初中數(shù)學同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題06三角形有關線段計算的五種類型含答案及解析

專題06三角形有關線段計算的五種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、根據(jù)三邊關系求第三邊或取值范圍 2類型二、等腰三角形相關問題 3類型三、利用三邊關系化簡求值 3類型四、利用高求線段的長 4類型五、利用中線求周長或面積 5壓軸能力測評 61.三角形的三邊關系三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。2.三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段。注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點（注：這點叫重心：當我們用一條線穿過重心的時候，三角形不會亂晃；③中線把三角形分成兩個面積相等的三角形；3.三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段。注意：①三角形的角平分線十線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點：（注：這一點是三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等)；③用量角器畫三角形的角平分線；4.三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。注意：①三角形的高是線段：②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在三角形外：（三角形三條高所在直線交于一點，這點叫垂心）；③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）。類型一、根據(jù)三邊關系求第三邊或取值范圍三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。例．下列三條線段，能組成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【變式訓練1】．若長度分別為，，的三條線段能組成一個三角形，則的值可以是（

）．A． B． C． D．【變式訓練2】．在中，，若其周長為，則邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式訓練3】．一個三角形的兩邊長為12和7，第三邊長為整數(shù)，則第三邊長的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8類型二、等腰三角形相關問題利用等腰三角形求線段的長或周長時，切記分析已知數(shù)據(jù)為底邊還是腰長進行分析，然后利用三邊關系進行取舍。例．等腰三角形周長為17，其中兩條邊長分別為x和，則這個等腰三角形的腰長為（

）A．4或7 B．4 C．6 D．7【變式訓練1】．等腰三角形中，兩條邊的長分別是，，則三角形的周長是（

）A． B． C．或 D．和【變式訓練2】．已知等腰三角形ABC的兩邊滿足，則此三角形的周長為(

)A．12 B．15 C．12或15 D．不能確定【變式訓練3】．等腰三角形△ABC的周長為18，且BC=8,則此等腰三角形必有一邊長為（

）A．7 B．2或5 C．5 D．2或7類型三、利用三邊關系化簡求值結(jié)合三邊關系和絕對值的性質(zhì)綜合考察，注意符號問題。例．已知a、b、c為三角形的三邊，則化簡后的值為（

）A． B． C． D．【變式訓練1】．已知是的三條邊，化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．0【變式訓練2】．已知的三邊長為，，，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．以上都不對【變式訓練3】．已知a，b、c是的三條邊長，化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．0類型四、利用高求線段的長一般采用等積法較多。例．如圖，在中，分別是邊上的中線和高，若，，則線段的長為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【變式訓練1】．如圖，在中，是邊上的中線，是邊上的高，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．【變式訓練2】．如圖，在中，D是AB的中點，E是上的一點，且，CD與相交于點，若的面積為，則的面積為（）A．32 B．36 C．40 D．44【變式訓練3】．如圖，在中，，，，，邊上的高長是（

）A． B． C． D．類型五、利用中線求周長或面積利用中線的兩個大性質(zhì)：等分三角形的面積；把三角形分的兩個小三角形的周長的差等于邊長的差。例．在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【變式訓練1】．如圖，是的中線，，若的周長比的周長大3，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式訓練2】．如圖，在中，D，E分別是的中點，點F在上，且，若，則（

）A．3 B．6 C．8 D．12【變式訓練3】．如圖，已知、分別為的邊、的中點，線段為的中線，連接，若四邊形的面積為，且，則中邊上高的長為（）A． B． C． D．1．若三角形的兩邊長分別是3和4，則這個三角形的周長可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．142．用長度均為奇數(shù)的三根木棒搭一個三角形，其中兩根木棒的長度分別為和，則第三根木棒的長度可能是（

）A． B． C． D．3．已知的面積為24，是邊上的高，若，，則的長為（）A．1 B．1或11 C．7 D．7或174．如圖，，分別為的中線和高線，的面積為5，，則的長為（）A．5 B．3 C．4 D．65．已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成和兩部分，則等腰三角形的腰長為（

