【分析】先移項，再利用因式分解法解答，即可求解．【詳解】解：移項得：，∴，∴或，解得：，故答案為：．3．（2022·廣東·深圳市福田區(qū)北環(huán)中學(xué)九年級期中）設(shè)，分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，則_________．【答案】【詳解】解：m，n分別為一元二次方程的兩個實數(shù)根，，即，，．故答案為：2012．4．（2021·山東棗莊市·中考真題）若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關(guān)于的方程的兩個根，則的值為______．【分析】分4為等腰三角形的腰長和4為等腰三角形的底邊長兩種情況，再利用一元二次方程根的定義、根的判別式求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當4為等腰三角形的腰長時，則4是關(guān)于的方程的一個根，因此有，解得，則方程為，解得另一個根為，此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；（2）當4為等腰三角形的底邊長時，則關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根，因此，根的判別式，解得，則方程為，解得方程的根為，此時等腰三角形的三邊長分別為，滿足三角形的三邊關(guān)系定理；綜上，的值為8或9，故答案為：8或9．5．（2022·四川涼山）解方程：x2－2x－3＝0【答案】【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．【詳解】解：，，或，或，故方程的解為．【考點3】一元二次方程的判別式【例5】（2021·北京）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進行求證；（2）設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根為，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，進而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩實數(shù)根為，則有：，∵，∴，解得：，∵，∴．一元二次方程根的判別式：ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式是b2-4ac.（1）當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;

（3）當b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.1．（2022·湖南懷化）下列一元二次方程有實數(shù)解的是（）A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0【答案】C【分析】判斷一元二次方程實數(shù)根的情況用根的判別式進行判斷．【詳解】A選項中，，故方程無實數(shù)根；B選項中，，故方程無實數(shù)根；C選項中，，故方程有兩個不相等的實數(shù)根；D選項中，，故方程無實數(shù)根；故選C．2．（2022·浙江溫州）若關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（

）A．36 B． C．9 D．【答案】C【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于c的一次方程即可．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根∴解得故選：C．3．（2022·山東濱州）一元二次方程的根的情況為（

）A．無實數(shù)根B．有兩個不等的實數(shù)根C．有兩個相等的實數(shù)根D．不能判定【答案】A【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【詳解】解：∵Δ＝（?5）2?4×2×6＝-23＜0，∴方程無實數(shù)根．故選：A．【考點4】一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例6】（2022·湖北隨州）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不等實數(shù)根，．(1)求k的取值范圍；(2)若，求k的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用一元二次方程根的判別式大于0建立不等式，解不等式即可得；（2）先利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，再結(jié)合（1）的結(jié)論即可得．【解析】（1）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個不等實數(shù)根，此方程根的判別式，解得．（2）解：由題意得：，解得或，由（1）已得：，則的值為2．1．（2022·北京市第三十五中學(xué)九年級期中）已知、是一元二次方程的兩個根，則______，______．【答案】

