江蘇省常州市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試 數(shù)學(xué)

第一學(xué)期期末檢測高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，2.下列四個(gè)函數(shù)中，與有相同單調(diào)性和奇偶性的是（）A. B. C. D.3.若全集，，則（）A. B. C. D.4.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm25.若實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.6.若：，：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買20克黃金，他要求先將10克的砝碼放在左盤，將黃金放在右盤使之平衡；然后又將10克的砝碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，則該顧客實(shí)際所得黃金（）A.小于20克 B.不大于20克 C.大于20克 D.不小于20克8.若且滿足，設(shè)，，則下列判斷正確的是（）A. B.C D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的有（）A.是第二象限角 B.C.小于的角一定是銳角 D.10.下列命題為真命題的有（）A.若，，則 B.若，，則C若，則 D.若，則11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.為奇函數(shù) B.是以為周期的函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.時(shí)，的最大值為12.如圖，過函數(shù)（）圖象上的兩點(diǎn)A，B作軸的垂線，垂足分別為，（），線段與函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)，且與軸平行.下列結(jié)論正確的有（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.當(dāng)，，時(shí)，值為9C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)，時(shí)，若，為區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)變量，且，則三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為______.14.若，，，則的最大值為______.15.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，的最大值為，則的最小值為______.16.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對于區(qū)間內(nèi)（）的任意三個(gè)數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，有，那么稱此函數(shù)為區(qū)間上的“遞進(jìn)函數(shù)”，若函數(shù)是區(qū)間為“遞進(jìn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.化簡求值：（1）；（2）若，求的值.18.已知.求值：（1）；（2）.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的值域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.已知，.（1）若，，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)取最小值時(shí)，方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21已知函數(shù)，，其中.（1）判斷并證明的單調(diào)性；（2）①設(shè)，，求取值范圍，并把表示為的函數(shù)；②若對任意的，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.已知函數(shù).（1）若為定義在上的偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期末檢測高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題可得.【解析】根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，則命題“，”的否定為“，”故選：A2.下列四個(gè)函數(shù)中，與有相同單調(diào)性和奇偶性的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性判斷.【解析】明顯函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；對于AC：函數(shù)與均為指數(shù)函數(shù)，且為非奇非偶函數(shù)；對于B：為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；；對于D：為奇函數(shù)，但其在上不是單調(diào)函數(shù).故選：B.3.若全集，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解.【解析】由不等式，解得，所以集合，又由，可得，所以.故選：C4.“數(shù)摺聚清風(fēng)，一捻生秋意”是宋朝朱翌描寫折扇的詩句，折扇出人懷袖，扇面書畫，扇骨雕琢，是文人雅士的寵物，所以又有“懷袖雅物”的別號．如圖是折扇的示意圖，其中OA＝20cm，∠AOB＝120°，M為OA的中點(diǎn)，則扇面（圖中扇環(huán)）部分的面積是（）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算可得；【解析】解：扇環(huán)的面積為．故選：B5.若實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式，利用對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【解析】因?yàn)?，所以，，由換底公式得：，.所以.故選：A6.若：，：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件取特殊值驗(yàn)證充分性和必要性即可.【解析】因?yàn)?取，因?yàn)?，此時(shí)，故充分性不成立，當(dāng)時(shí)，取，則，故必要性不成立，故是的既不充分也不必要條件，故選:D.7.某金店用一桿天平稱黃金，某顧客需要購買20克黃金，他要求先將10克的砝碼放在左盤，將黃金放在右盤使之平衡；然后又將10克的砝碼放入右盤，將另一黃金放在左盤使之平衡，顧客獲得這兩塊黃金，則該顧客實(shí)際所得黃金（）A.小于20克 B.不大于20克 C.大于20克 D.不小于20克【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式，即可求解.【解析】設(shè)天平的左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)），第一次稱出的黃金重為，第二次稱出的黃金重為，由杠桿平衡的原理，可得，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以顧客所得的黃金不小于20克.故選：D.8.若且滿足，設(shè)，，則下列判斷正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過條件得到，通過假設(shè)找到矛盾，從而得到，進(jìn)而確定函數(shù)單調(diào)性，通過單調(diào)性比較大小即可．【解析】因?yàn)?，兩邊同時(shí)除以得，因?yàn)?，若，則，，則，同理，則與矛盾，所以，則，，則，同理，所以，又，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，對于AB：由于與，與大小關(guān)系不確定，故AB錯(cuò)誤；對于CD：由于，，所以，，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：C．【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：根據(jù)選項(xiàng)為比較大小可知本題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，即是大于還是小于，帶著這個(gè)目的去挖掘條件即可找到解題思路．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說法正確的有（）A.是第二象限角 B.C.小于的角一定是銳角 D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)角的定義，以及誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解析】對于A中，根據(jù)角的定義，可得是第三象限角，所以A不正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，根據(jù)角的定義，小于的角不一定是銳角，可以是負(fù)角，所以C錯(cuò)誤；對于D中，由的終邊位于第二象限，所以，所以D正確.