2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)中的新定義問題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

專題22.11二次函數(shù)中的新定義問題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)

生對(duì)新定義函數(shù)的理解！

（a（a<h）r

1.（2021?雅安）定義：加〃{a"}=h（a〉b）'若函數(shù)y=而”{x+l'7+2X+3},則該函數(shù)的最大值為（）

A.0B.2C.3D.4

2.（2021?章丘區(qū)模擬）定義：對(duì)于二次函數(shù)y=G?+（8+1）x+b-2（qWO）,若存在自變量xo,使得函

數(shù)值等于刈成立，則稱xo為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)6,該函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為（）

A.0<a<2B.0<aW2C.-2<a<0D.-2Wa<0

3.（2021?岳陽(yáng)）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”.如

圖，在正方形OA8C中，點(diǎn)A（0,2），點(diǎn)C（2,0）,則互異二次函數(shù)>=（x-m）2-機(jī)與正方形OA8C

有交點(diǎn)時(shí)初的最大值和最小值分別是（）

5-V175+V17

A.4,-1B.---------,-1C.4,0D.---------,-1

22

4.（2020?寧鄉(xiāng)市一模）定義［a,b,c］為函數(shù)yuad+foc+c的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為阿-1,s+1,

2ml的函數(shù)的一些結(jié)論，其中不正確的是（）

A.當(dāng)機(jī)=2時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-怖，-多

B.當(dāng)機(jī)>1時(shí)，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長(zhǎng)大于3

C.當(dāng)初<0時(shí)，函數(shù)在時(shí)，y隨X的增大而增大

D.不論初取何值，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)

5.（2020?市中區(qū)二模）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在常數(shù)M,對(duì)于任意的函數(shù)值》都滿足yW

M,那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù)；在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的上確界.例如，

函數(shù)y=-（x+1）2+2,yW2,因此是有上界函數(shù)，其上確界是2,如果函數(shù)y=-2尤+1〃，m<

n）的上確界是％且這個(gè)函數(shù)的最小值不超過(guò)2優(yōu)，則根的取值范圍是（）

11111

A.m<B.m<5C.-<m<—D.m<

33322

6.（2020秋?思明區(qū)校級(jí)期末）對(duì)于一個(gè)函數(shù)：當(dāng)自變量x取。時(shí)，其函數(shù)值y也等于。，我們稱。為這個(gè)

函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，若二次函數(shù)y=/+2x+c（c為常數(shù)）有兩個(gè)不相等且都小于1的不動(dòng)點(diǎn)，則。的取值范

圍是（）

11

A.c<-3B.c>-4C.-3<c<-2D.-2<c<4

44

7.（2020秋?亳州月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)一點(diǎn)尸分別作坐標(biāo)軸的垂線，這兩條垂線與坐標(biāo)

軸圍成一個(gè)矩形，若矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則點(diǎn)尸叫作和諧點(diǎn)，所圍成的矩形叫作和諧矩形.已

知點(diǎn)P是拋物線〉=/+左上的和諧點(diǎn)，所圍成的和諧矩形的面積為16,則左的值可以是（）

A.16B.4C.-12D.-18

8.（2021?河南模擬）新定義：［a,b,c］為二次函數(shù)>=辦2+公+0（aWO,a,b,c為實(shí)數(shù)）的“圖象數(shù)”，

如：y=/-2x+3的“圖象數(shù)”為［1,-2,3］,若“圖象數(shù)”是2m+4,2M2+4］的二次函數(shù)的圖象與x

軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則機(jī)的值為（）

1

A.-2B.-C.-2或2D.2

4

9.（2021春?江岸區(qū)校級(jí)月考）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)A

叫做“整點(diǎn)”.如：B（3,0）、C（-1,3）都是“整點(diǎn)”.拋物線尸辦2-2ax+a+2（fl<0）與x軸

交于點(diǎn)N兩點(diǎn)，若該拋物線在M、N之間的部分與線段所圍的區(qū)域（包括邊界）恰有5個(gè)整點(diǎn)，

則a的取值范圍是（）

A.-lWa<0B.-2^a<-1C.-D.-2Wa<0

10.（2021?深圳模擬）我們定義一種新函數(shù)：形如y=|研^法+日（°#0,b2-4ac>0）的函數(shù)叫做“鵲橋”

