河北省石家莊市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)（時(shí)間120分鐘，滿分150）注意事項(xiàng)：本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目寫在答題卡上.第I卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.直線的傾斜角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】C【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率為，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【解析】將直線一般式方程化為斜截式方程得：，所以直線的斜率為，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為.故選：C2.空間直角坐標(biāo)系中，平行四邊形的三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，則D的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用在平行四邊形中有，計(jì)算即可.【解析】結(jié)合題意：設(shè)D的坐標(biāo)為，因?yàn)?，，，所?，因?yàn)樵谄叫兴倪呅沃杏?，所以，解得，所以D的坐標(biāo)為.故選：B.3.若圓心坐標(biāo)為的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，則該圓的一般方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓的半徑為，求出圓心到直線的距離，由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，變形可得答案.【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為，到直線的距離，該圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，則有，則圓的方程為，變形可得，故選：A.4.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得的值，再由可求得結(jié)果.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.【小結(jié)】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，將第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為m，第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為n，則的概率等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用列舉法求得所求事件中所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【解析】由題意，將一顆骰子先后拋擲2次，第一次所得點(diǎn)數(shù),第二次所得點(diǎn)數(shù),記為.，，共有種結(jié)果，其中滿足的有：，共有9種結(jié)果，由古典概型的概率計(jì)算公式，可得滿足的概率為.故選：D.6.若拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案．【解析】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D．【小結(jié)】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對(duì)拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.斐波那契數(shù)列因意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬(wàn)壽菊等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足：，，則是斐波那契數(shù)列中的第（）項(xiàng)A.2020 B.2021 C.2022 D.2023【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用累加法，即可求解.【解析】由斐波那契數(shù)列滿足：，，則.故選：C.8.在三棱錐中，，，是的中點(diǎn)，滿足，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的對(duì)棱相等可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得異面直線，所成角的余弦值.【解析】解：三棱錐中，由于，，則三棱錐可以補(bǔ)在長(zhǎng)方體，則設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，解得，如圖以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，則，，所以，則異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.袋子中有六個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，設(shè)事件A為摸出的小球編號(hào)都為奇數(shù)，事件B為摸出的小球編號(hào)之和為偶數(shù)，事件C為摸出的小球編號(hào)恰好只有一個(gè)奇數(shù)，則下列說(shuō)法全部正確的是（）A.事件A與B是互斥事件 B.事件A與C是互斥事件C.事件B與C是對(duì)立事件 D.事件A與B相互獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】由題意可知摸出的兩球的編號(hào)可能都是奇數(shù)或都是偶數(shù)或恰好一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，共三種情況，由此可判斷之間的互斥或?qū)α⒌年P(guān)系，再由古典概型求出判斷是否相互獨(dú)立可得答案.【解析】由題意知，事件為摸出的小球編號(hào)都為奇數(shù)，事件B為摸出的小球編號(hào)之和為偶數(shù)，即摸出的小球編號(hào)都為奇數(shù)或都為偶數(shù)，故事件A，B不互斥，故A錯(cuò)誤；事件C為摸出的小球編號(hào)恰好只有一個(gè)奇數(shù)，即摸出的兩球編號(hào)為一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，其反面為摸出的小球編號(hào)都為奇數(shù)或都為偶數(shù)，故B，C是對(duì)立事件，故C正確；事件A，C不會(huì)同時(shí)發(fā)生，故A，C是互斥事件，故B正確；每次摸出兩個(gè)小球，所有基本事件為：,,，共有15個(gè)，所以由古典概型可得，，,所以，故事件A與B不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.面積的最大值是C.橢圓C的離心率為 D.最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)橢圓定義求出答案；B選項(xiàng)，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，求出最大值；C選項(xiàng)，由直接求解即可；D選項(xiàng)，作出輔助線，結(jié)合橢圓定義得到，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí),取得最小值，得到答案.【解析】A選項(xiàng)，由題意得，由橢圓定義可得，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，最大值為，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，離心率，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)椋渣c(diǎn)在橢圓內(nèi)，連接，由橢圓定義可知，故，故，當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)，取得最小值，最小值為，所以最小值為，D正確.故選：ACD11.已知向量，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.向量與向量共面B.向量在向量上的投影向量為C.若兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則D.若平面的法向量是，直線的方向向量是，則直線與平面所成角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)投影向量的求法，可判定B正確；根據(jù)，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)線面角的空間的向量求法，可判定D錯(cuò)誤.【解析】對(duì)于A中，設(shè)，可得，此時(shí)，方程組無(wú)解，所以向量與向量不共面，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由向量，可得向量在向量上的投影向量為，所以B正確；對(duì)于C中，若兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，因?yàn)?，所以與不垂直，所以平面與平面不垂直，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若平面的法向量是，直線的方向向量是，設(shè)直線與平面所成角為，其中，則，所以，所以D錯(cuò)誤.故選：ACD.12.在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【解析】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時(shí)第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時(shí)第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時(shí)第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時(shí)第次得到數(shù)列1，，2此時(shí)所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.