常見函數(shù)圖象的對稱性及其重要推論

第1頁共8頁常見函數(shù)圖象的對稱性及其重要推論一、幾種常見函數(shù)的圖象的對稱性：⑴一次函數(shù)與常數(shù)函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其中直線上的所有點(diǎn)都是它的對稱中心，與該直線相互垂直的直線都是它的對稱軸.⑵二次函數(shù)(a≠0)：是軸對稱，不是中心對稱，其對稱軸為直線x＝－.⑶三次函數(shù)：(a≠0)是中心對稱，對稱中心是.此結(jié)論可用圖象變換法證明如下：假設(shè)其對稱中心為(m,n)，按向量將其圖象平移，則所得函數(shù)是奇函數(shù)，有，化簡得＝0，此式對x∈R恒成立，所以，得，，即其對稱中心是.⑷反比例函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，其對稱中心是原點(diǎn)，對稱軸是y＝±x.⑸冪函數(shù)：冪函數(shù)中的奇函數(shù)是中心對稱，對稱中心是原點(diǎn)；冪函數(shù)中的偶函數(shù)是軸對稱，對稱軸是y軸；其他冪函數(shù)不具對稱性.⑹正弦函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，對稱中心為(kπ,0)(k∈Z)，對稱軸為(k∈Z).正弦型函數(shù)既是軸對稱又是中心對稱，對稱中心為(，0)(k∈Z)，對稱軸為(k∈Z).⑺余弦函數(shù)：既是軸對稱又是中心對稱，對稱中心為(,0)(k∈Z)，對稱軸為(k∈Z).⑻正切函數(shù)：是中心對稱，不是軸對稱，(,0)(k∈Z)是它的對稱中心.⑼對勾函數(shù)是奇函數(shù)，所以是中心對稱，原點(diǎn)是它的對稱中心.二、常見的兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對稱性：⑴函數(shù)與的圖象關(guān)于x軸對稱⑵函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱⑶函數(shù)與的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱⑷函數(shù)與且的圖象關(guān)于直線對稱三、同一函數(shù)圖象自身的對稱性性質(zhì)1：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.我們可用解析法證明：設(shè)是圖象上的任意一點(diǎn)，有，它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.在中，令，可得，所以有＝＝＝，即點(diǎn)也在圖象上，從而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.上述性質(zhì)1中，若，則可得以下推論1.1：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.進(jìn)而當(dāng)時(shí)，又可得以下推論1.2：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有(等價(jià)于)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.特別的，當(dāng)時(shí)，從推論1.2可得如下推論1.3：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有，則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.這就是偶函數(shù)的性質(zhì).性質(zhì)2：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.我們可以用這樣一種思路來證明：既然函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有，那么函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)與的坐標(biāo)之間就存在著這樣的關(guān)系：，＝＝，也就是說，點(diǎn)是點(diǎn)P和點(diǎn)的中點(diǎn)，由x的任意性和中心對稱的定義可知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.相應(yīng)的，我們可以得到：推論2.1：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有＝，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.推論2.2：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有＝2b－(等價(jià)于)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.推論2.3：如果函數(shù)對定義域內(nèi)任意x恒有，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.這就是奇函數(shù)的性質(zhì).四、兩個(gè)函數(shù)圖象之間的對稱性性質(zhì)3：函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.我們不妨用圖象變換法來證明.因?yàn)椋?，＝，所以，將函?shù)的圖象按向量得到的圖象，將函數(shù)的圖象按向量得到的圖象.由軸對稱的定義易證函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱，與的圖象也關(guān)于y軸對稱，從而函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.相應(yīng)的，我們可以得到：推論3.1：函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱.推論3.2：函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱.推論3.3：函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱.性質(zhì)4：函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.我們可以用解析法來證明.在函數(shù)的圖象上任取一點(diǎn)，則.點(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為.所以＝-＝＝＝，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上.所以，函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.相應(yīng)的，我們可以得到：推論4.1：函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)