故選：BD.10.下列命題為真命題的有（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】作差即可判斷ABC；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷D.【解析】對于A，因?yàn)椋?，故A正確；對于B，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則，所以，故C正確；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.為奇函數(shù) B.是以為周期的函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.時(shí)，的最大值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，由正弦函數(shù)的奇偶性即可判斷；對于B，判斷是否成立即可；對于C，判斷是否成立即可；對于D，可得時(shí)，單調(diào)遞增，由此即可得解.【解析】對于A，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱），且，對于B，，故B錯(cuò)誤；對于C，，，但，即的圖象不關(guān)于直線對稱，故C錯(cuò)誤；對于D，時(shí)，均單調(diào)遞增，所以此時(shí)也單調(diào)遞增，所以時(shí)，單調(diào)遞增，其最大值為.故選：AD.12.如圖，過函數(shù)（）圖象上的兩點(diǎn)A，B作軸的垂線，垂足分別為，（），線段與函數(shù)（）的圖象交于點(diǎn)，且與軸平行.下列結(jié)論正確的有（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.當(dāng)，，時(shí)，的值為9C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)，時(shí)，若，為區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)變量，且，則【答案】ABD【解析】【分析】代入驗(yàn)證可判斷A；將，，，代入，然后分別得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等求解m的值可判斷B；用含a、b的式子表示出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，再利用AC與x軸平行得到m與c的關(guān)系式可判斷C；設(shè)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及對數(shù)的運(yùn)算法則，即可證明.【解析】對A：由圖可知，若設(shè)，則,又A在上，則，所以，故A對；對B：由題意得，，且與軸平行，所以，得故B對；對C：由題意得，，且與軸平行，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)；對D：因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，故D對；故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為______.【答案】【解析】【分析】直接由三角函數(shù)的定義求解.【解析】由三角函數(shù)的定義可得，所以.故答案為：.14.若，，，則的最大值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)基本不等式求最大值即可.【解析】因?yàn)?，，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故的最大值為為,故答案為：.15.已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若當(dāng)時(shí)，的最大值為，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)可知時(shí)，最小值為，考查時(shí)的最值情況，可得到的范圍，即可求解.【解析】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，的最大值為，則時(shí)，最小值為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，故則時(shí)，最小值為，必有，則，故的最小值為，故答案為：.16.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果對于區(qū)間內(nèi)（）的任意三個(gè)數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，有，那么稱此函數(shù)為區(qū)間上的“遞進(jìn)函數(shù)”，若函數(shù)是區(qū)間為“遞進(jìn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是區(qū)間為“遞進(jìn)函數(shù)”，由的遞增區(qū)間為求解.【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)是區(qū)間為“遞進(jìn)函數(shù)”，所以的遞增區(qū)間為，令，則在上恒成立，即在上恒成立，所以，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，計(jì)70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17.化簡求值：（1）；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算及對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）把條件平方后可得，再次平方即可求解.【小問1解析】原式；【小問2解析】由題意得，得，同理，故.18.已知.求值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）誘導(dǎo)公式化簡后，分子分母同時(shí)除以，進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）分母變?yōu)椋肿臃帜竿瑫r(shí)除以，進(jìn)一步計(jì)算即可.【小問1解析】因?yàn)?，所以原式；【小?解析】因?yàn)?，所以原?19.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，函?shù)的值域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分別求出集合、，再求兩個(gè)集合的并集；（2）根據(jù)題意，確定兩個(gè)集合的包含關(guān)系，然后求得取值范圍.【小問1解析】由題意得所以，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增，則，∴；【小問2解析】若是的必要不充分條件，則是的真子集.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)增，則，所以，解得；當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，則，不符合題意；綜上，.20.已知，.（1）若，，且，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)取最小值時(shí)，方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（閉區(qū)間也正確）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，，且，結(jié)合周期公式求出函數(shù)的解析式，再求單調(diào)增區(qū)間即可；（2）根據(jù)平移變換法則以及函數(shù)的對稱性求出函數(shù)解析式，再求的最小值，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1解析】，則，所以；由，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，（閉區(qū)間也正確）.【小問2解析】將圖象向左平移個(gè)單位長度后得到，若所得圖象關(guān)于軸對稱，則，得，，因?yàn)?，所以；，得，，所以的取值范圍?21.已知函數(shù)，，其中.（1）判斷并證明的單調(diào)性；（2）①設(shè)，，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；②若對任意的，總存在使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)減函數(shù)，證明見解析（2）①；，；②【解析】【分析】（1）利用定義法對的單調(diào)性進(jìn)行證明.（2）由已知可得，即，代入即可求得；（3）設(shè)在時(shí)值域?yàn)?，得，設(shè)在時(shí)的值域?yàn)?，由題意得，然后分、、、進(jìn)行討論即可.【小問1解析】是上的單調(diào)減函數(shù).證明如下：在上任取，且，所以則，故是上單調(diào)減函數(shù)；【小問2解析】①，則，又因?yàn)?，所以，從?又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?/p>