函數(shù).小麗同學(xué)畫出了“鵲橋”函數(shù)y=|/-2x-3］的圖象（如圖所示），并寫出下列五個(gè)結(jié)論：其中正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（-1,0）,（3,0）和（0,3）；

②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x=l；

③當(dāng)-IWXWI或x23時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大；

④當(dāng)x=-l或x=3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；

⑤當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)的最大值是4,

A.4B.3C.2D.1

如必以

11.（2021?東安縣模擬）“愛心是人間真情所在“！現(xiàn)用―”定義一種運(yùn)算，對(duì)任意實(shí)數(shù)相、”和拋物

線丫="2,當(dāng)>=辦2"Cm,n）后都可得到y(tǒng)=a（x-m）2+n.當(dāng)Gn,n）后得到了新函數(shù)的

圖象（如圖所示），則川”=.

（ab（a>3b）

12.（2021?天寧區(qū)校級(jí)模擬）若定義一種新運(yùn)算：。頜='入”例如：4⑥1=4X1=4；5X4

[2a—b—2（a<3b）

=10-4-2=4.則函數(shù)y=（-x+3）0（x+1）的最大值是.

13.（2020春?江岸區(qū)校級(jí)月考）定義符號(hào)加H{Q,b}為:當(dāng)。三6時(shí)，min{a,b}=b；當(dāng)時(shí)，min{a,

b}=a.例如：min{\,3}=1,min{-2,l}=-2.若關(guān)于l的函數(shù)y=加幾{-/十以，丘-2Z+2}的最大

值為3,貝lj%=.

14.（2021?武漢模擬）定義x軸上橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫“整點(diǎn)”，例如（1,0）、（-3,0）都是“整點(diǎn)”.已

知拋物線y=2/-3"+/與無(wú)軸交于4、2兩點(diǎn)，且拋物線對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)，若線段AB上有2個(gè)“整

點(diǎn)”（不包含A、B兩點(diǎn)），則。的取值或取值范圍是.

15.（2021秋?康巴什期中）如下圖，正方形ABC。的邊A8在x軸上，A（-4,0）,B（-2,0）,定義:

若某個(gè)拋物線上存在一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則稱這個(gè)拋物線為正方形

ABCD的''友好拋物線”.若拋物線y=2_?-nx-n2-1是正方形ABCD的“友好拋物線”，則n的值

為.

小

AB、

DC

16.（2021?邢江區(qū)二模）定義:在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（尤，y）,當(dāng)x<0

時(shí)，點(diǎn)尸的變換點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-尤，y）；當(dāng)xNO時(shí)，點(diǎn)尸的變換點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-?%）.

拋物線y=（尤-2）2+〃與天軸交于點(diǎn)c,D（點(diǎn)C在點(diǎn)。的左側(cè)），頂點(diǎn)為E,點(diǎn)尸在該拋物線上.若

點(diǎn)P的變換點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且四邊形ECP'D是菱形，則滿足該條件所有n值的和為.

17.（2021?吳興區(qū)校級(jí)三模）定義：如果二次函數(shù)y=tz?+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,0）,那么稱此二次

函數(shù)圖象為“線性曲線”.例如：二次函數(shù)y=2f-5尤-7和y=-7+3x+4的圖象都是“線性曲線”.若

“線性曲線"y=/-nvc+1-2k與坐標(biāo)軸只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則k的值_________________.

18.（2021?慶云縣二模）在直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)尸（x,y'）和。（尤，y'）,給出如下定義：若y'

=/二、，則稱點(diǎn)。為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”?請(qǐng)問：若點(diǎn)尸在函數(shù)y=-$+16（-544）的圖

（->（久<0）

象上，其“可控變點(diǎn)”。的縱坐標(biāo)<的取值范圍是-16Wy/W16,則實(shí)數(shù)a的值是.

