初中數(shù)學(xué)同步八年級(jí)上冊(cè)滬科版《壓軸題》專題08線段和差問題的2種處理方法含答案及解析

專題08線段和差問題的2種處理方法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、等量代換法 3類型二、截長補(bǔ)短法 5壓軸能力測評(píng) 71用SSS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對(duì)應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對(duì)應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對(duì)邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.4用HL判定兩個(gè)直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.類型一、等量代換法通過用圖中相等的一條線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題。例．如圖，在△ABC中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，①求證：△ADC≌△CEB．②求證：DE=AD+BE.(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷和的關(guān)系，并說明理由.【變式訓(xùn)練1】．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；【變式訓(xùn)練2】．已知，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且BP=3，PC=4，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BP′的位置．

（1）試判斷△BPP′的形狀，并說明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的長度．【變式訓(xùn)練3】．如圖，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．類型二、截長補(bǔ)短法和宜并之差宜貼，短則補(bǔ)之長則截。截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段；或者將短線段直接延長至等于長線段。無論截長還是補(bǔ)短都需要將幾條線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過全等實(shí)現(xiàn)。例．已知：如圖，在中，，D、E分別為上的點(diǎn)，且交于點(diǎn)F．若為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．【變式訓(xùn)練1】．安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長線于點(diǎn)，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點(diǎn)，作交外角平分線于點(diǎn)，探究，和的數(shù)量關(guān)系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，連接，若，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：①；②．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式訓(xùn)練3】．?dāng)?shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關(guān)系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補(bǔ)短，再通過進(jìn)一步推理，可以得出結(jié)論．閱讀上面材料，請(qǐng)回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．1．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．42．如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．93．如圖，在中，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．4．如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．155．如圖，四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積為（

）A．30 B．40 C．50 D．606．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定7．如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點(diǎn)D，試說明：．8．已知與都是等腰直角三角形，且．求證：(1)；(2)．9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．

專題08線段和差問題的2種處理方法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 3類型一、等量代換法 3類型二、截長補(bǔ)短法 8壓軸能力測評(píng) 161用SSS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SSS指的是利用邊邊邊證明三角形全等，只要找到對(duì)應(yīng)邊分別相等，即可證明！三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.備注：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.2用SAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：SAS指的是利用邊角邊證明兩三角形全等，這個(gè)角必須是兩對(duì)應(yīng)邊的夾角，切不可看成是SSA，SSA是不能作為判定三角形全等的方法的。（1）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.備注：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.（2）有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.3用ASA或AAS判定兩個(gè)三角形全等的方法方法技巧：此類主要是利用兩角和一邊，注意這個(gè)邊可以是兩角的夾邊，也可以是角的對(duì)邊或鄰邊！兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.備注：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.（1）兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）備注：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.（2）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.4用HL判定兩個(gè)直角三角形全等的方法方法技巧：HL只適用于直角三角形的判定，指的是一直角邊和一斜邊。（1）由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了.這里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.（2）判定直角三角形全等的特殊方法——斜邊，直角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的，一般三角形不具備.備注：1）“HL”從順序上講是“邊邊角”對(duì)應(yīng)相等，由于其中含有直角這個(gè)特殊條件，所以三角形的形狀和大小就確定了.2）判定兩個(gè)直角三角形全等的方法共有5種：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.證明兩個(gè)直角三角形全等，首先考慮用斜邊、直角邊定理，再考慮用一般三角形全等的證明方法.3）應(yīng)用“斜邊、直角邊”判定兩個(gè)直角三角形全等的過程中要突出直角三角形這個(gè)條件，書寫時(shí)必須在兩個(gè)三角形前加上“Rt”.類型一、等量代換法通過用圖中相等的一條線段來代換另一條線段，將線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題，通過全等得到線段等，直接代換，將分散的線段轉(zhuǎn)化到同一直線上解決問題。例．如圖，在△ABC中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，①求證：△ADC≌△CEB．②求證：DE=AD+BE.(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，判斷和的關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）△ADC≌△CEB；理由見解析【分析】（1）①要證△ADC≌△CEB，已知一直角∠ADC=∠CEB=90°和一邊AC=CB對(duì)應(yīng)相等，由題意根據(jù)同角的余角相等，可得另一內(nèi)角∠ECB=∠DAC，再由AAS即可判定；②由①得出AD=CE，BE=CD，而DE=CD+CE，故DE=AD+BE；（2）同理，根據(jù)上一小題的解題思路，易得△ADC≌△CEB.【詳解】（1）①∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°又∵AD⊥MN∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠ECB=∠DAC又∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）②∵△ADC≌△CEB∴AD=CE，BE=CD又∵DE=CD+CE∴DE=AD+BE（2）△ADC≌△CEB；∵∠ACB=90°∴∠DCA+∠ECB=90°又∵AD⊥MN∴∠DCA+∠DAC=90°∴∠ECB=∠DAC又∵AD⊥MN，BE⊥MN∴∠ADC=∠CEB=90°在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形全等的判定，熟練掌握，即可解題.【變式訓(xùn)練1】．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）過P點(diǎn)作PD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，然后求出，利用"角角邊"，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，從而得證．【詳解】證明：（1）∵是由旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵∠C=90°，AP′⊥AB∴，又∵∴（2）如圖，過P點(diǎn)作PD⊥AB于點(diǎn)D，∵∴，∵∴∴在和中，∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】．已知，P為等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)，且BP=3，PC=4，將BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至BP′的位置．