【詳解】解：，，，，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：，，故答案為：①；②2．（2022·廣東·深圳實驗學(xué)校九年級期中）設(shè)，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為___________．【答案】1【詳解】解：∵x1，x2是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，則原式．故答案為：1．3．（2022·湖北十堰）已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．【解析】(1)，∵，∴，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)方程的兩個實數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，∵，∴，∴，解得：，，∴，即．4．（2021·湖北黃石市·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．（1）求的取值范圍；（2）若該方程的兩個實數(shù)根分別為、，且，求的值．【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根的條件，即求解即可；（2）由韋達定理把和分別用含m的式子表示出來，然后根據(jù)完全平方公式將變形為，再代入計算即可解出答案．【詳解】（1）由題意可得：解得：即實數(shù)m的取值范圍是．（2）由可得：∵；∴解得：或∵∴即的值為-2．【考點5】方程運用1：增長率問題【例7】（2021·湖南張家界市·中考真題）2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚紅色文化，重走長征路”主題教育學(xué)習(xí)活動，我市“紅二方面軍長征出發(fā)地紀念館”成為重要的活動基地．據(jù)了解，今年3月份該基地接待參觀人數(shù)10萬人，5月份接待參觀人數(shù)增加到12.1萬人．（1）求這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率；（2）按照這個增長率，預(yù)計6月份的參觀人數(shù)是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31萬【分析】（1）設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意列出等式解出即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增長率計算即可．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為，由題意得：，解得：，（不合題意，舍去），答：這兩個月參觀人數(shù)的月平均增長率為．（2）（萬人），答：六月份的參觀人數(shù)為13.31萬人．1．（2022·新疆）臨近春節(jié)的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為8萬元，第三個月的銷售額為11.52萬元，設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，即可得．【詳解】解：設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為x，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，∴故選C．2．（2022·重慶）小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設(shè)該快遞店攬件日平均增長率為，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】平均增長率為x，關(guān)系式為：第三天攬件量＝第一天攬件量×（1＋平均增長率）2，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：由題意得：第一天攬件200件，第三天攬件242件，∴可列方程為：，故選：A．3．（2022·四川眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；（2）2021年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用增加15%．如果投入資金年增長率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？【答案】(1)20%(2)18個【分析】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；（2）由（1）得出的資金年增長率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．【解析】(1)解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為，根據(jù)題意得：，解這個方程得，，，經(jīng)檢驗，符合本題要求．答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為20%．(2)設(shè)該市在2022年可以改造個老舊小區(qū)，由題意得：，解得．∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個小區(qū)．答：該市在2022年最多可以改造18個老舊小區(qū)．【考點6】方程運用2：利潤問題【例8】（2021·山東濟寧市·中考真題）某商場購進甲、乙兩種商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．（1）求甲、乙兩種商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙兩種商品全部售完后，該商場又購進一批甲商品，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調(diào)整價格，每降價1元，平均每天可以多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．【分析】（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據(jù)題意列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值．【詳解】解：（1）設(shè)甲種商品每箱盈利x元，則乙種商品每箱盈利（x-5）元，根據(jù)題意得：，整理得：x2-18x+45=0，解得：x=15或x=3（舍去），經(jīng)檢驗，x=15是原分式方程的解，符合實際，∴x-5=15-5=10（元），答：甲種商品每箱盈利15元，則乙種商品每箱盈利10元；（2）設(shè)甲種商品降價a元，則每天可多賣出20a箱，利潤為w元，由題意得：w=（15-a）（100+20a）=-20a2+200a+1500=-20（a-5）2+2000，∵a=-20，當a=5時，函數(shù)有最大值，最大值是2000元，答：當降價5元時，該商場利潤最大，最大利潤是2000元．1．（2022·山東青島·九年級期中）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價在40元至60元之間，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個．（1）若（個）表示這種臺燈平均每月的銷量，（元）表示這種臺燈的售價，求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了實現(xiàn)平均每月12000元的銷售利潤，求這種臺燈的售價應(yīng)定為多少元．【答案】(1)(2)60元【詳解】（1）∵這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個∴（2）依題意，得：，整理，得：，解得：，（不合題意，舍去），答：這種臺燈的售價應(yīng)定為60元．2.某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2019年該類服裝的出廠價是200元/件，2020年，2021年連續(xù)兩年改進技術(shù)，降低成本，2021年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．（1）這兩年此類服裝的出廠價下降的百分比相同，求平均下降率．（2）2021年某商場從該服裝廠以出廠價購進若干件此類服裝，以200元/件銷售時，平均每天可銷售20件．為了減少庫存，商場決定降價銷售．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，單價應(yīng)降低多少元?【答案】（1）平均下降率為10%；（2）單價應(yīng)降低15元．【分析】（1）設(shè)平均下降率為x，然后根據(jù)題意可直接列方程求解；（2）設(shè)單價應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得每天的銷售量為(20+2y)件，然后根據(jù)題意可列方程求解．【詳解】解：（1）設(shè)平均下降率為x，由題意可得：200(1?x)2=162，解得：x1=0.1，x2=1.9（不符合題意，舍去），∴x=01=10%，答：平均下降率為10%．（2）設(shè)單價應(yīng)降低y元，根據(jù)題意可得：(200?162?y)(20+y)=1150，解得：y1=13，y2=15，根據(jù)題意，為了減少庫存，所以應(yīng)該降低15元，答：單價應(yīng)降低15元．【考點7】方程運用3：贈送禮物【例9】（2022·黑龍江）2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進行了45場，共有多少支隊伍參加比賽？（