19.（2021秋?武漢月考）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線Ci：y=/繞點(diǎn)（1,0）旋轉(zhuǎn)180°后，得到拋

物線C2,定義拋物線C1和C2上位于-2WxW2范圍內(nèi)的部分為圖象C3.若一次函數(shù)y=fcv+k-1（%>0）

的圖象與圖象C3有兩個(gè)交點(diǎn)，則上的范圍是：.

20.（2021?九江二模）定義：若拋物線的頂點(diǎn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物

線被稱為：“直角拋物線”.如圖，直線/：丫=3+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)加（0,1）,一組拋物線的頂點(diǎn)81（1,以），

B2(2,”),B3(3,*),-Bn(小加)("為正整數(shù))，依次是直線/上的點(diǎn)，第一個(gè)拋物線與X

軸正半軸的交點(diǎn)4(xi,0)和A2(xi,0),第二個(gè)拋物線與x軸交點(diǎn)A2(尤2,0)和小(X3,0),以

此類推，若無(wú)1=1,當(dāng)d為時(shí)，這組拋物線中存在直角拋物線.

21.(2020秋?海淀區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)yi=2fcr+k與函數(shù)y2=f-2x+3,定義新函數(shù)y=y2-yi.

(1)若k=2,則新函數(shù)y=；

(2)若新函數(shù)y的解析式為y=/+bx-2,貝U左=,b=；

(3)設(shè)新函數(shù)y頂點(diǎn)為(.m,n).

①當(dāng)上為何值時(shí)，〃有大值，并求出最大值；

②求”與相的函數(shù)解析式.

22.(2021?雨花區(qū)一模)定義：對(duì)于給定函數(shù)y=o?+法+c(其中a,b,c為常數(shù)，且aWO),則稱函數(shù)

y=+bx+c,(xN°)為函數(shù)>=如2+區(qū)+。(其中a,6,0為常數(shù)，且。#0)的“相依函數(shù)”，此

lax2—bx—c,(%VO)

“相依函數(shù)”的圖象記為G.

(1)已知函數(shù)y=-/+2x-1.

①寫出這個(gè)函數(shù)的“相依函數(shù)”;

②當(dāng)-IWxWl時(shí)，此相依函數(shù)的最大值為；

(2)若直線>=機(jī)與函數(shù)y=-x?+2尤-1的相依函數(shù)的圖象G恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，求出機(jī)的取值范圍；

(3)設(shè)函數(shù)y=-亍/+71%+1(?>0)的相依函數(shù)的圖象G在-4WxW2上的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yo,

3

當(dāng)5W幾W9時(shí)，求出n的取值范圍.

23.(2021春?東湖區(qū)校級(jí)月考)在直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，定義點(diǎn)C(a,b)為拋物線y=o?+bxQW0)的

特征點(diǎn)坐標(biāo).

(1)已知拋物線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,-2)、2(-4,0),則它的特征點(diǎn)坐標(biāo)是；

(2)若拋物線Li：丫二加+法的位置如圖所示：

①拋物線Li：y=ax1+bx關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱的拋物線Li的解析式為；

②若拋物線Lx的特征點(diǎn)C在拋物線￡2的對(duì)稱軸上，試求。、b之間的關(guān)系式；

③在②的條件下，已知拋物線心、心與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M、N,當(dāng)點(diǎn)C、M、N為頂點(diǎn)構(gòu)成的三

角形是等腰三角形時(shí)，求“的值.

24.(2021?蘇州二模)定義：如果二次函數(shù)y=m/+6ix+ci(mWO,ai,b\,ci是常數(shù))y=av?+b2x+c2

(CZ2W0,<22,bi,C2是常數(shù))滿足。1+。2=0,bl=b2,Cl+C2=0,則這兩個(gè)函數(shù)互為"N"函數(shù).