（1）試判斷△BPP′的形狀，并說明理由；（2）若∠BPC=150°，求PA的長度．【答案】（1）等邊三角形，理由見解析；（2）5【分析】由已知繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，運(yùn)用ΔABC是等邊三角形聯(lián)想：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，問題轉(zhuǎn)化為將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解題．【詳解】解：（1）’是等邊三角形．理由：繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，，；是等邊三角形．（2）是等邊三角形，，，；在△中，由勾股定理得，∵,∴∠ABP=∠CB，在△ABP和中，，∴（SAS）．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．【變式訓(xùn)練3】．如圖，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，請(qǐng)直接寫出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【答案】（1）AF=EC．（2）AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形．【詳解】試題分析：（1）證明△AOF≌△COE即可；（2）EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形，可根據(jù)勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．試題解析：（1）證明：當(dāng)∠AOF=90°時(shí)，∵∠BAO=∠AOF=90°，∴AB∥EF，又∵AF∥BE，∴四邊形ABEF為平行四邊形．在△AOF和△COE中．∴△AOF≌△COE（ASA）．∴AF=EC．（2）解：四邊形BEDF可以是菱形．理由：如圖，連接BF，DE由（1）知△AOF≌△COE，得OE=OF，∴EF與BD互相平分．∴當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF為菱形．在Rt△ABC中，AC=，∴OA=1=AB，又∵AB⊥AC，∴∠AOB=45°，∴∠AOF=45°，∴AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，四邊形BEDF為菱形．考點(diǎn)：1.菱形的判定；2.平行四邊形的判定與性質(zhì)；3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．類型二、截長補(bǔ)短法和宜并之差宜貼，短則補(bǔ)之長則截。截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段；或者將短線段直接延長至等于長線段。無論截長還是補(bǔ)短都需要將幾條線段的和差問題轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題，一般情況要通過全等實(shí)現(xiàn)。例．已知：如圖，在中，，D、E分別為上的點(diǎn)，且交于點(diǎn)F．若為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．【答案】(1)度(2)10【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．（1）由題意，根據(jù)，即可解決問題；（2）在上截取，連接．只要證明，推出，再證明，推出，由此即可解決問題．【詳解】（1）解：∵為的角平分線，∴∵，∴，∴（2）解：在上截取，連接．∵為的角平分線．∴，∵，∴，∵∴，∴∴，又∵，∴∴，∴【變式訓(xùn)練1】．安安利用兩張正三角形紙片，進(jìn)行了如下探究：

【探究證明】（1）如圖1，和均為等邊三角形，連接交延長線于點(diǎn)，求證：；【拓展延伸】（2）如圖2，在正三角形紙片的邊上取一點(diǎn)，作交外角平分線于點(diǎn)，探究，和的數(shù)量關(guān)系，并證明；【思維提升】（3）如圖3，和均為正三角形，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，連接，若，直接寫出下列兩式分別是否為定值，并任選其中一個(gè)進(jìn)行證明：①；②．【答案】（1）見解析；（2），證明見解析；（3）是定值，①；②．【分析】（1）證明，推出，再根據(jù)角度的和差可得結(jié)論；（2）如圖2，在上取一點(diǎn)，使得，證明是等邊三角形，然后證明，可得，利用線段的和差即可解決問題；（3）如圖3，在上取一點(diǎn)，使得，證明，，，證明是等邊三角形，所以，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，根據(jù)，可得的面積的面積，根據(jù)，可得，根據(jù)，可得，所以，，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】（1）證明：如圖1，設(shè)與交于點(diǎn)，

，都是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，在上取一點(diǎn)，使得，

是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，是外角平分線，，，，，，，，，，，，；（3）解：①，②都是定值，證明如下：如圖3，在上取一點(diǎn)，使得，

和均為正三角形，，，三點(diǎn)共線，，，由（1）知：，，，，，，是等邊三角形，，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，，的面積的面積，，，，，，，①；②，，，．綜上所述：①，②都是定值．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出圖形尋找全等三角形．【變式訓(xùn)練2】．如圖，在五邊形中，，平分，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）在上截取，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形可得，即可求解．【詳解】（1）解：在上截取，連接．