）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【分析】設(shè)有x支隊伍，根據(jù)題意，得，解方程即可．【詳解】設(shè)有x支隊伍，根據(jù)題意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故選B．1．臺山某學(xué)校某個宿舍同學(xué)畢業(yè)時都將自己的照片向全宿舍其他同學(xué)各送一張表示留念，全宿舍共送56張照片，設(shè)該宿舍共有x名同學(xué)，根據(jù)題意，列出方程為（

）A． B． C． D．【分析】如果宿舍有x名同學(xué)，那么每名同學(xué)要送出（x-1）張，共有x名學(xué)生，那么總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x-1）張，即可列出方程．【詳解】解：∵宿舍有x名同學(xué)，∴每名同學(xué)要送出（x-1）張；又∵是互送照片，∴總共送的張數(shù)應(yīng)該是x（x-1）=56．故選B．2．某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：設(shè)參加此次比賽的球隊數(shù)為隊，根據(jù)題意得：，化簡，得，解得，（舍去），參加此次比賽的球隊數(shù)是9隊．故選：．【考點8】方程運用4：傳播問題【例10】雞瘟是一種傳播速度很快的傳染病，一輪傳染為一天的時間，某養(yǎng)雞場于某日發(fā)現(xiàn)一例雞瘟病例，兩天后發(fā)現(xiàn)共有169只雞患有這種病．若每例病雞傳染健康雞的只數(shù)均相同，則每只病雞傳染健康雞的只數(shù)為（）A．11只 B．12只 C．13只 D．14只【答案】B【分析】設(shè)每只病雞傳染健康雞x只，則第一天有x只雞被傳染，第二天有x（x+1）只雞被傳染，所以經(jīng)過兩天的傳染后感染患病的雞共有：x+1+x（x+1）只，根據(jù)經(jīng)過兩天的傳染后使雞場感染患病的雞169，為等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值即可．【詳解】解：設(shè)每只病雞傳染健康雞x只，由題意得：x+1+x（x+1）＝169，整理，得x2+2x﹣168＝0，解，得x1＝12，x2＝﹣14（不符合題意舍去）．答：設(shè)每只病雞傳染健康雞12只．故選：B．1．由于許多國外國家直接放開防空政策，導(dǎo)致新冠肺炎疫情至今沒能得到緩解，疫情難以消停.新冠肺炎具有人傳人的特性，若一人攜帶病毒，未盡進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患新冠肺炎（假設(shè)每輪傳染的人數(shù)相同），則每輪傳染中平均每個人傳染了__________人.【分析】設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)“若一人攜帶病毒，未進行有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均每個人傳染了x個人，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），即每輪傳染中平均每個人傳染了10人．故答案為：10．2．已知3人患流感，經(jīng)過兩輪傳染后，患流感總?cè)藬?shù)為108人，則平均每人每輪感染_____個人．【分析】設(shè)1個人傳染x人，第一輪共傳染（x+1）人，第二輪共傳染（x+1）2人，由此列方程解答，再進一步求問題的答案．【詳解】解：設(shè)每個人傳染x人，根據(jù)題意列方程得，3（x+1）2=108，解得：x1=5，x2=8（不合題意，舍去），故答案為：5．【考點9】方程運用5：幾何問題【例11】（2022·福建·龍巖蓮東中學(xué)九年級期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《田畝比類乘除算法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊與長共六十四步，問闊及長各幾步．”意思是，一塊矩形田地的面積是864平方步，它的寬和長共60步，問它的寬和長各多少步？【答案】長是36步，寬是24步．【詳解】解：設(shè)長為x步，則寬為步，依題意，得：，解得：（舍），則長是36步，寬是步答：長是36步，寬是24步．1．《生物多樣性公約》第十五次締約方大會（COP15）將于2021年10月11日至24日在云南省昆明市舉辦．昆明某景觀園林公司為迎接大會召開，計劃在一個長35米、寬20米的矩形場地上要開辟一橫兩縱三條等寬的小道（如圖），其余部分種植草坪，草坪面積為627平方米．設(shè)小道的寬為x米，則可列方程為________．【答案】（35?2x）（20?x）＝627【詳解】解：把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊可得矩形的長為（35?2x）米，寬為（20?x）米，∴可列方程為（35?2x）（20?x）＝627，故答案為（35?