浙江省寧波市2023-2024學年高二上學期期末考試 數(shù)學

高二數(shù)學學科試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘，本次考試不得使用計算器，請考生將所有題目都做在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在空間直角坐標系O-xyz中，點關于平面yOz對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據對稱即可求解.【解析】點關于平面yOz對稱的點的坐標為，故選：B2.雙曲線的一個焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據標準方程即可求解.【解析】雙曲線轉化為標準方程為，故，故焦點為和，故選：A3.已知曲線在點處的切線方程為，則（）A1 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】求導，根據即可求解，進而可求解.【解析】,則，又，所以，故，故選：D4.已知等差數(shù)列的前5項和，且，則公差（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據等差數(shù)列的性質即可求解.【解析】由可得，，故，所以，解得.故選：C5.過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設圓心為，點為點，切點為，先利用勾股定理求出切線長，再求出，再根據二倍角的余弦公式即可得解.【解析】因為，所以點在圓外，設圓心為，點為點，切點為，圓化為標準方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質可得，所以.故選：A.6.已知正四面體的棱長為2，是的中點，在上，且，則（）A. B. C.0 D.【答案】C【解析】【分析】先將分別用表示，再根據數(shù)量積得運算律即可得解.【解析】由正四面體，得，則，由是的中點，得，由，得，則，所以.故選：C.7.已知A，B是橢圓E：（）左右頂點，若橢圓E上存在點滿足，則橢圓E的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據斜率公式，即可得，進而根據離心率公式即可求解.【解析】設，則，,故，所以，故離心率為，又，故，故選：B8.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性，再根據函數(shù)的單調性逐一判斷即可.【解析】因為，所以，即，令，則，所以函數(shù)是增函數(shù)，對于A，由，得，故A錯誤；對于B，由，得，所以，故B錯誤；對于C，由，得，所以，故C錯誤；對于D，由，得，所以，故D正確.故選：D.【小結】關鍵點小結：構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調性是解決本題的關鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線的方程為，直線的方程為，（）A.則直線的斜率為 B.若，則C.若，則或 D.直線過定點【答案】CD【解析】【分析】根據時，直線的斜率不存在，即可判斷A；根據兩直線平行的充要條件計算即可判斷B；根據兩直線垂直的充要條件計算即可判斷C；令的系數(shù)等于零求出定點即可判斷D.【解析】對于A，當時，直線的斜率不存在，故A錯誤；對于B，若，則，解得或，經檢驗，兩個都符合題意，所以或，故B錯誤；對于C，若，則，解得或，故C正確；對于D，直線的方程化為，令，解得，所以直線過定點，故D正確.故選：CD.10.下列函數(shù)的導數(shù)計算正確的是（）A.若函數(shù)，則B.若函數(shù)（且），則C.若函數(shù)，則（e是自然對數(shù)的底數(shù)）D.若函數(shù)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據復合函數(shù)的求導法則，結合基本初等函數(shù)求導公式以及求導法則即可逐一求解.【解析】對于A，，所以，A錯誤，對于B，，故B正確，對于C，，C正確，對于D，，D正確，故選：BCD11.任取一個正數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復進行上述兩種運算，經過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1．這是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關系如下：已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），（）．若，記數(shù)列的前n項和為，則（）A.或16 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根據的奇偶性求出，再根據的奇偶性即可求出，即可判斷A；分類討論，求出數(shù)列的周期，進而可判斷BCD.【解析】因為，由“冰雹猜想”可得，①若為偶數(shù)，則，所以，當為偶數(shù)時，則，所以，即，當為奇數(shù)時，則，解得（舍去），②若為奇數(shù)，則，解得，當為偶數(shù)時，則，所以，即，當為奇數(shù)時，則，解得（舍去），綜上所述，或16，故A正確；當時，由，得，所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列，因為，所以，，當時，由，，所以數(shù)列從第三項起是以為周期的周期數(shù)列，因為，所以，，綜上所述，，或，故B正確，C錯誤；對于D，數(shù)列從第三項起是以3為周期的周期數(shù)列，所以，故D正確.故選：ABD.12.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．Q是線段上動點，是線段上動點，則（）A.當Q為線段中點時，PQ∥平面B.當Q為重心時，到平面的距離為定值C.當Q在線段上運動時，直線與平面所成角的最大角為D.過點P平行于平面的平面截直三棱柱的截面周長為【答案】BD【解析】【分析】建立直角坐標系，利用法向量與方向向量的關系即可求解A，根據線面角的向量法，結合不等式的性質即可判定C，根據線面平行即可求解B,根據面面平行即可求解長度判斷D.【解析】以為原點，以，，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，設，則,0,，,0,，,2,，,1,，,1,，,1,，所以，設平面的法向量為，則，令，可得，設，則，當Q為線段中點時，，則，故此時不平行平面，A錯誤，當Q為重心時，則所以，即，，此時，此時PQ∥平面，由于是線段上的點，故到平面的距離即為到平面的距離，故為定值，B正確，由于，設直線與平面所成角為，則，由于所以，所以，故C錯誤對于D，取的中點，連接,由于均為中點，所以,而平面，平面，而平面，平面，故平面，平面，平面，故平面平面，故過點P平行于平面的平面即為平面，故截面為三角形，由于,故截面周長為，D正確，故選：BD【小結】方法小結：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知圓C的方程為，則圓C的半徑為______.【答案】【解析】【分析】將一般式轉化為標準式即可求解半徑.【解析】由可得，所以半徑為，故答案為：14.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______.【答案】【解析】【分析】根據等比數(shù)列前n項和的性質計算即可.