初中數學同步八年級上冊滬科版《壓軸題》專題08線段和差問題的2種處理方法含答案及解析

專題08線段和差問題的2種處理方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、等量代換法 3類型二、截長補短法 5壓軸能力測評 71用SSS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應邊分別相等，即可證明！三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.4用HL判定兩個直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.類型一、等量代換法通過用圖中相等的一條線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉化到同一直線上解決問題。例．如圖，在△ABC中，，，直線經過點，且于，于.(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時，①求證：△ADC≌△CEB．②求證：DE=AD+BE.(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時，判斷和的關系，并說明理由.【變式訓練1】．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；【變式訓練2】．已知，P為等邊三角形內一點，且BP=3，PC=4，將BP繞點B順時針旋轉60°至BP′的位置．

（1）試判斷△BPP′的形狀，并說明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的長度．【變式訓練3】．如圖，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．(1)試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；(2)在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，請直接寫出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．類型二、截長補短法和宜并之差宜貼，短則補之長則截。截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段；或者將短線段直接延長至等于長線段。無論截長還是補短都需要將幾條線段的和差問題轉化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過全等實現(xiàn)。例．已知：如圖，在中，，D、E分別為上的點，且交于點F．若為的角平分線．(1)求的度數；(2)若，求的長．【變式訓練1】．安安利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長線于點，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點，作交外角平分線于點，探究，和的數量關系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當，，三點共線時，連接，若，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：①；②．【變式訓練2】．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數．【變式訓練3】．數學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點，交于點，過作交于點，交于點，試探究線段之間的數量關系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數量關系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補短，再通過進一步推理，可以得出結論．閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數量關系，并證明；(3)探究線段之間的數量關系，并證明．1．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．42．如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．93．如圖，在中，，，，平分交于D點，E，F(xiàn)分別是，上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4．如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．155．如圖，四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積為（

）A．30 B．40 C．50 D．606．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定7．如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點D，試說明：．8．已知與都是等腰直角三角形，且．求證：(1)；(2)．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數量關系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數量關系，并對圖2的結論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．

專題08線段和差問題的2種處理方法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 3類型一、等量代換法 3類型二、截長補短法 8壓軸能力測評 161用SSS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對應邊分別相等，即可證明！三邊對應相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個角必須是兩對應邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應相等，兩個三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應相等的兩個三角形不一定全等.4用HL判定兩個直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對于兩個直角三角形，滿足一邊一銳角對應相等，或兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個判定方法是直角三角形所獨有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對應相等，由于其中含有直角這個特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應用“斜邊、直角邊”判定兩個直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個條件，書寫時必須在兩個三角形前加上“Rt”.類型一、等量代換法通過用圖中相等的一條線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉化到同一直線上解決問題。例．如圖，在△ABC中，，，直線經過點，且于，于.(1)當直線繞點旋轉到圖1的位置時，①求證：△ADC≌△CEB．②求證：DE=AD+BE.(2)當直線繞點旋轉到圖2的位置時，判斷和的關系，并說明理由.【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）△ADC≌△CEB；理由見解析【分析】（1）①要證△ADC≌△CEB，已知一直角∠ADC=∠CEB=90°和一邊AC=CB對應相等，由題意根據同角的余角相等，可得另一內角∠ECB=∠DAC，再由AAS即可判定；②由①得出AD=CE，BE=CD，而DE=CD+CE，故DE=AD+BE；（2）同理，根據上一小題的解題思路，易得△ADC≌△CEB.【詳解】（1）①∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°又∵AD⊥MN∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠ECB=∠DAC又∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）②∵△ADC≌△CEB∴AD=CE，BE=CD又∵DE=CD+CE∴DE=AD+BE（2）△ADC≌△CEB；∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°又∵AD⊥MN∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠ECB=∠DAC又∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）【點睛】此題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握，即可解題.【變式訓練1】．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據旋轉的性質可得，根據等邊對等角的性質可得，再根據等角的余角相等證明即可；（2）過P點作PD⊥AB于點D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，利用"角角邊"，根據全等三角形對應邊相等可得，從而得證．【詳解】證明：（1）∵是由旋轉得到，∴，∴，∵∠C=90°，AP′⊥AB∴，又∵∴（2）如圖，過P點作PD⊥AB于點D，∵∴，∵∴∴在和中，∴∴∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，根據角平分線的性質作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【變式訓練2】．已知，P為等邊三角形內一點，且BP=3，PC=4，將BP繞點B順時針旋轉60°至BP′的位置．

