山西省運(yùn)城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題本試題滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.答案一律寫(xiě)在答題卡上.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2．答題時(shí)使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線(xiàn)框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.4．保持卡面清潔，不折疊，不破損.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率求傾斜角即可.【解析】直線(xiàn)方程可化為，則直線(xiàn)的斜率為，設(shè)傾斜角為，則，由，則，即傾斜角為.故選：C.2.各項(xiàng)為正的等比數(shù)列中，，則的前4項(xiàng)和（）A.40 B.121 C.27 D.81【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再根據(jù)前項(xiàng)和公式求值即可.【解析】設(shè)等比數(shù)列公比為,故選：A.3.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.【解析】點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，又，∵N為BC的中點(diǎn)，.故選：D.4.萬(wàn)眾矚目的北京冬奧會(huì)于2022年2月4日正式開(kāi)幕，是繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國(guó)家體育場(chǎng)（又名鳥(niǎo)巢）再次承辦奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式．在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥(niǎo)巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則小橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得到兩橢圓離心率相同，從而得到兩橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比例相同，由此得解.【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同，所以?xún)蓚€(gè)橢圓的離心率相同，所以?xún)蓹E圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比例相同，則，即，得，所以小橢圓的短軸長(zhǎng)為：．故選：C．5.已知函數(shù)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用參變分離得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的圖象，轉(zhuǎn)化函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，即可求解.【解析】，令，得，設(shè)，，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的最大值為，并且時(shí)，，時(shí)，，如圖，畫(huà)出函數(shù)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，即與只有一個(gè)交點(diǎn)，且，所以.故選：A6.已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 B.當(dāng)時(shí)，最大C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)，由，從而得，然后利用等差數(shù)列性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解.【解析】對(duì)A：設(shè)數(shù)列的公差為，由，得，又因?yàn)?，所以，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)椋?，，所以?dāng)時(shí)，有最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D.7.已知拋物線(xiàn)，圓：，過(guò)圓心作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)和圓交于四點(diǎn)，自上而下依次為，，，，若，，成等差數(shù)列，則直線(xiàn)的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得圓心C為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，求出弦AB長(zhǎng)，設(shè)出直線(xiàn)AB方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求解作答【解析】圓：的圓心，半徑，顯然點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)，則，而，由，，成等差數(shù)列得，，因此，即有，解得，設(shè)直線(xiàn)的方程為，顯然，由消去y得：，則有，解得，所以直線(xiàn)的斜率為.故選：B8.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)的定義及導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【解析】由，得.令，則，即為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞減.由，得，即.又為偶函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即，解得，或，所以a的取值范圍為.故選：C.【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用偶函數(shù)定義和導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的單調(diào)性，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性即可解決抽象不等式.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知兩圓方程為與，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩圓有3條公切線(xiàn)，則B.若兩圓公共弦所在的直線(xiàn)方程為，則C.若兩圓公共弦長(zhǎng)為，則D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，則【答案】ABD【解析】【分析】選項(xiàng)A，由兩圓有條公切線(xiàn)，則兩圓外切，由兩圓圓心距與半徑關(guān)系得；選項(xiàng)B，若兩圓相交，由兩圓方程作差得公共弦方程，先待定再驗(yàn)證相交可知；選項(xiàng)C，由半弦長(zhǎng)、半徑及圓心距關(guān)系可得；選項(xiàng)D，結(jié)合圖形，由，可得等量關(guān)系求解.【解析】設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑，設(shè)圓為圓，圓的圓心為，半徑，.A選項(xiàng)，若兩圓有3條公切線(xiàn)，則兩圓外切，所以，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，則，此時(shí)，滿(mǎn)足兩圓相交，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由兩式相減并化簡(jiǎn)得，到直線(xiàn)的距離為，所以，即，則解得或，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若兩圓在交點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，設(shè)交點(diǎn)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則下面結(jié)論正確的為（）A. B.的遞增區(qū)間為C.的極小值為1 D.的極大值為【答案】AD【解析】【分析】先由求出值，再利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值即可.【解析】由題可得，，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，則，解得，故，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故的遞增區(qū)間，遞減區(qū)間為，故A正確，B錯(cuò)誤；由上可知，的極大值為，極小值為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.11.若直線(xiàn)是曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的公切線(xiàn)，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.【解析】令，則，令，有，則，即有，即，故，令，則，令，有，則，即有，即，故有，即.