【解析】由題意可得成等比數(shù)列，由，，得，得，所以，則，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】直接求導得，再設新函數(shù)，首先討論的情況，當時，求出導函數(shù)的極值點，則由題轉化為，解出即可.【解析】，，令,函數(shù)有兩個極值點,則在區(qū)間上有兩個實數(shù)根.,當時,,則函數(shù)在區(qū)間單調遞增,因此在區(qū)間上不可能有兩個實數(shù)根,應舍去.當時,令,解得.令,解得,此時函數(shù)單調遞增;令,解得,此時函數(shù)單調遞減.當時,函數(shù)取得極大值.當趨近于0與趨近于時,,要使在區(qū)間上有兩個實數(shù)根,只需,解得.故答案為：.16.設為拋物線的焦點，直線l與拋物線交于兩點，且，則的面積最小值為______.【答案】【解析】【分析】設直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求出，由，得，求出的關系，進而可求出的范圍，再根據計算即可.【解析】由已知，設直線的方程為，聯(lián)立，消得，，則，由，得，即，所以，化簡得，所以，化簡得，解得或，則，則或，所以或，，所以當時，，所以面積最小值為.故答案為：.【小結】方法小結：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的最大值．【答案】（1）在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）【解析】【分析】（1）直接利用函數(shù)的導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間．（2）求導根據函數(shù)的單調性即可求解最值．【小問1解析】的定義域為，當時，，，當，解得：，當，解得：．在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；【小問2解析】的定義域為，，當時，令，得，令時，得，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．.18.已知圓內有一點，直線l過點M，與圓交于A，B兩點．（1）若直線l的傾斜角為120°，求；（2）若圓上恰有三個點到直線l的距離等于1，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由已知條件可得直線的方程，再結合點到直線的距離公式即可求出弦的長；（2）由已知條件可求出圓心到直線的距離，再分類討論，結合點到直線的距離公式可求出值，則直線的方程可求．【小問1解析】直線過點，且斜率為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，；【小問2解析】圓上恰有三點到直線的距離等于1，圓心到直線的距離為，當直線垂直于軸時，直線方程為，不合題意；當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，即，由，可得，解得或，故直線的方程為或．19.如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，分別是棱上的動點．（1）若分別為棱中點，求證：平面；（2）若，且三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求證即可；（2）先根據三棱錐體積求出，再利用向量法求解即可.【小問1解析】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，故，因為，所以，又平面，所以平面；【小問2解析】因為，解得或，又因為，所以，故，所以，設平面的法向量為，則有，可取，設平面的法向量為，則有，可取，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知數(shù)列的首項，且滿足（）．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，令，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據遞推公式證明為定值即可；（2）先利用錯位相減法求出數(shù)列的前項和，再分和兩種情況討論即可.【小問1解析】由，得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；【小問2解析】由（1）得，所以，所以，設數(shù)列的前項和為，則，，兩式相減得，所以，令，則，令，則，故當時，，當時，，所以當時，，當時，，綜上所述，.21.已知函數(shù)（）．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若對任意的時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若，求證：．（參考數(shù)據：，）【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）令，由題意可得函數(shù)在上單調遞增，在上恒成立，分離參數(shù)，進而可得出答案；（2）要證，即證，令，利用導數(shù)求出即可得證.【小問1解析】對任意的時，都有，即對任意的時，都有，令，則函數(shù)在上單調遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，因為當時，，所以，經檢驗符合題意，所以實數(shù)a的取值范圍為；【小問2解析】要證，即證，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，又，因為，所以，所以，所以，故存在，使得，即，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，因為，所以，所以，因為，所以，即，又因為，所以，所以若，．【小結】方法小結：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構造函數(shù)法：證明不等式（或）轉化為證明（或），進而構造輔助函數(shù)；（2）適當放縮構造法：一是根據已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結論；（3）構造“形似”函數(shù)，稍作變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數(shù).22.已知雙曲線的漸近線方程為，且點在上．（1）求的方程；（2）點在上，且為垂足．證明：存在點，使得為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設雙曲線的方程為，利用待定系數(shù)法求出即可得解；（2）分直線的斜率是否為零兩種情況討論，根據，可得，雙曲線方程可變形為，再由直線的方程可得，代入變形后的雙曲線方程，再利用韋達定理即可得出間的關系，進而可求出直線所過的定點，即可得出結論.小問1解析】設雙曲線的方程為，因為點在上，所以，解得，所以的方程為；【小問2解析】設，當直線的斜率為時，則，因為點在上，所以，則，由，得，即，，解得或（舍去），故直線的方程為，當直線的斜率不等于時，設直線的方程為，當?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為，此時直線的方程，直線的方程為，聯(lián)立，解得（舍去），聯(lián)立，解得（舍去），所以，則，所以直線的方程為，令，則，故直線過點，同理可得當?shù)男甭什淮嬖跁r，則的斜率為，此時直線的方程為，直線過