數(shù)學優(yōu)化訓練：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精§8同角三角函數(shù)的基本關(guān)系5分鐘訓練（預習類訓練，可用于課前)1.下列結(jié)論能成立的是（）A。sinα=且cosα=B。tanα=2且C.tanα=1且cosα=D。sinα=1且tanα·cosα=1解析:同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式中要注意理解“同角"的含義；關(guān)系式是指一個角的不同三角函數(shù)值之間的關(guān)系，這個角可以是任意角.答案:C2.（1）若tanα=-2且α為第二象限角，求sinα、cosα;(2）若tanα=—2，求sinα、cosα。解：(1）由題意和基本關(guān)系式可列下列方程組:由②得sinα=—2cosα,代入①式整理得5cos2α=1，cos2α=。又α為第二象限角，所以cosα=，sinα=.（2）由(1）可得cos2α=。又α可為第二、四象限角，所以當α為第二象限角時，cosα=，sinα=；當α為第四象限角時，cosα=，sinα=.3.已知x、y滿足求x、y之間的函數(shù)關(guān)系式.解:由①：x2=9sin2θ,∴sin2θ=.③由②：y2=9cos2θ，∴cos2θ=。④將③④代入sin2θ+cos2θ=1中,可得=1,∴x、y滿足x2+y2=9.10分鐘訓練(強化類訓練，可用于課中）1.已知sinθ=，θ為第二象限角，則tanθ等于（)A.B。C.D。解析：由sinθ=且θ為第二象限角，知cosθ=,∴tanθ=.答案:C2。若tanα=-1，則sinα+cosα的值是（）A。B。C。0D?！澜馕觯河蓆anα=-1，知α=kπ+（k∈Z）.不妨取α=，則sinα=sin=，cosα=cos=.∴sinα+cosα==0.故選C.答案：C3。若tan100°=k，則sin80°的值等于（)A。B.C。D。解析：∵100°=180°-80°，∴tan100°=tan（180°—80°）=—tan80°=k。∴tan80°=-k（k＜0）.又tan280°=，∴=k2，即sin280°=?！遦〈0,∴sin80°=.答案：C4。已知sin（π+α）=（α是第四象限的角)，則cos（α-2π)=_____________.解析：∵sin（π+α)=-sinα，∴sinα=.而cos（α—2π）=cos（2π—α)=cosα,據(jù)α屬于第四象限，且cos2α=1-sin2α，知cosα=.答案：5.已知sinα—cosα=，求sin3α-cos3α的值。解:將sinα—cosα=兩邊同時平方，得1-2sinαcosα=，即sinαcosα=.∴sin3α—cos3α=（sinα—cosα）（sin2α+cos2α+sinαcosα）=。6.已知tanα=-2，求下列各式的值:(1）；（2）sin2α+cos2α。解：∵tanα=-2，則cosα≠0。（1）=10；（2）.30分鐘訓練(鞏固類訓練，可用于課后）1.若cosα=tanα，則sinα的值是（）A。B。C。D.以上皆錯解析：由cosα=tanα，得cos2α=sinα.∴1-sin2α=sinα，即sin2α+sinα-1=0.解之，得sinα=。又cosα=tanα，∴α屬于第一或第二象限.∴sinα=.答案:A2.使成立的α的取值范圍是（）A。2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）B.2kπ—π≤α≤2kπ（k∈Z）C.2kπ+π＜α＜2kπ+3（k∈Z）D。只能是第三或第四象限解析：∵，若，則sinα＜0，∴角α的終邊落在x軸的下方區(qū)域，即2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）.答案：A3.已知=2，則sinθ·cosθ的值為（）A.B.±C。D。解析:已知等式兩邊平方得=4，從而sinθ·cosθ=。答案:C4.已知sinαcosα=且＜α＜，那么cosα—sinα的值是(）A.B.C.D?！澜馕?∵,∴sinα＞cosα?！郼osα-sinα＜0.又（cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1—2×，∴cosα-sinα=。答案：B5.已知tan(π+α）=（＜α＜2π)，則cos（+α)=_______________.解析:∵tan（π+α）=tanα=，而cos（+α）=-sinα，由tanα=，得tan2α=.∴，即sin2α=.注意到＜α＜2π，∴sinα＜0,即sinα=，從而cos（+α）=。答案：6.設tan(5π+α）=m（m≠0）,則=_________________。解析：tan（5π+α）=tanα=m，而所求函數(shù)式=。答案：7。設sinθ、cosθ是方程4x2-4mx+2m—1=0的兩根且＜θ＜2π，則實數(shù)m的值為_____________.解析:由題意可知sinθ+cosθ=m，sinθ·cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=m2.∴1+2sinθ·cosθ=m2。從而1+=m2，∴2m2-2m解之，得m=.又θ∈(，2π）,∴sinθ·cosθ＜0?！?m-1＜0，即m＜.∴m=.答案：8。當α∈（0，）時，化簡。解：原式==|sinα—cosα｜+｜sinα+cosα|,∵α∈(0,），0＜sinα＜cosα，∴原式=-（sinα—cosα）+sinα+cosα=2cosα。9.已知sin（π—α）-cos（π+α)=（＜α＜π）,求sinα—cosα的值.解:由已知,得sinα+cosα=,平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=。又＜α＜π,∴sinα—cosα=.10.已知θ∈[0，2π）,而sinθ、