數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：平面的基本性質(zhì)與推論

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1.2。1平面的基本性質(zhì)與推論5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1。若兩個不重合的平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)的個數(shù)是（）A.1個B。2個C.1個或無數(shù)個D。無數(shù)個且在同一條直線上解析:利用公理2可知如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，則它們就一定有一條交線,而線是由無數(shù)個點(diǎn)構(gòu)成的，所以這兩個平面有無數(shù)個在同一直線上的交點(diǎn).答案:D2.如圖1-2—1-1所示，請你用符號表示以下各敘述:圖1-2-1-1(1）點(diǎn)A、B在直線a上：______________；(2)直線a在平面α內(nèi)：______________，點(diǎn)C在平面α內(nèi)：______________；（3）點(diǎn)D不在平面α內(nèi)：______________；直線b不在平面α內(nèi)：______________。答案:（1）A∈a，B∈a（2）aαC∈α（3）Dαbα3。木匠師父只需要用三只腳就能將一張圓桌面平穩(wěn)的固定，為什么？解析：這是公理3的應(yīng)用：三點(diǎn)確定一個平面。答案：公理3的應(yīng)用.10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1.由四條平行直線最多可以確定（)A.兩個平面B。四個平面C。五個平面D。六個平面解析:本題從確定平面的條件來考慮即可，要使四條平行直線確定平面最多，只有當(dāng)這四條直線中任兩條所確定的平面互不相同時即為最多，從而得到結(jié)果。由確定平面的條件知，由四條平行直線最多可以確定六個平面，選D.答案：D2。正方體ABCD—A1B1C1D1中，P、Q、R分別是AB、AD、B1CA.三角形B.四邊形C。五邊形D.六邊形解析：如圖所示，延長PQ分別交CB、CD的延長線于M、N，連結(jié)MR,交BB1于E，交CC1的延長線于H，連結(jié)NH，分別交D1D、D1C1答案：D3.下列敘述：①一條直線上有一個點(diǎn)在平面α內(nèi),則這條直線上所有的點(diǎn)在這個平面內(nèi);②一條直線上有兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi),則這條直線在這個平面內(nèi)；③若線段AB平面α,則線段AB延長線上的任何一個點(diǎn)必在平面α內(nèi)；④一條射線上有兩點(diǎn)在同一個平面內(nèi)，則這條射線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).其中正確的有________________________。解析:①中的直線可能與平面相交;②③④根據(jù)公理1知正確.答案：②③④4。如圖1—2-1—2，在正方體ABCD—A1B1C1D1中,O是BD的中點(diǎn),對角線AC1與過A1、B、D的平面交于P點(diǎn)，求證：A1圖1—2-1-2證明：連結(jié)AC、A1C1∵O是BD的中點(diǎn),∴O是AC的中點(diǎn)，且O∈AC?！郞∈平面ACC1A1∵P∈AC1，∴P∈平面ACC1A1∴A1、P、O都在平面ACC1A1又∵A1、P、O都在平面A1BD內(nèi),∴A1、P、O都在平面ACC1A1與面A1BD的交線上,即A15。求證:兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).解：已知:四條直線a、b、c、d兩兩相交，且不過同一點(diǎn).求證:a、b、c、d共面。(1)若a、b、c、d四條直線中有三條共點(diǎn),不妨設(shè)a∩b∩c=A，a∩d=B，b∩d=C，c∩d=D,且相交直線a、d所確定的平面為α,如圖所示.