【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第I卷（選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第I卷的文字說(shuō)明一、單選題1．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．已知圓和兩坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)分別為，則的面積為A．4 B．2 C． D．3．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且在軸上的射影為，若，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．4．棱長(zhǎng)均為2的正三棱柱中，頂點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．5．古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓．后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，且滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．6．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，，G為重心，且滿足，線段交橢圓C于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B．C． D．7．已知圓，直線上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框的邊長(zhǎng)是，矩形框中，它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子，分別在線段和上移動(dòng)，則的長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．若是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是（）A． B．C． D．10．已知圓，點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)A在圓外B．點(diǎn)是的定點(diǎn)C．已知，過(guò)點(diǎn)B作圓的最短弦長(zhǎng)為D．過(guò)點(diǎn)作圓:的切線，則的方程為11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，C上一點(diǎn)到和到軸的距離分別為12和10，且點(diǎn)位于第一象限，以線段為直徑的圓記為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．的準(zhǔn)線方程為C．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為D．若過(guò)點(diǎn)，且與直線為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明三、填空題12．已知向量，且，則的值為．13．已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.14．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為?，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是.四、解答題15．已知空間三點(diǎn)，設(shè)(1)求；(2)若向量與互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值.16．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，，(1)若直線與直線平行，求m的值；(2)若直線與直線垂直，求m的值.17．動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)D（1，0）的距離與到直線：的距離相等，動(dòng)點(diǎn)P形成曲線記作C．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程（2）過(guò)點(diǎn)Q（4，1）作曲線C的弦AB，恰被Q平分，求AB所在直線方程.18．棱柱的所有棱長(zhǎng)都等于4，，平面平面，.（1）證明：；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，求出點(diǎn)的位置.19．動(dòng)點(diǎn)Mx,y到直線與直線的距離之積等于，且.記點(diǎn)的軌跡方程為.(1)求的方程；(2)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，，上是否存在點(diǎn)滿足?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：題號(hào)12345678910答案ADCADBDCABDABC題號(hào)11答案ACD1．A【分析】由向量共線的坐標(biāo)表示，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解析】因?yàn)?，，，，，，．故選：A．2．D【分析】本題首先可以令解出以及令解出，然后求出圓在軸上截得的弦長(zhǎng)以及與軸的公共點(diǎn)，最后求出的面積．【解析】令，得，解得，令，得，解得所以圓在軸上截得的弦長(zhǎng)為，與軸的公共點(diǎn)為，所以的面積為，故選D．【小結(jié)】本題考查的是圓的相關(guān)性質(zhì)，主要考查圓與兩坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)，能否通過(guò)圓與兩坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)找出的底和高是解答本題的關(guān)鍵，是簡(jiǎn)單題．3．C【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合列式解得，進(jìn)而可求，即可得漸近線方程.【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，聯(lián)立方程,解得，即，又因?yàn)?，則，即，整理可得，解得或（舍去），又因?yàn)?，故所求漸近線方程為．故選：C．4．A【分析】根據(jù)正三棱柱的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立合適空間直角坐標(biāo)系，先求解出平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)求得結(jié)果.【解析】取中點(diǎn)，根據(jù)正三棱柱的幾何特征，以為原點(diǎn)，分別以過(guò)平行于方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，因?yàn)檎庵睦忾L(zhǎng)均為，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，所以，取，則，所以，設(shè)到平面的距離為，且，所以，故選：A.5．D【分析】設(shè)Px,y，根據(jù)題意求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分，結(jié)合圖形分析可知圓心角，即可得結(jié)果.【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)Px,y，因?yàn)?，即，整理得．所以?dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心、4為半徑的圓的一部分．設(shè)圓與線段交于點(diǎn)，與線段交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥校?，，則，可知，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．故選：D．6．B【分析】由和G為重心判斷出，再利用求出，借助橢圓定義求出，最后勾股定理建立等式解出離心率即可.【解析】如圖，連接并延長(zhǎng)交于，連接.由得，即，所以，又G為重心，所以是等腰三角形，，由得，，又由橢圓定義.，即，化簡(jiǎn)得，故離心率為.故選：B.7．D【分析】首先得到圓的圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可得，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再由直線與圓有交點(diǎn)，圓心到直線的距離不大于半徑得到不等式，解得即可.【解析】圓，則圓心為，半徑，

