廣西貴港市2023-2024學年高二上學期期末考試數(shù)學試卷

高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈N|?1≤x≤4}，B={?2,?1,0,1,2}，則A∩B=(

)A.[0,2] B.{0,2} C.{1,2} D.{0,1,2}2.復數(shù)1+3i3+i在復平面內(nèi)對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在數(shù)列{an}中，已知a1=1，an+1=A.2 B.3 C.4 D.54.已知α為第四象限角，且tanα=?12，則cosα=(

)A.55 B.?55 5.過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點的直線與拋物線C相交于A，B兩點，若線段AB中點的坐標為(4,22)A.4 B.3 C.2 D.16.蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù).利用對數(shù)運算可以求大數(shù)的位數(shù).已知lg5=0.699，則231是(

)A.9位數(shù) B.10位數(shù) C.11位數(shù) D.12位數(shù)7.如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個正三角形的頂點都是其外接正三角形各邊的中點.現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，則最小的正三角形的邊長為(

)A.34米 B.38米 C.316米 8.如圖，橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點，B為y軸上一點，F(xiàn)A.45

B.35

C.2二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a7=9A.{an}的公差為1 B.{an}的公差為210.已知mn≠0，在同一個坐標系下，曲線mx2+ny2=mnA. B.

C. D.11.已知函數(shù)f(x)=2cos(x2+πA.f(x)的圖象關(guān)于點(π6,12)對稱 B.f(x)的圖象關(guān)于直線x=π6對稱

C.f(x)12.已知P為正方體ABCD?A1B1C1D1A.B1P?BD1=0

B.三棱錐D?PA1C1的體積為定值

C.存在唯一的λ，使得平面三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若單位向量a，b滿足|a?3b|=|2a+14.已知函數(shù)f(x)=(ex+ae?x)cosx15.若直線x+3y?1=0是圓x2+y2?2ax?8=016.若m，n是函數(shù)f(x)=?x2?ax?b(a>0,b>0)的兩個不同的零點，且m，n，3這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則2a+b=四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=3，4asinB=3csinA．

(1)求c的值；

(2)若a=2，求△ABC的面積．18.(本小題12分)

已知四邊形ABCD的三個頂點A(1,0)，B(3,?2)，C(4,?1)．

(1)求過A，B，C三點的圓的方程．

(2)設(shè)線段AB上靠近點A的三等分點為E，過E的直線l平分四邊形ABCD的面積.若四邊形ABCD為平行四邊形，求直線l的方程．19.(本小題12分)

杭州亞運會期同，某大學有200名學生參加體育成績測評，將他們的分數(shù)(單位：分)按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值及這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)；

(2)按分層陸機抽樣的方法從分數(shù)在[50,60)和[90,100]內(nèi)的學生中抽取6人，再從這6人中任選2人，求這2人成績之差的絕對值大于10分的概率．20.(本小題12分)

如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AC=2BC=4，F(xiàn)是PC的中點，且AF⊥PB．

(1)求AP的長；

(2)求二面角B?AF?C的正弦值．21.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=(n?1)2n+1+2．

(1)求{an}22.(本小題12分)

已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線C2：x2a2?y2b2=1(a>b>0)的焦距之比為12．

(1)求橢圓C1和雙曲線C2的離心率；

(2)設(shè)雙曲線C2的右焦點為F，過F答案和解析1.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，可得A={x∈N|?1≤x≤4}={0,1,2,3,4}，

因為B={?2,?1,0,1,2}，所以A∩B={0,1,2}．

故選：D．

根據(jù)題意，先確定出集合A的元素，再根據(jù)交集的運算法則算出答案．

本題主要考查集合的概念與表示、交集的運算法則等知識，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】A

【解析】解：∵1+3i3+i=(1+3i)(3?i)10=35+45i，

∴復數(shù)3.【答案】C

【解析】解：因為a1>0，所以an+1=an1+2an>0，

兩邊取倒數(shù)，可得1an+1=1an+2，

則{1an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，

4.【答案】C

【解析】解：由題意，sinα=?12cosα，又sin2α+cos2α=1，聯(lián)立可得cos2α=45．

又5.【答案】A

【解析】解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因為點A，B在拋物線上，可得y12=2px1,y22=2px2,，兩式作差可得y6.【答案】B

【解析】解：記231=M，則31×lg2=lgM，

則lgM=31×(1?lg5)=9.331，則M=109.331∈(109,1010)，

故231是7.【答案】B

【解析】解：如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，

每個正三角形的頂點都是其外接正三角形各邊的中點，

現(xiàn)有17米長的鐵絲材料用來制作一個網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，

該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長為3米，

由題可知，該三角形蜘蛛網(wǎng)中三角形的周長從大到小是以9為首項，12為公比的等比數(shù)列，

設(shè)最小的正三角形的邊長為3×(12)n?1米，則9[1?(12)n]1?12≤17，則(128.【答案】D

【解析】解：由3F2A=?2F2B，設(shè)|F2A|=2t，|F2B|=3t，(t>0)，

則|AB|=5t，由對稱性知，|F2B|=|F1B|=3t，

因為F1在以AB為直徑的圓上，則|F1A|=4t，cos∠F1AB=45，

由橢圓的定義知|F1A|+|F2A|=6t=2a，所以a=3t，

9.【答案】ACD

【解析】解：設(shè){an}的公差為d，

a7=9，S4=3a4，

則a1+6d=9,4a1+6d=3a1+9d,解得a10.【答案】CD

【解析】解：因為mn≠0，所以曲線mx2+ny2=mn與直線mx+ny=mn可化為曲線x2n+y2m=1與直線xn+ym=1．

當m=n>0時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等．A不正確．

當m>n>0時，曲線表示焦點在y軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小．B不正確．

當n>m>0時，曲線表示焦點在x軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大．C正確．

當n>0>m時，曲線表示焦點在x軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負．11.【答案】AC