(1)寫出y=-/+X-I的“N”函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若題(1)中的兩個(gè)“N”函數(shù)與正比例函數(shù)y=fcc(左。0)的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，求上的值；

(3)如圖，二次函數(shù)"與”互為“N”函數(shù)，48分別是“N”函數(shù)yi與”圖象的頂點(diǎn)，C是“N”

函數(shù)”與y軸正半軸的交點(diǎn)，連接A3、AC.BC,若點(diǎn)A(-2,1)且△ABC為直角三角形，求點(diǎn)C的

坐標(biāo).

備用圖

25.（2021?長(zhǎng)沙模擬）定義：若函數(shù)y=x2+bx+c（cNO）與無(wú)軸的交點(diǎn)A,8的橫坐標(biāo)為XA,XB,與y軸

的交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yc,若X4,XB中至少存在一個(gè)值，滿足xA=yc（或xB=yc）,則稱該函數(shù)為“M

函數(shù)”.如圖，函數(shù)y=f+2x-3與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-3,與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為-3,

滿足X4=yc,則稱y=/+2x-3為"M函數(shù)".

（1）判斷y=/-4x+3是否為函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）請(qǐng)?zhí)骄亢瘮?shù)"y=x1+bx+c（cWO）表達(dá)式中的6與c之間的關(guān)系；

（3）若y=/+bx+c是函數(shù)"，且/AC8為銳角，求c的取值范圍.

26.（2020秋?任城區(qū)期末）閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問題：

小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：

定義：如果二次函數(shù)尤+c[aitbi,ci是常數(shù)）y=avc1+b2x+c2（。2#0,ai,bi,ci

是常數(shù)）滿足。1+及=0,bi—bi,ci+c2=0,則這兩個(gè)函數(shù)為"旋轉(zhuǎn)函數(shù)".求函數(shù)y=2，-3x+l的旋

轉(zhuǎn)函數(shù).小明是這樣思考的，由函數(shù)y=2f-3x+l可知，ai=2,勿=-3,ci=l,根據(jù)。1+。2=0,bi=

b2,Cl+C2=0,求出42,bl,C2就能確定這個(gè)函數(shù)的旋轉(zhuǎn)函數(shù).

請(qǐng)思考小明的方法解決下面問題：

(1)寫出函數(shù)y=7-4x+3的旋轉(zhuǎn)函數(shù)；

(2)若函數(shù)y=57+Cm-1)x+n與y=-5/-nx-3互為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，求Gn+n)2021的值.

(3)已知函數(shù)y=2(x-l)(x+3)的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A,B,C關(guān)于

原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是Al,Bi,Ci,試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ai,Bi,Ci的二次函數(shù)與y=2(尤-1)(x+3)互為

“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.

27.(2021?北侖區(qū)一模)定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開口方向相同的拋物線所圍成的封閉

曲線稱為“月牙線”.如圖，拋物線C1與拋物線C2組成一個(gè)開口向上的“月牙線”，拋物線Q與拋物

線C2與x軸有相同的交點(diǎn)M,N(點(diǎn)〃在點(diǎn)N的左側(cè))，與y軸的交點(diǎn)分別為A,8且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,

-3),拋物線C2的解析式為y=/nx2+4?u-12",(m>0).

(1)請(qǐng)你根據(jù)“月牙線”的定義，設(shè)計(jì)一個(gè)開口向下的“月牙線”，直接寫出兩條拋物線的解析式；

(2)求N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)在第三象限內(nèi)的拋物線Ci上是否存在一點(diǎn)P,使得的面積最大？若存在，求出的面

積的最大值；若不存在，說(shuō)明理由.

28.(2021?開福區(qū)模擬)定義：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x<0時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值互為相反數(shù)；當(dāng)x20時(shí)，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，我們稱這樣的兩個(gè)函數(shù)互為相關(guān)函數(shù).例如：一

次函數(shù)y=x-1,它們的相關(guān)函數(shù)為y=

(1)已知點(diǎn)A(-5,8)在一次函數(shù)y=公-3的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求a的值；

(2)已知二次函數(shù)y=-W+Ax-*.

3

①當(dāng)點(diǎn)3",-）在這個(gè)函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上時(shí)，求機(jī)的