數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練:曲邊梯形的面積定積分_第1頁(yè)
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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精1.5定積分1。5.1曲邊梯形的面積1。5。2定積分5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前)1.在求由x=a,x=b(a<b),y=f(x)[f(x)≥0]及y=0圍成的曲邊梯形的面積S時(shí),在區(qū)間[a,b]上等間隔地插入n-1個(gè)分點(diǎn),分別過(guò)這些分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊形分成n個(gè)小曲邊形,下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是…()①n個(gè)小曲邊形的面積和等于S②n個(gè)小曲邊形的面積和小于S③n個(gè)小曲邊形的面積和大于S④n個(gè)小曲邊形的面積和與S之間的大小關(guān)系無(wú)法確定A。1B。2C.3答案:A解析:根據(jù)“化整為零”“積零為整”的思想,知①是正確的。2。函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[,]上,則()A。f(x)的值變化很小B.f(x)的值變化很大C.f(x)的值不變化D。當(dāng)n很大時(shí),f(x)的值變化很小答案:D解析:因?yàn)榉指畹迷郊?xì),越接近原函數(shù)值,所以當(dāng)n很大時(shí),f(x)的值變化很小.3。定積分的性質(zhì)(1)(x)dx=____________dx。(2)dx=(x)dx____________。(3)dx=dx+____________(a〈c〈b)。答案:(1)k·(2)±(x)dx(3)dx10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中)1。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點(diǎn)a=x0〈x1〈…<xi-1〈xi〈…〈xn=b,把區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上任取一點(diǎn)ξi(i=1,2,…,n),作和式In=Δx(其中Δx為小區(qū)間的長(zhǎng)度)那么In的大小()A。與f(x)和區(qū)間[a,b]有關(guān),與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和ξi的取法無(wú)關(guān)B.與f(x)、區(qū)間[a,b]和分點(diǎn)個(gè)數(shù)n有關(guān),與ξi的取法無(wú)關(guān)C。與f(x)、區(qū)間[a,b]和ξi的取法有關(guān),與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n無(wú)關(guān)D。與f(x)、區(qū)間[a,b]、分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n、ξi的取法都有關(guān)答案:D解析:根據(jù)定積分的定義可知n越大即分點(diǎn)越多,與f(x)的值越接近,與ξi的取法也有關(guān)。2.∫10dx等于()A。0B。1C.答案:B解析:=x,故=1。3.下列等式成立的是()A.=b-aB.=C.dx=2dxD.dx=答案:C解析:根據(jù)定積分的定義可知dx=2dx.4。當(dāng)n很大時(shí),函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間[,]上的值,可以用____________近似代替()A。f()B.f()C.f()D。f(0)答案:C5.定積分dx的大?。ǎ〢。與f(x)和積分區(qū)間[a,b]有關(guān),與ξi的取法無(wú)關(guān)B。與f(x)有關(guān),與區(qū)間[a,b]以及ξi的取法無(wú)關(guān)C。與f(x)以及ξi的取法有關(guān),與區(qū)間[a,b]無(wú)關(guān)D.與f(x)、區(qū)間[a,b]和ξi的取法都有關(guān)答案:A6.證明dx=dx+dx。證明:dx=====dx+dx.30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1.下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是()①dx=·②dx=·③dx=·A。0B。1C.2答案:C2.下列等式成立的個(gè)數(shù)是()①dx=(ξi)②dx=f(ξi)③dx=(ξi)A。0B.1C.2答案:B3。已知dx=6,則dx等于()A。6B。6(b-a)C。36D。不確定答案:C4.已知dx=56,則()A.dx=28B。dx=28C.dx=56D。dx+∫32f(x)dx=56答案:D5。計(jì)算x2dx.解:x2dx=dx=·==.6.求拋物線y=x2與直線x=0,x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積S。解:(1)分割在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:[0,],[,],…,[,1],記第i個(gè)區(qū)間為[,](i=1,2,…,n),其長(zhǎng)度為Δx==。分別過(guò)上述n-1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形,它們的面積記作:ΔS1,ΔS2,…,ΔSn.S=。(2)近似代替記f(x)=x2.當(dāng)n很大,即Δx很小時(shí),在區(qū)間[,]上,可以認(rèn)為f(x)=x2的值變化很小,近似地等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它近似地等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值f(),就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊。這樣,在區(qū)間[,]上,用小矩形的面積ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有ΔSi≈ΔSi′=f()Δx=()2·Δx=()2·(i=1,2,…,n)。①(3)求和由①,得Sn==()Δx=·=[0·+()2·+…+()2·]=[12+22+…+(n-1)2]==(1)(1).從而得到S的近似值S≈Sn=(1)(1).(4)取極限分別將區(qū)間[0,1]等分成8,16,20,…等份,可以看到,隨著n的不斷增大,即Δx越來(lái)越小時(shí),Sn=(1)·(1)越來(lái)越趨向于S,從而有S=Sn=f()=(1)(1)=.7.某物體做變速直線運(yùn)動(dòng),設(shè)該物體在時(shí)刻t的速度為v(t)=7—t2,試計(jì)算這個(gè)物體在0≤t≤1這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程s.解:s=()Δt==[7]=7=.8。利用定積分的定義,計(jì)算的值.解:(1)分割:在區(qū)間[

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