浙江省湖州、衢州、麗水三地市2024-2025學年高三上學期11月教學質(zhì)量檢測 數(shù)學

三地市高三教學質(zhì)量檢測數(shù)學1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.3.選擇題的答案須用鉛筆將答題紙上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈.4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時可先使用鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本試題卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合定義求得，再由交集定義計算．【詳解】因，，所以，所以，故選：B．2.已知復數(shù)（其中是虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用共軛復數(shù)的定義、復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，因此，.故選：C.3.雙曲線的另一種定義：動點與定點的距離和它與定直線：的距離的比是常數(shù)，則點的軌跡是一個雙曲線.動點與定點的距離和它與定直線：的距離的比是，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡得答案.【詳解】設(shè)，依題意，，化簡整理得，所以點的軌跡方程為.故選：B4.為研究光照時長（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量（顆）之間的關(guān)系，某課題研究小組采集了9組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并對，進行線性回歸分析.若在此圖中加上點后，再次對，進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.，不具有線性相關(guān)性 B.決定系數(shù)變大C.相關(guān)系數(shù)變小 D.殘差平方和變小【答案】C【解析】【分析】從圖中分析得到加入點后，回歸效果會變差，再由決定系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，殘差平方和及相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷即可.詳解】對于A，加入點后，變量與預報變量相關(guān)性變?nèi)?，但不能說，不具有線性相關(guān)性，所以A不正確對于B，決定系數(shù)越接近于1，擬合效果越好，所以加上點后，決定系數(shù)變小，故B不正確；對于C，從圖中可以看出點較其他點，偏離直線遠，所以加上點后，回歸效果變差.所以相關(guān)系數(shù)的絕對值越趨于0，故C正確；對于D，殘差平方和變大，擬合效果越差，所以加上點后，殘差平方和變大，故D不正確；故選：C.5.已知外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)中點為，確定，為正三角形，再計算向量的投影得到答案.【詳解】設(shè)中點為，則，即，故邊為圓的直徑，則，又，則為正三角形，則有，向量在向量上的投影向量，故選：A6.古代農(nóng)耕常用水車作為灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類改造自然的成果之一.如圖是一個半徑為的水車，以水車的中心為原點，過水車的中心且平行于水平面的直線為軸，建立平面直角坐標系，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒.經(jīng)過秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到點，設(shè)點的坐標為，其縱坐標滿足，當秒時，（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】由點坐標求得半徑，再由周期是60秒，經(jīng)過45秒，就是旋轉(zhuǎn)了個周期，由計算出圖中（小于平角的那個），然后由勾股定理計算．【詳解】由已知，，經(jīng)過45秒后，即旋轉(zhuǎn)了個周期，因此，如圖，所以，故選：A．7.已知長方體，是棱的中點，平面將長方體分割成兩部分，則體積較小部分與體積較大部分的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意可知平面將長方體分割成的體積較小部分為三棱臺，利用臺體體積公式計算即可得出答.【詳解】取的中點為，連接，如下圖所示：由長方體性質(zhì)可得，因此平面即為平面，根據(jù)長方體性質(zhì)，由相似比可知交于同一點，所以長方體被平面割成的體積較小部分為三棱臺，設(shè)長方體的各棱長為，因此長方體的體積為；再由棱臺體積公式可得，可得較大部分的體積為；因此體積較小部分與體積較大部分的體積之比為.故選：D8.