）A．或 B． C． D．或6．如圖，中，，，點是邊上的中點，連接，若的周長為20，則的周長是（

）

A．16 B．18 C．20 D．227．如圖，在中，是邊上任意一點，分別是的中點，，則的值為（

）A． B． C． D．8．如圖，中，，點D為中點，選接、，取的中點F，連接，若的面積是1，則的面積是（

）A．2 B．4 C．6 D．89．如圖，在中，，點為上一點，過點作于點．(1)當BD平分，且時，求的度數(shù)；(2)當點是中點，，且的面積為，求的長．10．如圖，是的中線，是的中線．(1)在中作邊上的高；(2)若的面積為，，求的長．

專題06三角形有關線段計算的五種類型目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、根據(jù)三邊關系求第三邊或取值范圍 2類型二、等腰三角形相關問題 4類型三、利用三邊關系化簡求值 6類型四、利用高求線段的長 7類型五、利用中線求周長或面積 10壓軸能力測評 131.三角形的三邊關系三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。2.三角形的中線三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段。注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點（注：這點叫重心：當我們用一條線穿過重心的時候，三角形不會亂晃；③中線把三角形分成兩個面積相等的三角形；3.三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段。注意：①三角形的角平分線十線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點：（注：這一點是三角形的內(nèi)心。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等)；③用量角器畫三角形的角平分線；4.三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。注意：①三角形的高是線段：②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在三角形外：（三角形三條高所在直線交于一點，這點叫垂心）；③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）。類型一、根據(jù)三邊關系求第三邊或取值范圍三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。例．下列三條線段，能組成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】本題考查了對三角形的三邊關系的應用，若能構(gòu)成三角形則需滿足兩邊之和大于第三邊，解題的關鍵是若是最大邊，只要滿足兩最小邊即可．根據(jù)三角形的三邊關系定理：如果、、是三角形的三邊，且同時滿足，，，則以、、為邊能組成三角形，一般情況下只比較兩較短邊的和與最長邊，根據(jù)判斷即可．【詳解】解：A、，，，能組成三角形，選項正確；B、，，，不能組成三角形，選項錯誤；C、，，，不能組成三角形，選項錯誤；D、，，，不能組成三角形，選項錯誤；故選：A【變式訓練1】．若長度分別為，，的三條線段能組成一個三角形，則的值可以是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據(jù)三角形三邊關系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解，掌握三角形三邊關系定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵三角形的三邊長分別為，，，∴，解得：，∴選項中符合題意，故選：．【變式訓練2】．在中，，若其周長為，則邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形的三邊關系、等腰三角形的性質(zhì)；設，由三角形的三邊關系定理得出，再由邊長為正數(shù)得出，即可得出結(jié)果．掌握三角形的三邊關系定理是解題的關鍵．【詳解】解：設，∵在中，，若其周長為，∴，∵，即，解得：，又∵，解得：，∴，即．故選：B．【變式訓練3】．一個三角形的兩邊長為12和7，第三邊長為整數(shù)，則第三邊長的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】此題考查了三角形的三邊關系．根據(jù)三角形的三邊關系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得第三邊長的最大值．【詳解】設第三邊為，根據(jù)三角形的三邊關系，得：，即，∵為整數(shù)，∴的最小值為6．故選：B．類型二、等腰三角形相關問題利用等腰三角形求線段的長或周長時，切記分析已知數(shù)據(jù)為底邊還是腰長進行分析，然后利用三邊關系進行取舍。例．等腰三角形周長為17，其中兩條邊長分別為x和，則這個等腰三角形的腰長為（

）A．4或7 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】本題考查了三角形的三條邊的關系和一元一次方程的應用的問題．根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可得判斷出底邊是x，腰長是，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：若x是腰，則底邊長是，應該滿足兩腰之和大于底，但是，所以只能x是底邊，則腰長是，由題意得，解得，，故答案為：D．【變式訓練1】．等腰三角形中，兩條邊的長分別是，，則三角形的周長是（

）A． B． C．或 D．和【答案】B【分析】分3是腰長與底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：①3是腰長時，三角形的三邊分別為7、3、3，3+3=6＜7，不能組成三角形；②3是底邊長時，三角形的三邊分別為7、7、3，能組成三角形，周長=7+7+3=17，綜上所述，這個等腰三角形的周長是17，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論并利用三角形的三邊關系判斷是否能組成三角形．【變式訓練2】．已知等腰三角形ABC的兩邊滿足，則此三角形的周長為(