因?yàn)?，在中，，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即圓心為，半徑，又直線上存在點(diǎn)，所以直線與有交點(diǎn)，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．8．C【分析】利用題設(shè)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得，得到，代入坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得，再進(jìn)行雙二次配方，即可求得其最小值.【解析】如圖，因平面平面，且平面平面，又矩形，則，又平面，則平面，因正方形，故可以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，連結(jié)，設(shè)，設(shè)，則，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)取得最小值.故選：C.9．ABD【分析】利用空間基底的定義以及空間向量共面定理依次判斷可得結(jié)論.【解析】由于是空間的一個(gè)基底，所以不共面，對(duì)于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對(duì)于B，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底；對(duì)于C，由于，因此這三個(gè)向量是共面的，不能構(gòu)成基底.對(duì)于D，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個(gè)基底.故選：ABD10．ABC【分析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心及半徑，根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離判斷A,再根據(jù)直線求出定點(diǎn)判斷B,應(yīng)用幾何法求過(guò)點(diǎn)B的最短弦長(zhǎng)判斷C,根據(jù)點(diǎn)在圓外有兩條切線判斷D.【解析】圓的圓心為，半徑為，A選項(xiàng)，，得出點(diǎn)A在圓外，A正確；B選項(xiàng)，直線，過(guò)定點(diǎn)，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)弦垂直于時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，最短弦長(zhǎng)為，C正確；對(duì)于D，點(diǎn)在圓外，過(guò)A點(diǎn)作圓的切線有2條，還有一條直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，D錯(cuò)誤.

故選：ABC.11．ACD【分析】根據(jù)已知及拋物線定義可判定AB，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得圓心坐標(biāo)及半徑可判定C，求出直線方程，利用直線與圓相交求出弦長(zhǎng)可判定D.【解析】選項(xiàng)A：因C上一點(diǎn)到和到軸的距離分別為12和10，由拋物線定義可知，，故A正確；選項(xiàng)B：準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，由到軸的距離分別為10，所以，則，即，又，所以圓心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)橹本€為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線，所以，所以直線的方程為，又圓心到直線的距離為，所以，故D正確；故選：ACD.12．【分析】由空間向量垂直坐標(biāo)表示可得答案.【解析】因，則.故答案為：13．6【分析】取中點(diǎn)，則，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求OP的最小值即可.【解析】如圖：取中點(diǎn)，因?yàn)?，圓的半徑為2，所以，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，.，由點(diǎn)到直線距離公式，得：，所以，所以.故答案為：614．【分析】首先根據(jù)題意，利用向量變形得，如圖在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，再結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到，然后在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理即可求解.【解析】因?yàn)椋?，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以AF2=a，，故點(diǎn)與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故答案為：.

【小結(jié)】方法小結(jié)：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．(1)(2)或【分析】（1）先求出的坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即得；（2）先求出和，再利用向量垂直的充要條件列出方程，代入化簡(jiǎn)計(jì)算即得k值.【解析】（1）由題意，，則；（2）由（1）可得因向量與互相垂直，則得：，解得，或.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可求出結(jié)果；（2）根據(jù)可求出結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)橹本€AC與直線BD平行，所以，所以，經(jīng)檢驗(yàn)兩直線不重合，所以（2）因?yàn)橹本€AC與直線BC垂直，兩直線斜率均存在，所以，所以，17．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）用作差法求得直線AB的斜率即可.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義知:點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為的拋物線，即，所以軌跡方程是；（2）設(shè)，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，①-②得：，即，又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，直線的斜率，直線的方程為，即.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且使.【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合，即可證得；（2）分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，解向量的夾角公式，即可求解；（3）設(shè)，求得的坐標(biāo)和平面的法向量，結(jié)合，求得，即可得到結(jié)論.【解析】由題意，連接交于，則，連接，在中，，，，∴，∴，∴，由于平面平面，所以底面，所以以、、所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，（1）由于，，，則，∴.（2）設(shè)平面的法向量，則，即，取，可得，同理，可得平面的法向量，所以，又由圖可知成鈍角，所以二面角的平面角的余弦值是.（3）假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，使平面，設(shè)，，則，得，，設(shè)平面，則，設(shè)，得到，不妨取，又因?yàn)槠矫?，則即得.即點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且使.【小結(jié)】本題主要考查了空間向量在線面位置關(guān)系的判定與證明中的應(yīng)用，以及直線與平面所成角的求解，其中解答中熟記空間向量與線面位置關(guān)系的關(guān)系，以及線面角的求解方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.19．(1)(2)存在點(diǎn)，使得.【分析】（1）利用點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于建立方程，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.（2）假設(shè)存在點(diǎn)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及題目條件得到點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，利用點(diǎn)在雙曲線上即可得到結(jié)果.【解析】（1）因?yàn)閯?dòng)