故選：BD.12.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，G為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)G，使得平面EFGC.G為中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)EG與所成角最小D.點(diǎn)F到直線(xiàn)EG距離的最小值為【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)等體積法可知，即可判斷A項(xiàng)；建系，假設(shè)存在點(diǎn)G﹐設(shè).根據(jù)向量的坐標(biāo)，由，解出的值，即可判斷B項(xiàng)；由已知推出，根據(jù)二次函數(shù)以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合的取值范圍，即可判斷C項(xiàng)；求出在方向上投影向量的長(zhǎng)度為，然后根據(jù)勾股定理表示出點(diǎn)F到直線(xiàn)EG的距離，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出最小值.【解析】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，在正方體中，平面平面，平面，由面面平行的性質(zhì)可得，平面，由點(diǎn)G在線(xiàn)段上，則到平面的距離，即點(diǎn)到平面的距離等于.因?yàn)椋?則是個(gè)定值，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)G﹐使得平面.設(shè).，，，，則.所以，，所以，滿(mǎn)足條件.此時(shí)有，，平面，平面，，所以，存在點(diǎn)G﹐使得平面，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)直線(xiàn)EG與所成角為.因?yàn)椋?所以，所以.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值，顯然有，則有最大值，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，在方向上投影向量的長(zhǎng)度為，由C知，當(dāng)時(shí)，有最小值，則有最大值為，又，所以點(diǎn)F到直線(xiàn)EG距離的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：由點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè).可以通過(guò)的坐標(biāo)，表示出與點(diǎn)有關(guān)的向量.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則公差__________．【答案】3【解析】【分析】直接由等差數(shù)列的求和公式求解即可.【解析】解：依題意，得，而，得，故答案為：314.已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求出平面的法向量，代入點(diǎn)到平面的距離公式即可.【解析】因?yàn)?，平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)P到平面的距離．故答案為：15.雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，．過(guò)作其中一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)P，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)，不妨令，過(guò)作，則，結(jié)合勾股定理、等腰直角三角形求，再由雙曲線(xiàn)定義求參數(shù)間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求離心率.【解析】如下圖，垂直一條漸近線(xiàn)，則，過(guò)作，故，又，∴，，又在△中，故，，由雙曲線(xiàn)定義知：，則，∴.故答案為：.16.若對(duì)任意的，且，都有成立，則m的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由已知條件化簡(jiǎn)得出在上單調(diào)遞增，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后應(yīng)用子集關(guān)系得出范圍即可.【解析】對(duì)任意的，且，可得，由，可得，即，即，即由且，可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由解得，所以是的子集，所以，即m的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，第17題分，其余每題各12分，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或者演算步驟.17.已知圓C的圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且被圓C截得的弦長(zhǎng)為的直線(xiàn)方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意，求得圓心和半徑，即可求得結(jié)果；（2）設(shè)直線(xiàn)方程為，利用弦長(zhǎng)公式，求解即可.【小問(wèn)1解析】設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C的圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，，解方程組得；所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2解析】設(shè)直線(xiàn)的方程為：，圓心到直線(xiàn)l的距離，所以，解得或，所以直線(xiàn)l的方程為或18.已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在定義域內(nèi)的極值；（2）若在內(nèi)存在增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）極大值為，無(wú)極小值；（2）.【解析】【分析】（1）求得，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)，即可判斷其單調(diào)性和極值；（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有解，參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可.【小問(wèn)1解析】設(shè)，其中，則，當(dāng)時(shí)，若，則，故在上為增函數(shù)；若，則，故在上為減函數(shù)；故有極大值，其極大值為，無(wú)極小值.【小問(wèn)2解析】因?yàn)樵趦?nèi)存在增區(qū)間，所以在有解，即在有解，所以今，則令得，令得，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，故.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：處理本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是將在內(nèi)存在增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為在有解，再參變分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.19.如圖，在三棱柱中，．（1）求證：平面；（2）若，直線(xiàn)AB與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）借助線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可證明；（2）結(jié)合題意建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可得.【小問(wèn)1解析】因?yàn)?，四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，所以，又因?yàn)?，、平面，，所以平面，又因平面，，且、平面，，所以平面；【小?wèn)2解析】因?yàn)锳B與平面所成角為，平面，所以，因?yàn)椋允钦切?，設(shè)，則，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)二面角的大小為(由圖可知為銳角)，因?yàn)椋云矫媾c平面的夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，其中．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意且，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得，由之間的關(guān)系得數(shù)列為等比數(shù)列，由此即可得解.（2）由等比數(shù)列求和公式、錯(cuò)位相減法結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可得解.【小問(wèn)1解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，又，所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2解析】由（1）知，，，則有，兩式相減得：，于是得，因?yàn)榍?，，?dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，所以的最小值為18，因此.21.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)點(diǎn)，在中，．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)P，Q為C上異于點(diǎn)A兩動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)AP，AQ的斜率分別為，若，求證：直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，求得，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的斜率關(guān)系，求得對(duì)應(yīng)參數(shù)的約束條件，即可求得直線(xiàn)恒過(guò)的頂點(diǎn).【小問(wèn)1解析】由題意知，由，，橢圓方程為；【小問(wèn)2解析】當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率不存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)PQ方程為（且）則解得，不符合題設(shè)；從而可設(shè)直線(xiàn)PQ的方程設(shè)為，，則有由，（舍）或，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，∴PQ直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：處理第二問(wèn)關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用韋達(dá)定理，合理轉(zhuǎn)化已知條件，從而求得參數(shù)之間的關(guān)系.22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）增區(qū)間是，減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再討論導(dǎo)函數(shù)小于0、大小0的x取值集合得解.（2）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分類(lèi)討論求解即得.【小問(wèn)1解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，又，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，則，因此在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．【小問(wèn)2解析】不等式化為，設(shè)，依題意，在上恒成立，而，求導(dǎo)得，令，，求導(dǎo)得，令，，顯然，則，即在上是增函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，于是在上單調(diào)遞增，所以恒成立，