)A．12 B．15 C．12或15 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)非負數(shù)的非負性可求出AB和BC的值，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三邊關系分情況討論求解.【詳解】因為,所以AB=3,BC=6,因為AB和BC是等腰三角形ABC的兩邊，所以當AB=3是腰,BC=6是底邊，則三角形三邊分別為3,3,6，由三邊關系可得,3,3,6不能構(gòu)成三角形;所以當AB=3是底邊,BC=6是腰，則三角形三邊分別為6,6,3，由三邊關系可得6,6,3能構(gòu)成三角形,所以三角形周長是15.故選B.【點睛】本題主要考查非負數(shù)的非負性和三角形三邊關系，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關鍵是要熟練掌握三邊關系和等腰三角形的性質(zhì).【變式訓練3】．等腰三角形△ABC的周長為18，且BC=8,則此等腰三角形必有一邊長為（

）A．7 B．2或5 C．5 D．2或7【答案】B【分析】分BC是等腰三角形的底和腰兩種情況進行討論，然后再驗證能否組成三角形即可．【詳解】解：當BC是等腰三角形的底時，另兩邊的長均為×(18-8)=5（cm），5+5＞8，能組成三角形；當BC是等腰三角形的腰時，另一腰也是8cm，則底邊長為18-8-8=2（cm），2+8＞8，能組成三角形，所以此三角形有一邊的長為2cm或5cm，故選B．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關系，也考查了分類討論思想的應用，注意分情況求出結(jié)果后一定要利用三角形的三邊關系定理驗證能否組成三角形．類型三、利用三邊關系化簡求值結(jié)合三邊關系和絕對值的性質(zhì)綜合考察，注意符號問題。例．已知a、b、c為三角形的三邊，則化簡后的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形三邊的關系得到，，由此化簡絕對值再合并同類項即可得到答案．【詳解】解：，，是三角形的三條邊，，，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關系，化簡絕對值和合并同類項，熟知三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．【變式訓練1】．已知是的三條邊，化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根據(jù)三角形三邊關系得到，，再去絕對值，合并同類項即可求解．三角形三邊關系是任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊．【詳解】解：∵a，b，c是的三條邊長，∴，，∴．故選：B．【點睛】此題主要考查了三角形三邊關系，解題的關鍵是熟練掌握三邊關系化簡絕對值．【變式訓練2】．已知的三邊長為，，，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．以上都不對【答案】C【分析】根據(jù)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”判斷式子的正負性，再去絕對值，化簡即可得到答案．【詳解】的三邊長為，，，，即，根據(jù)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，得，，原式，，．故選：C．【點睛】本題主要考查三角形的三邊關系，絕對值．掌握去絕對值的方法是解題的關鍵．【變式訓練3】．已知a，b、c是的三條邊長，化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根據(jù)三角形三邊關系得到，，再去絕對值，合并同類項即可求解．【詳解】解：∵a，b，c是的三條邊長，∴，∴．故選：D．【點睛】此題考查了三角形三邊關系，解題的關鍵是根據(jù)三邊關系化簡絕對值．類型四、利用高求線段的長一般采用等積法較多。例．如圖，在中，分別是邊上的中線和高，若，，則線段的長為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】本題考查了三角形的面積，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據(jù)三角形的一條中線把三角形分成面積相等的兩個三角形可得，然后利用三角形的面積公式進行計算，即可解答．【詳解】解：是邊上的中線，∴，，，，解得：，故選：B．【變式訓練1】．如圖，在中，是邊上的中線，是邊上的高，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中線分得的兩個三角形的面積相等，就可求得，再由面積公式即可求出的長度，解題的關鍵是熟練掌握三角形中線的性質(zhì)及其應用．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，∵是邊上的高，∴，∵，∴，故選：．【變式訓練2】．如圖，在中，D是AB的中點，E是上的一點，且，CD與相交于點，若的面積為，則的面積為（）A．32 B．36 C．40 D．44【答案】C【分析】本題考查三角形的面積、三角形中線的性質(zhì)、等高模型等知識，連接，利用等高模型求出，的面積，再證明的面積=的面積，求出，的面積即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∴，∵D是AB的中點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選C．【變式訓練3】．如圖，在中，，，，，邊上的高長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三角形的面積，靈活運用等面積法是關鍵；由三角形等面積法直接求斜邊上的高．【詳解】，，故選：D類型五、利用中線求周長或面積利用中線的兩個大性質(zhì)：等分三角形的面積；把三角形分的兩個小三角形的周長的差等于邊長的差。例．在，，，是邊上的中線，若的周長為45，的周長是（