∵平分，∴．在和中，∴∴，．又∵，∴．又∵，∴，∴．在和中，，∴∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．?dāng)?shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關(guān)系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長補(bǔ)短，再通過進(jìn)一步推理，可以得出結(jié)論．閱讀上面材料，請(qǐng)回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”判定和全等即可求證；（2）是等腰直角三角形，設(shè)，根據(jù)，用含的式子表示，根據(jù)，用含的式子表示，由此即可求解；（3）過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，可證，可得，根據(jù)（2）的結(jié)論，可證，可得，再根據(jù)可得是等腰三角形，可找出的關(guān)系，由此求解．【詳解】（1）解：∵在和中，∵，，，∴，∴．（2）解：∵是等腰直角三角形，，，∴，由（1）可知，，設(shè)，∵，∴，且，∴在中，，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：過點(diǎn)作交延長線于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，

∵，，∴，在和中，∵，，，∴，∴，，由（2）可知，，∵，∴，∵，，∴，∵，，，∴，∴，，∴，則是等腰三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的和差計(jì)算的綜合，掌握以上知識(shí)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．1．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若這個(gè)四邊形的面積是4，則BC+CD等于（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】B【分析】延長CB到點(diǎn)E，使BE＝DC，連接AE，AC，可以證明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根據(jù)△EAC的面積等于四邊形的面積是4，可得EC的長，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，延長CB到點(diǎn)E，使BE＝DC，連接AE，AC，∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四邊形ABCD，∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，∵，∴AE＝，∴EC＝4，∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、面積及等積變換、三角形面積公式、勾股定理，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．2．如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】如圖，在上截取連接證明利用全等三角形的性質(zhì)證明求解再證明從而可得答案．【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，，平分交于D點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】利用角平分線構(gòu)造全等，使兩線段可以合二為一，則EC+EF的最小值即為點(diǎn)C到AB的垂線段長度．【詳解】在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4∴AB=5，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS）∴FE＝GE，∴要求CE+EF的最小值即為求CE+EG的最小值，故當(dāng)C、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，符合要求，此時(shí)，作CH⊥AB于H點(diǎn)，則CH的長即為CE+EG的最小值，此時(shí)，，∴CH==，即：CE+EF的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線構(gòu)造全等以及線段和差極值問題，靈活構(gòu)造輔助線是解題關(guān)鍵．4．如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．15【答案】C【分析】在AC上截取AE=AB，連接DE，證明△ABD≌△AED，得到∠B=∠AED，AB=AE，再證明CD=CE，進(jìn)而代入數(shù)值解答即可．【詳解】在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，∠ADB=∠ADE，AB=AE，又∠B=2∠ADB∴∠AED=2∠ADB，∠BDE=2∠ADB，∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠ADB，∠BDE=∠C+∠DEC=2∠ADB，∴∠DEC=∠EDC，∴CD=CE，∵，，∴AC=AE+CE=AB+CD=5+6=11．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；利用了全等三角形中常用輔助線-截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形，然后利用全等三角形解題，這是解決線段和差問題最常用的方法，注意掌握．5．如圖，四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積為（

）A．30 B．40 C．50 D．60【答案】C【分析】由題意在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=BA,并連接DE，證得進(jìn)而求出和即可求出四邊形的面積．【詳解】解：由題意在BC上截取一點(diǎn)E使得BE=BA,并連接DE，∵平分，∴，∵，∴,,∵，，，，∴,∴,,∴四邊形的面積為:;故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合問題，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和角平分線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分線AE交CD于E，連接BE，且BE恰好平分∠ABC，則AB的長與AD+BC的大小關(guān)系是（）A．AB＞AD+BC B．AB＜AD+BC C．AB＝AD+BC D．無法確定【答案】C【分析】在AB上截取AF＝AD，連接EF，易得∠AEB=90°和△ADE≌△AFE，再證明△BCE≌△BFE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得出三條線段之間的關(guān)系.【詳解】解：如圖所示，在AB上截取AF＝AD，連接EF，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，又∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB∴∠ABE+∠EAB==90°，∴∠AEB=90°即∠2+∠4=90°，在△ADE和△AFE中，∴△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1＝∠2，又∠2+∠4＝90°，∠1+∠3＝90°，所以∠3＝∠4，在△BCE和△BFE中，∴△BCE≌△BFE（ASA），所以BC＝BF，所以AB＝AF+BF＝AD+BC；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，截長補(bǔ)短是證明線段和差關(guān)系的常用方法.7．如圖，已知等腰直角三角形中，，，平分，交的延長線于點(diǎn)D，試說明：．【答案】證明見解析【分析】解法一：延長、相交于點(diǎn)，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到，證明，得到，再證明，得到，即可證明；解法二：作的中點(diǎn)E，連接、，根據(jù)直角三角形得到性質(zhì)就可以得出，由平分就可以得出，從而可以得出，，由，就可以得出A、B、C、D四點(diǎn)共圓，求出，證，推出，從而得到結(jié)論．【詳解】解法一：解：延長、相交于點(diǎn)，∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；解法二：解：取的中點(diǎn)E，連接、，∵，∴，∴，∵，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．已知與都是等腰直角三角形，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）與都是等腰直角三角形得到兩組對(duì)邊分別相等，利用兩直角都加一個(gè)公用角推得，利用