【小結(jié)】本題需要根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，著名數(shù)學(xué)家華羅庚指出:善于“退”，足夠的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.所以對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題我們應(yīng)該先足夠的退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后再上去，這就是以退為進(jìn)的思想.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.如圖所示，在平行六面體中，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn)，且，若，則___________.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算，以為基底，用基向量表示，再空間向量基本定理待定系數(shù)即可.【解析】在平行六面體中,因?yàn)辄c(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的點(diǎn),所以.又，由空間向量基本定理得，，則.故答案為：.14.天氣預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為____________.【答案】##0.4【解析】【分析】分析數(shù)據(jù)得到三天中恰有兩天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【解析】10組隨機(jī)數(shù)中，表示三天中恰有兩天下雨的有417，386，196，206，故這三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故答案為：15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，若，則_____.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，將題目所求的式子中的有關(guān)的式子，轉(zhuǎn)化為有關(guān)的式子來(lái)求解.【解析】原式.【小結(jié)】本小題主要考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的轉(zhuǎn)化.對(duì)于等比數(shù)列來(lái)說(shuō)，若，則有，而前項(xiàng)和公式，可以進(jìn)行通項(xiàng)和前項(xiàng)和的相互轉(zhuǎn)化.屬于基礎(chǔ)題.16.已知過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，則雙曲線C的離心率取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)差法得到，根據(jù)題意和漸近線方程得到，故，從而求出離心率的取值范圍.【解析】設(shè)，則，兩式相減得，若，則的中點(diǎn)在軸上，不合要求，若，則的中點(diǎn)在軸上，不合要求，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，故，因?yàn)榈臐u近線方程為，要想直線與雙曲線：交于A、B兩點(diǎn)，則，即，解得，所以離心率.故答案為：【小結(jié)】直線與圓錐曲線相交涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，常用點(diǎn)差法，該法計(jì)算量小，模式化強(qiáng)，易于掌握，若相交弦涉及的定比分點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，也可以用點(diǎn)差法的升級(jí)版—定比點(diǎn)差法，解法快捷.四、解答題（本大題共6道小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）若向量是直線的一個(gè)方向向量，求直線的方程；（2）若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的方向向量，求出直線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否為0，結(jié)合直線的截距式方程分類求解即得.【小問(wèn)1解析】由向量是直線的一個(gè)方向向量，得直線的斜率，又經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則方程為：，即：，所以直線的方程為.【小問(wèn)2解析】依題意，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，而直線又過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為，即；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則有，解得，即直線的方程為，所以直線的方程為或.18.已知圓：.（1）當(dāng)時(shí)，求直線被圓截得的弦長(zhǎng)；（2）若直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出圓心和半徑，得到圓心到直線的距離，利用垂徑定理求出弦長(zhǎng)；（2）求出圓心和半徑，根據(jù)圓心到的距離大于半徑得到不等式，求出答案.【小問(wèn)1解析】當(dāng)時(shí)，圓：，圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，設(shè)直線與圓交于A、B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)故直線被圓C截得的弦長(zhǎng)為.【小問(wèn)2解析】圓方程為，恒成立，因?yàn)橹本€與圓C沒(méi)有公共點(diǎn)，圓心到的距離，所以，即，解得：，故的取值范圍是.19.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且.(I)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；(II){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn,已知,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.【解析】【解析】試題分析：（Ⅰ）列出關(guān)于的方程組,解方程組求基本量；（Ⅱ）用錯(cuò)位相減法求和.試題解析：（Ⅰ）設(shè)的公比為，由題意知：.又，解得：，所以.（Ⅱ）由題意知：，又所以,令,則，因此,又,兩式相減得所以.【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng),錯(cuò)位相減法求和.【名師小結(jié)】(1)等比數(shù)列運(yùn)算問(wèn)題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公比q,然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,q,n,Sn,知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),體現(xiàn)了方程的思想．(2)用錯(cuò)位相減法求和時(shí),應(yīng)注意：在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式，若等比數(shù)列的公比為參數(shù),應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．20.如圖，在四棱錐中，平面.（1）證明：平面平面.（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，再應(yīng)用面面垂直判定定理證明即可；（2）應(yīng)用空間向量法求出二面角余弦.【小問(wèn)1解析】因?yàn)槠矫?，所?在中可求得.在中，因?yàn)?，所以，所?又平面，所以.因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2解析】因?yàn)槠矫?，所以分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.由（1）知平面，所以為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量為，可得，令，得設(shè)平面與平面的夾角為，則21.甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負(fù)1局或平局都不得分，積分先達(dá)到2分者獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，則積分多的一方獲勝；若第四局結(jié)束，沒(méi)有人積分達(dá)到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設(shè)在每局比賽中，甲勝的概率為，負(fù)的概率為，且每局比賽之間的勝負(fù)相互獨(dú)立．（1）求第三局結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；（2）求甲獲勝概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）對(duì)乙來(lái)說(shuō)共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結(jié)束時(shí)的場(chǎng)數(shù)進(jìn)行分類，在每一類中根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解.【小問(wèn)1解析】設(shè)事件A為“第三局結(jié)束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．若第三局結(jié)束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．故【小問(wèn)2解析】設(shè)事件B為“甲獲勝”．若第二局結(jié)束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時(shí)的概率．若第三局結(jié)束甲