數學高考考熱點- 近五年高考數學真題專項分類匯編9講之8-計數原理與概率統(tǒng)計

考點8計數原理與概率統(tǒng)計——五年（2020—2024）高考數學真題專項分類匯編學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．[2024秋·高二·山東淄博·月考?？糫從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為()A. B. C. D.1．答案：D解析：從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，共有種不同的取法，若兩數不互質，不同的取法有：，，，，，，共7種，故所求概率.故選D.2．[2020年全國高考真題]要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者,每名學生只能選擇去一個村,每個村里至少有一名志愿者,則不同的安排方法共有()A.2種 B.3種 C.6種 D.8種2．答案：C解析：方法共有種.故選C.3．[2023年全國高考真題]某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有().A.種 B.種 C.種 D.種3．答案：D解析：根據分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取人，根據組合公式和分步計數原理，則不同的抽樣結果共有種.故選D.4．[2022年全國高考真題]甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種4．答案：B解析：法一：丙和丁相鄰共有種站法，甲站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法，所以甲不站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法.法二：因為丙和丁相鄰，所以先把丙和丁捆綁，看成一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有種排列方式；又甲不站在兩端，所以甲只需在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙和丁兩人的順序可交換，有2種排列方式.故共有種不同的排列方式，故選B.5．有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則()

A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立5．答案：B解析：本題考查獨立事件的概念.由于有放回的取球，則，，，，，，，，其中，故甲與丁相互獨立.6．[2020年全國高考真題]6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種6．答案：C解析：第一步：安排甲場館的志愿者，則甲場館的安排方法有種，第二步：安排乙場館的志愿者，則乙場館的安排方法有種，第三步：安排丙場館的志愿者，則丙場館的安排方法有種.所以共有種不同的安排方法.故選C.7．[2021年全國高考真題]某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，則下列結論中不正確的是()A.越小，該物理量一次測量結果落在內的概率越大B.該物理量一次測量結果大于10的概率是0.5C.該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D.該物理量一次測量結果落在內的概率與落在內的概率相等7．答案：D解析：對于A，越小，代表正態(tài)曲線越陡，故A正確；對于B，測量結果服從正態(tài)分布，則正態(tài)曲線的對稱軸為直線，故B正確；對于C，結合正態(tài)曲線可知與關于對稱軸（直線）對稱，故C正確；對于D，結合正態(tài)曲線可知，區(qū)間與不關于對稱軸（直線）對稱，故D錯誤.故選D.8．[2024年全國高考真題]某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：）并部分整理如下表所示.畝產量頻數61218302410根據表中數據，下列結論正確的是()A.100塊稻田畝產量的中位數小于B.100塊稻田中畝產量低于的稻田所占比例超過C.100塊稻田畝產量的極差介于到之間D.100塊稻田畝產量的平均值介于到之間8．答案：C解析：對于A，因為前3組的頻率之和，前4組的頻率之和，所以100塊稻田畝產量的中位數所在的區(qū)間為，故A不正確；對于B，100塊稻田中畝產量低于的稻田所占比例為，故B不正確；對于C，因為，，所以100塊稻田畝產量的極差介于至之間，故C正確；對于D，100塊稻田畝產量的平均值為，故D不正確.故選C.二、多項選擇題9．[2024年全國高考真題]隨著“一帶一路”國際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值，樣本方差.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布，假設推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布，則（若隨機變量Z服從正態(tài)分布，則）()A. B. C. D.9．答案：BC解析：由題意可知，，所以，，所以，所以A錯誤，B正確.因為，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正確，D錯誤.故選BC.10．[2023年全國高考真題]有一組樣本數據，，…，，其中是最小值，是最大值，則()A.，，，的平均數等于，，…，的平均數B.，，，的中位數等于，，…，的中位數C.，，，的標準差不小于，，…，的標準差D.，，，的極差不大于，，…，的極差10．答案：BD解析：對于選項A：，不確定，，，…，的平均數不確定，如1，2，2，2，2，4的平均數不等于2，2，2，2的平均數，故A錯誤；對于選項B：不妨設，則，，，的中位數為，，，，，，的中位數為，故B正確；對于選項C：，，，，，的波動性不小于，，，的波動性，，，，的標準差不大于，，，，，的標準差，故C錯誤；對于選項D：不妨設，則，，即，，，的極差不大于，，，，，的極差，故D正確.故選BD.11．[2023年全國高考真題]在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次，收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）()A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D.當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率11．答案：ABD解析：對于A選項，采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1，0，1，依次收到1，0，1的概率為，所以A選項正確.對于B選項，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為，所以B選項正確.對于C選項，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，依次收到1，1，1（即譯碼為1）的概率為；發(fā)送1，依次收到1，0，1（即譯碼為1），0，1，1（即譯碼為1），1，1，0（即譯碼為1）的概率為，于是譯碼為1的概率為，所以C選項不正確.對于D選項，采用三次傳輸方案，發(fā)送0，依次收到0，0，0（即譯碼為0）的概率為；發(fā)送0，依次收到0，0，1（即譯碼為0），0，1，0（即譯碼為0），1，0，0（即譯碼為0）的概率為，于是譯碼為0的概率為.采用單次傳輸方案，發(fā)送0，譯碼為0的概率為.依題意，有，，即，.令函數，，則在上恒成立，所以D選項正確.故選ABD.三、填空題12．[2022年全國高考真題]已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則__________.12．