已知函數(shù)，，若有兩個零點，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)零點的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求出，再逐項計算判斷即得.【詳解】由，得，而，則，，，因此，解得，由，得或，于是，對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點的意義求出兩個零點是解題之關(guān)鍵.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由基本不等式判斷AB選項，由不等式的基本性質(zhì)判斷CD選項.【詳解】當且僅當時取等號，A選項正確；當且僅當時取等號，B選項錯誤；∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，C選項正確；∵，∴，∴，D選項正確.故選：ACD.10.現(xiàn)有一個抽獎活動，主持人將獎品放在編號為1、2、3的箱子中，甲從中選擇了1號箱子，但暫時未打開箱子，主持人此時打開了另一個箱子（主持人知道獎品在哪個箱子，他只打開甲選擇之外的一個空箱子）.記表示第號箱子有獎品，表示主持人打開第號箱子.則下列說法正確的是（）A.B.C.若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率增大D.若再給甲一次選擇的機會，則甲換號后中獎概率不變【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用古典概率公式，結(jié)合條件概率和全概率公式及逐項判斷即可.【詳解】對于A，甲選擇1號箱，獎品在2號箱里，主持人打開3號箱的概率為1，即，A錯誤；對于B，，，，，則，因此，B正確；對于CD，若繼續(xù)選擇1號箱，獲得獎品的概率為，主持人打開了無獎品的箱子，若換號，選擇剩下的那個箱子，獲得獎品的概率為，甲換號后中獎概率增大，C正確，D錯誤.故選：BC11.如圖，在直三棱柱中，，，是線段的中點，是線段上的動點（含端點），則下列命題正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.在直三棱柱內(nèi)部能夠放入一個表面積為的球C.直線與所成角的正切值的最小值是D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】證明出平面，結(jié)合錐體體積公式可判斷A選項；計算出的外接圓半徑，并與球的半徑比較大小，可判斷B選項；利用空間向量法可判斷C選項；作點關(guān)于平面的對稱點，可知，然后將平面和平面延展為一個平面，結(jié)合余弦定理可判斷D選項.【詳解】對于A選項，如下圖所示，連接交于點，連接，因為四邊形為平行四邊形，則為的中點，又因為為的中點，則，因為平面，平面，則平面，因為，則點到平面的距離等于點到平面的距離，為定值，又因為的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，A對；對于B選項，因為，，則，且表面積為的球的半徑為，的內(nèi)切圓半徑為，所以，直三棱柱內(nèi)部不能放入一個表面積為的球，B錯；對于C選項，因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則A2,0,0、、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)直線與所成角為，所以，，當時，取最大值，此時，取最小值，取最大值，此時，，，所以，直線與所成角的正切值的最小值是，C對；對于D選項，點關(guān)于平面的對稱點為，則，，，所以，，則，因為平面，，則平面，因為平面，則，將平面和平面延展為一個平面，如下圖所示：在中，，，，由余弦定理可得，當且僅當、、三點共線時，取最小值，故的最小值為，D對.故選：ACD.【點睛】（1）計算多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面上折線段的最值問題時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，即“化折為直”或“化曲為直”來解決，要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀；（2）對于幾何體內(nèi)部折線段長的最值，可采用轉(zhuǎn)化法，轉(zhuǎn)化為兩點間的距離，結(jié)合勾股定理求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，的系數(shù)為，則______.【答案】5【解析】【分析】由二項式的展開式，令的次數(shù)為1，此時的系數(shù)等于10建立等式，解出的值.【詳解】，令，則，∴.故答案為：5.13.已知橢圓：，過左焦點作直線與圓：相切于點，與橢圓在第一象限的交點為，且，則橢圓離心率為______.【答案】【解析】【分析】由題意利用直線與圓相切可得，再由余弦定理計算得出，利用橢圓定義即可得出離心率.【詳解】設(shè)橢圓右焦點為，連接，如下圖所示：由圓：可知圓心，半徑；顯然，且，因此可得，所以，可得；即可得，又易知；由余弦定理可得，解得，再由橢圓定義可得，即，因此離心率.