（1）試判斷△BPP′的形狀，并說明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的長度．【答案】（1）等邊三角形，理由見解析；（2）5【分析】由已知繞點順時針旋轉至，運用ΔABC是等邊三角形聯(lián)想：繞點順時針旋轉至，問題轉化為將繞點順時針旋轉至，運用旋轉的性質解題．【詳解】解：（1）’是等邊三角形．理由：繞點順時針旋轉至，，；是等邊三角形．（2）是等邊三角形，，，；在△中，由勾股定理得，∵,∴∠ABP=∠CB，在△ABP和中，，∴（SAS）．【點睛】本題考查旋轉的性質旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．【變式訓練3】．如圖，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．(1)試說明在旋轉過程中，線段AF與EC總保持相等；(2)在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，請直接寫出此時AC繞點O順時針旋轉的度數．【答案】（1）AF=EC．（2）AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．【詳解】試題分析：（1）證明△AOF≌△COE即可；（2）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．試題解析：（1）證明：當∠AOF=90°時，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形．在△AOF和△COE中．∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．（2）解：四邊形BEDF可以是菱形．理由：如圖，連接BF，DE由（1）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF與BD互相平分．∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．在Rt△ABC中，AC=，∴OA=1=AB，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，∴∠AOF=45°，∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形．考點：1.菱形的判定；2.平行四邊形的判定與性質；3.旋轉的性質．類型二、截長補短法和宜并之差宜貼，短則補之長則截。截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段；或者將短線段直接延長至等于長線段。無論截長還是補短都需要將幾條線段的和差問題轉化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過全等實現(xiàn)。例．已知：如圖，在中，，D、E分別為上的點，且交于點F．若為的角平分線．(1)求的度數；(2)若，求的長．【答案】(1)度(2)10【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線構造全等三角形解決問題．（1）由題意，根據，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，再證明，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：∵為的角平分線，∴∵，∴，∴（2）解：在上截取，連接．∵為的角平分線．∴，∵，∴，∵∴，∴∴，又∵，∴∴，∴【變式訓練1】．安安利用兩張正三角形紙片，進行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長線于點，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點，作交外角平分線于點，探究，和的數量關系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當，，三點共線時，連接，若，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個進行證明：①；②．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）是定值，①；②．【分析】（1）證明，推出，再根據角度的和差可得結論；（2）如圖2，在上取一點，使得，證明是等邊三角形，然后證明，可得，利用線段的和差即可解決問題；（3）如圖3，在上取一點，使得，證明，，，證明是等邊三角形，所以，過點作，，垂足分別為，，根據，可得的面積的面積，根據，可得，根據，可得，所以，，進而可以解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，設與交于點，

，都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，在上取一點，使得，

是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，是外角平分線，，，，，，，，，，，，；（3）解：①，②都是定值，證明如下：如圖3，在上取一點，使得，

和均為正三角形，，，三點共線，，，由（1）知：，，，，，，是等邊三角形，，過點作，，垂足分別為，，，的面積的面積，，，，，，，①；②，，，．綜上所述：①，②都是定值．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確的作出圖形尋找全等三角形．【變式訓練2】．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據全等三角形的性質得出，，進而證明，根據全等三角形的性質得出，進而即可求解；（2）根據全等三角形的性質，結合圖形可得，即可求解．【詳解】（1）解：在上截取，連接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．又∵，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．【變式訓練3】．數學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點，交于點，過作交于點，交于點，試探究線段之間的數量關系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數量關系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補短，再通過進一步推理，可以得出結論．閱讀上面材料，請回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數量關系，并證明；(3)探究線段之間的數量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析(3)，見解析【分析】（1）根據“邊角邊”判定和全等即可求證；（2）是等腰直角三角形，設，根據，用含的式子表示，根據，用含的式子表示，由此即可求解；（3）過點作交延長線于點，延長交于點，可證，可得，根據（2）的結論，可證，可得，再根據可得是等腰三角形，可找出的關系，由此求解．【詳解】（1）解：∵在和中，∵，，，∴，∴．（2）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，由（1）可知，，設，∵，∴，且，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：過點作交延長線于點，延長交于點，

∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，由（2）可知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，則是等腰三角形，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，線段的和差計算的綜合，掌握以上知識的運用是解題的關鍵．1．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】延長CB到點E，使BE＝DC，連接AE，AC，可以證明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根據△EAC的面積等于四邊形的面積是4，可得EC的長，進而可得結論．【詳解】解：如圖，延長CB到點E，使BE＝DC，連接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四邊形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、面積及等積變換、三角形面積公式、勾股定理，解題的關鍵是綜合運用以上知識．2．如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定，掌握以上知識是解題的關鍵．3．如圖，在中，，，，平分交于D點，E，F(xiàn)分別是，上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】利用角平分線構造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點C到AB的垂線段長度．【詳解】在AB上取一點G，使AG＝AF．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當C、E、G三點共線時，符合要求，此時，作CH⊥AB于H點，則CH的長即為CE+EG的最小值，此時，，∴CH==，即：CE+EF的最小值為，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線構造全等以及線段和差極值問題，靈活構造輔助線是解題關鍵．4．如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再證明CD=CE，進而代入數值解答即可．【詳解】在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故選：C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質；利用了全等三角形中常用輔助線-截長補短法構造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握．5．如圖，四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積為（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】由題意在BC上截取一點E使得BE=BA,并連接DE，證得進而求出和即可求出四邊形的面積．【詳解】解：由題意在BC上截取一點E使得BE=BA,并連接DE，∵平分，∴，∵，∴,,∵，，，，∴,∴,,∴四邊形的面積為:;故選：C．【點睛】本題考查四邊形綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質以及勾股定理和角平分線性質是解題的關鍵．6．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對應邊相等即可得出三條線段之間的關系.【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故選C．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，截長補短是證明線段和差關系的常用方法.7．如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點D，試說明：．【答案】證明見解析【分析】解法一：延長、相交于點，根據角平分線性質得到，證明，得到，再證明，得到，即可證明；解法二：作的中點E，連接、，根據直角三角形得到性質就可以得出，由平分就可以得出，從而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四點共圓，求出，證，推出，從而得到結論．【詳解】解法一：解：延長、相交于點，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；解法二：解：取的中點E，連接、，∵，∴，∴，∵，∴A，B，C，D四點共圓，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，四點共圓，直角三角形的性質，角平分線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．8．已知與都是等腰直角三角形，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）與都是等腰直角三角形得到兩組對邊分別相等，利用兩直角都加一個公用角推得，利用