答案：0.14解析：隨機變量X的均值為2，所以由對稱性，可得，因此.13．[2022年全國高考真題]的展開式中的系數為________（用數字作答）.13．答案：-28解析：展開式的通項，.令，得，令，得，所以的展開式中的系數為.14．[2023年全國高考真題]某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有__________種（用數字作答）.14．答案：64解析：法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，有種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1門，有種方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.法二：若學生從這8門課中選修2門課，則有（種）選課方案；若學生從這8門課中選修3門課，則有（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.15．[2024年全國高考真題]甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數字，甲的卡片上分別標有數字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數字2，4，6，8.兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數字的大小，數字大的人得1分，數字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為___________.15．答案：解析：因為甲出卡片1一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3，則甲出卡片3，5，7時都贏，所以只有1種組合：，，，.若甲的總得分為2，有以下三類情況：第一類，當甲出卡片3和5時贏，只有1種組合，為，，，；第二類，當甲出卡片3和7時贏，有，，，或，，，或，，，，共3種組合；第三類，當甲出卡片5和7時贏，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7種組合.綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有（種），所以甲的總得分不小于2的概率.四、雙空題16．[2024年全國高考真題]在如圖的的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有__________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是__________.16．答案：24；112解析：第一步，從第一行任選一個數，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個與第一個數不同列的數，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個與第一、二個數均不同列的數，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個與第一、二、三個數均不同列的數，只有1種選法.由分步乘法計數原理知，不同的選法種數為.先按列分析，每列必選出一個數，故所選4個數的十位上的數字分別為1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行個位上的數字的最大值分別為1，3，3，5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第4行選15，此時個位上的數字之和最大.故選中方格中的4個數之和的最大值為.五、解答題17．[2023年全國高考真題]某研究小組經過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖： 利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設數據在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.（1）當漏診率時，求臨界值c和誤診率；（2）設函數，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值.17．答案：（1）；（2）；0.02解析：（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得，.（2）當時，；當時，，故所以在區(qū)間的最小值為0.02.18．[2022年全國高考真題]在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總人口的.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率（以樣本數據中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.18．答案：（1）47.9歲（2）0.89（3）0.0014解析：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為歲.（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率.（3）設事件A：此人患這種疾病，事件B：此人年齡位于區(qū)間，則由題意知，，所以若此人年齡位于，則此人患這種疾病的概率.19．[2021年全國高考真題]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列.（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.19．答案：（1）X的分布列見解析（2）小明應選擇先回答B(yǎng)類問題解析：（1）由題知，X的所有可能取值為0，20，100，則，，，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）小明應選擇先回答B(yǎng)類問題，理由如下：由（1）知，.若小明先回答B(yǎng)類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，則，，，所以，所以小明應選擇先回答B(yǎng)類問題.20．一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛(wèi)生習慣（衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：不夠良好良好病例組4060對照組1090（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.（?。┳C明：；（ⅱ）利用該調查數據，給出，的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828（1）答案：有解析：.因為，所以有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習慣有差異.（2）答案：（?。┳C明見解析（ⅱ）6解析：（ⅰ）.（ⅱ）由調查數據得，病例組中衛(wèi)生習慣不夠良好的頻率為，對照組中衛(wèi)生習慣不夠良好的頻率為，所以的估計值為0.4，的估計值為0.1.的估計值為0.6，的估計值為0.9，利用（?。┑慕Y果可得R的估計值為.20．[2023年全國高考真題]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率.（2）求第i次投籃的人是甲的概率.（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，則，記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求.20．答案：（1）0.6（2）（3）解析：（1）記“第2次投籃的人是乙”為事件A，“第1次投籃的人是甲”為事件B，則，所以.（2）設第i次投籃的人是甲的概率為，由題意可知，，，即，所以，又