【解析】解：∵f(x)=2cos(x2+π3)cosx2=2(12cosx2?32sinx2)cosx2=cos2x2?3sinx2cosx2=12cosx?3212.【答案】BC

【解析】

解：建立空間直角坐標系，如圖所示：

因為BP=λBA+(1?λ)BC，0<λ<1，所以P為線段AC內(nèi)的點，

設(shè)AP=tAC，t∈(0,1)；

B1P=B1A1+A1A+AP=B1A1+A1A+tAC=(?1,0,0)+(0,0,1)+(t,t,0)=(t?1,t,1)，

BD1=BD+DD1=(1,1,0)+(0,0,?1)=(1,1,?1)，

所以B1P?BD1=t?1+t?1=2t?2<0，選項A錯誤；

三棱錐D?PA1C1的體積為V三棱錐D?PA1C1=13S△PA1C1?12BD=13.【答案】12【解析】解：因為a、b是單位向量，所以|a|=|b|=1，

又因為|a?3b|=|2a+b|，所以a214.【答案】?1

【解析】解：因為f(x)是奇函數(shù)，

所以f(?x)=(e?x+aex)cos(?x)=(e?x+aex)cosx=?f(x)=?(ex+a15.【答案】1

【解析】解：由題可知，該圓的圓心為(a,0)，

因為直線x+3y?1=0過圓心，所以a?1=0，解得a=1，

所以圓的方程為(x?1)2+y2=9，

因為圓心與P(2,3)的距離為(2?1)2+(3)216.【答案】24

【解析】解：由題可知，m+n=?a<0mn=b>0，則m<0n<0，

因為m，n，3這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，

則3必是等比中項，則mn=b=9，

又m，n，3這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項，

若m是等差中項，則2m=n+3=9m+3，

解得m=?32，n=?6，則a=?(m+n)=152，

故2a+b=24，

若n是等差中項，則2n=m+3=9n+3，又n<0，

解得n=?32，m=?6，

則a=?(m+n)=152，

故2a+b=24．

故答案為：24．

由韋達定理求出17.【答案】解：(1)∵4asin?B=3csinA，∴4ab=3ac，則4b=3c．

又b=3，所以c=4．

(2)∵a=2，∴cosA=b2+c2?a22bc=78【解析】(1)利用正弦定理求解；

(2)利用余弦定理與三角形的面積公式求解．

本題考查正余弦定理的應用，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)因為A(1,0)，B(3,?2)，C(4,?1)，所以kAB=?2?03?1=?1，kBC=?1?(?2)4?3=1．

由kAB?kBC=?1，得AB⊥BC，

則過A，B，C三點的圓的圓心為線段AC的中點(52,?12)，半徑r=12|AC|=12(4?1)2+(?1?0)2=102，

則過A，B，C三點的圓的方程為(x?52)2+(y+12)【解析】(1)結(jié)合直線的斜率公式，以及直線垂直的性質(zhì)，兩點之間的距離公式，即可求解；

(2)結(jié)合平面向量的坐標運算，以及求出點F，再結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解．

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖可知，10×(0.01+0.015+a+0.025+0.03)=1，

解得a=0.02，

因為0.1+0.15+0.25=0.5<0.6，0.1+0.15+0.25+0.3=0.8>0.6，

所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)位于[80,90)，設(shè)其為x，

則0.5+(x?80)×0.03=0.6，

解得x=2503；

(2)由題可知，從分數(shù)在[50,60)內(nèi)的學生中抽取6×0.10.1+0.2=2人，記為A，B，

則分數(shù)在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為4，記為a，b，c，d，

從中任選2人，樣本空間Ω={(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，

(B,d)，(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)}，

這2人成績之差的絕對值大于10分的樣本空間R={(A,a)，(A,b)，(A,c)，(A,d)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(B,d)}，【解析】(1)利用頻率分布直方圖中各個小矩形的面積之和為1可求出a的值，再利用百分位數(shù)的定義求這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)即可；

(2)利用古典概型的概率公式求解．

本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，屬于中檔題．20.【答案】解：(1)因為PA⊥平面ABC，AB⊥BC，過B作平行于AP的直線Bz，

所以以B為坐標原點，BC，BA，Bz所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設(shè)AP=a，由AC=2BC=4，得B(0,0,0)，A(0,23,0)，P(0,23,a)，C(2,0,0)．

因為F是PC的中點，所以F(1,3,a2)，

所以AF=(1,?3,a2)，BP=(0,23,a)，

又因為AF⊥PB，所以AF?BP=?6+a22=0，

解得a=23，所以AP=23；

(2)由(1)可知，F(xiàn)(1,3,3)，

所以AF=(1,?3,3)，AB=(0,?23,0)，AC=(2,?23,0)，

【解析】(1)建立空間直角坐標系，設(shè)AP=a，由AF?BP=0建立方程，求解即可；

(2)求出平面ABF和平面AFC21.【答案】解：(1)當n=1時，a1=S1=2，

當n≥2時，由Sn=(n?1)2n+1+2，得Sn?1=(n?2)2n+2，

則an_=Sn?Sn?1=(n?1)2n+1?(n?2)2n=n×2n，

因為a1=2=1×21，

所以【解析】(1)由已知結(jié)合數(shù)列的和與項的遞推關(guān)系即可求解；

(2)先求數(shù)列{n+2n+1a22.【答案】解：(1)易知橢