）A．47 B．43 C．38 D．25【答案】B【分析】本題主要考查三角形的中線以及三角形的周長，掌握三角形的中線的定義是解題的關鍵．根據(jù)的周長為45，可得，再結(jié)合三角形中線的定義，即可求解．【詳解】解：的周長為45，，是邊上的中線，，，，，的周長是．故選：B．【變式訓練1】．如圖，是的中線，，若的周長比的周長大3，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本題主要考查了三角形中線的知識，理解三角形中線的定義是解題關鍵．根據(jù)三角形中線的定義可得，結(jié)合題意可得，進而獲得答案．【詳解】解：∵是的邊上的中線，∴，∵的周長比的周長大3，∴，∴，∵，∴．故選：C．【變式訓練2】．如圖，在中，D，E分別是的中點，點F在上，且，若，則（

）A．3 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】本題考查了三角形的面積，解題主要利用了三角形中線把三角形分成兩個面積相等的三角形，理論依據(jù)是等底等高的三角形的面積相等，需熟記．根據(jù)，，，求得，根據(jù)三角形中線把三角形分成兩個面積相等的三角形可得，從而求出，再根據(jù)計算即可得解．【詳解】解：∵，，∴，∵D是的中點，∴，∵E是的中點，D是的中點，∴，∴，∴的面積為，故選：D．【變式訓練3】．如圖，已知、分別為的邊、的中點，線段為的中線，連接，若四邊形的面積為，且，則中邊上高的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形的面積，三角形的中線，熟練掌握等底同高的三角形的面積相等是解題的關鍵．連接，設，四邊形的面積為：，求出，中邊上高的長為，根據(jù)等底同高的三角形的面積相等以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，設，中邊上高的長為，、分別為的邊、的中點，線段為的中線，，，，，四邊形的面積為：，，的面積為，即的面積，解得：．故選：C．1．若三角形的兩邊長分別是3和4，則這個三角形的周長可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．14【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵，根據(jù)三角形的三邊關系可得不等式，再根據(jù)三角形的周長為，再由不等式的性質(zhì)即可得出，進而可判斷出正確的選項?！驹斀狻拷猓涸O第三邊的長為x，由題意得：，即，則三角形的周長為，則，∴7，8，9，14中，只有9符合題意故選：C.2．用長度均為奇數(shù)的三根木棒搭一個三角形，其中兩根木棒的長度分別為和，則第三根木棒的長度可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系以及奇數(shù)的定義，首先根據(jù)三角形的三邊關系求得第三根木棒的取值范圍，再進一步根據(jù)奇數(shù)這一條件分析，掌握三角形的三邊關系是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得：第三根木棒，即第三根木棒，又∵第三根木棒的長度是奇數(shù)，∴第三根木棒的長度可以為，，，故選：D．3．已知的面積為24，是邊上的高，若，，則的長為（）A．1 B．1或11 C．7 D．7或17【答案】D【分析】分在三角形內(nèi)部和外部兩種情況計算．【詳解】解：當在三角形內(nèi)部時，如圖：

的面積為24，是邊上的高，，，，；當在三角形外部時，如圖：

的面積為24，是邊上的高，，，，，，綜上所述，的長為7或17，故選D．【點睛】本題考查了三角形的高，根據(jù)高的位置進行分類討論是解題的關鍵．4．如圖，，分別為的中線和高線，的面積為5，，則的長為（）A．5 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】首先利用中線的性質(zhì)可以求出的面積，然后利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵為的中線，∴，∵的面積為5，∴，∵為的高線，，∴，∴．故選：A．【點睛】題主要考查了三角形的面積，同時也利用了三角形的中線的性質(zhì)，有一定的綜合性．5．已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成和兩部分，則等腰三角形的腰長為（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【分析】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解二元一次方程組和三角形三邊關系的綜合運用，設等腰三角形的腰長、底邊長分別為，，根據(jù)題意列二元一次方程組，注意沒有指明具體是哪部分的長為，故應該列兩個方程組求，解題的關鍵是分兩種情況分析，求得解之后注意用三角形三邊關系進行檢驗．【詳解】設等腰三角形的腰長、底邊長分別為，，由題意得或，解得或，∵，∴不能構(gòu)成三角形，故等腰三角形的底邊長為，故選：．6．如圖，中，，，點是邊上的