∵A∈a,aα,∴A∈α.∵C∈d，dα，∴C∈α.∴ACα,即bα。同理，cα?！郺、b、c、d共面于α。（2）若a、b、c、d四直線無三條直線共點(diǎn),設(shè)a∩b=A，a∩c=B，b∩c=C,且相交直線a、b確定的平面為α，如圖所示.∵B∈a，aα，∴B∈α.同理C∈α.∴BCα，即cα。同理dα.∴a、b、c、d共面于α.綜合（1)(2)可知，a、b、c、d四線共面。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后）1。下列說法正確的是（)A.四邊形是平面圖形B.有三個公共點(diǎn)的兩個平面必重合C。兩兩相交的三條直線必在同一個平面內(nèi)D.三角形是平面圖形解析：空間四邊形不是平面圖形,故A說法不正確；若三個公共點(diǎn)在一條直線上，則兩個平面不一定重合，B也是錯誤的；C中兩兩相交的三條直線可能會經(jīng)過同一點(diǎn)，此時三條直線不一定在同一個平面內(nèi)，因此選D.答案:D2。與“直線l上兩點(diǎn)A、B在平面α內(nèi)”含義不同的是（）A.lαB.平面α過直線lC。直線l上只有這兩個點(diǎn)在α內(nèi)D。直線l上所有點(diǎn)都在α內(nèi)解析：據(jù)平面的基本性質(zhì)，一直線上有兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有點(diǎn)都在該面內(nèi).故A、B、D均與此等價，只有C不正確。答案:C3.下列四種敘述：①空間四點(diǎn)共面，則其中必有三點(diǎn)共線；②空間四點(diǎn)不共面,則其中任何三點(diǎn)不共線；③空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則此四點(diǎn)必共面；④空間四點(diǎn)中任何三點(diǎn)不共線,則此四點(diǎn)不共面。其中正確說法的序號是(）A。②③④B.②③C。①②③D。①③解析：四棱錐中每個面都有四個點(diǎn)，但這四個點(diǎn)中沒有三點(diǎn)是共線的，所以①錯；對于④，三點(diǎn)不共線但四點(diǎn)可以共面.答案:B4.下面判斷中正確的是()A.任意三點(diǎn)確定一個平面B.兩條垂直的直線確定一個平面C。一條直線和任一點(diǎn)確定一個平面D。與一條直線相交的三條平行直線共面答案：D5.三條直線兩兩平行，它們能確定____________個平面。解析：兩條平行直線一定能確定且僅確定一個平面，而與此平行的第三條直線情況怎樣不確定，故必須分情況討論。答案：1個或36。分別根據(jù)下列條件畫出相應(yīng)的圖形：（1）P∈α，Qα,P∈l，Q∈l；(2）α∩β=l,△ABC頂點(diǎn)A∈l，B∈α，Bl,C∈β，Cl。答案：符合條件的圖形如圖所示.7。圖1—2—1-3是一桌子放倒時的示意圖,現(xiàn)有足夠長的繩子，如何利用它簡便地判斷桌子的四條腿的底端是否在同一平面內(nèi)？方法畫在圖上，判斷的重要依據(jù)是什么？圖1-2-1—3解析：判斷四條腿的底端是否在同一平面內(nèi),即判斷四點(diǎn)是否共面，可依據(jù)確定平面的條件，且要具有可操作性.答案：操作方法：用兩根繩子沿四條腿的對角底端拉直，若繩子相交,則說明四點(diǎn)共面，否則不共面.原理是：兩相交直線確定一個平面.8.如圖1—2—1—4所示，已知A、B、C是平面α外不共線的三點(diǎn)，并且直線AB、BC、AC分別交α于P、Q、R三點(diǎn)。求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.圖1—2-1-4證明：∵AB∩α=P，AB面ABC,∴P∈面ABC，P∈α.∴P在平面ABC與平面α的交線上.同理可證:Q、R也在平面ABC與α的交線上.∴P、Q、R三點(diǎn)共線.9.如圖1—2—1-5,α∩β=l，梯形ABCD的兩底分別為AD、BC，且ABα,CDβ，求證：AB與CD的交點(diǎn)在l上.圖1-2-1-5證明：因?yàn)樘菪问瞧矫鎴D形，它的兩腰AB與CD不平行,故只能相交，假設(shè)交點(diǎn)為M，則M∈AB，又ABα,則M∈α，同理，M∈β,則M∈（α∩β），即M∈l。因此AB與CD的交點(diǎn)在l上。10。若兩條平行直線都