故答案為：14.若，已知數(shù)列中，首項，，，則______.【答案】158【解析】【分析】利用已知確定數(shù)列的通項公式，得出，，由函數(shù)解析式得出，結(jié)合倒序相加法求和．【詳解】，則，所以，整理得，即是常數(shù)數(shù)列，又，所以，，，則，所以，又，所以，，所以，所以．故答案為：158．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，平面，點是的中點，點在線段上且，為三角形的重心.（1）求證：平面；（2）當?shù)拈L為何值時，二面角的大小為.【答案】（1）證明見解析；（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)重心性質(zhì)以及線段比可知是的重心，再利用線段比例關(guān)系以及線面平行判定定理可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系利用二面角的向量求法，由二面角的大小為解方程即可得滿足題意.【小問1詳解】連接交于點，由重心性質(zhì)可得是的中點，又點是的中點，點在線段上且，可知是的重心；連接，可知點在上，如下圖所示：由重心性質(zhì)可得，，所以；又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】因為底面是邊長為2的等邊三角形，所以；又平面，且分別為的中點，所以可得平面；即兩兩垂直；以為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：設(shè)的長為，則可得，所以；所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，即可取，易知平面的一個法向量為；所以，解得或（舍）；即當?shù)拈L為3時，二面角的大小為.16.在中，角對應(yīng)的的三邊分別是，，，且.（1）求角的值；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等變換可求得，可得；（2）根據(jù)可求得，，再利用切弦互化以及正弦定理可得，，再利用正弦定理可求得邊長即求出面積.【小問1詳解】根據(jù)題意由正弦定理可得，整理可得，即，所以；可得，又，所以，又，因此.【小問2詳解】由三角形內(nèi)角關(guān)系可得，由可得，解得或；當時，，又，所以兩角均為鈍角，不合題意；因此，；又，可得，同理；由正弦定理可得，可得，同理因此的面積為.17.已知數(shù)列的首項是1，其前項和是，且，.（1）求，的值及數(shù)列的通項公式；（2）若存在實數(shù)，使得關(guān)于不等式，有解，求實數(shù)取到最大值時的值.【答案】（1），，（2）4或5【解析】【分析】（1）用累加法得到數(shù)列通項公式；（2）求出數(shù)列前項和，列出不等式，構(gòu)造函數(shù)利用導函數(shù)求最大值，并找到最大值點.【小問1詳解】∵，∴當時，，即，當時，也滿足，∴，∴，.【小問2詳解】由（1）可知，∴，∴令，，當時，，當時，∵∴的最大值為70，即當或時，取得最大值70，∴取得最大值時，取4或5.18.已知函數(shù).（1）當時，求曲線y=fx在點處的切線方程；（2）若，，證明：；（3）若，恒有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）．【解析】【分析】（1）直接求出導函數(shù)，計算和，由點斜式得直線方程并整理為一般式；（2）在題設(shè)條件下證明，是減函數(shù)，，再證明即得證；（3）時，由說明遞減，不等式不可能恒成立，時，由（2）得出時，，的大于1的根記為（是地，），證明時，，時，，由確定的單調(diào)性，，時，由完成證明，時，由確定．綜合后得出結(jié)論．【小問1詳解】時，，，，又，所以切線方程為，即；【小問2詳解】，時，遞增函數(shù)，因此，，又，所以，在上遞減，，因為，所以，從而；【小問3詳解】，，當時，，在上是減函數(shù)，當時，，因此不可能恒成立，時，由得，記，，則有兩個實根，一根小于1，一根大于1，大于1的根為，易知它是關(guān)于的減函數(shù)，注意到在上是增函數(shù)，且，即時，，時，，所以時，，遞減，時，，遞增，所以，時，，此時，記，在上遞減，在上遞增，且，因此當時，，，當時，，，綜上，時，恒成立所以的取值范圍是．【點睛】難點點睛：本題考查用導數(shù)求切線方程，研究不等式恒成立問題，難度較大．第（3）小題的求解，一般由完成，但本題中，難點一是確定函數(shù)值是何時取得的，結(jié)合（2）的求解，得出時，，難點二是在分類討論和的結(jié)論時需要用兩種不同的思路，時，最小值作為的函數(shù)是遞增的，得出，然后由的單調(diào)性得證，時，先由的單調(diào)性得出．19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點0,1的直線族（不包括直線軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.（1）圓：是直線族