【19題結(jié)構(gòu)】 第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點(diǎn)擊修改第I卷的文字說明一、單選題1．拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B． C． D．2．若直線與平行，則（

）A． B． C． D．23．在平行六面體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則（

）A． B．C． D．4．如圖所示，已知直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，且，，，，分別是，，的中點(diǎn)，則異面直線，所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．已知是直線上一點(diǎn)，，分別是圓和上的動點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．“康威圓定理”是英國數(shù)學(xué)家約翰·康威引以為豪的研究成果之一．定理的內(nèi)容是這樣的：如圖，的三條邊長分別為，，．延長線段至點(diǎn)，使得，以此類推得到點(diǎn)和，那么這六個(gè)點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱為康威圓．已知，則由生成的康威圓的半徑為（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過的直線交雙曲線的左支于，，的內(nèi)切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．2二、多選題9．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若是空間任意四點(diǎn)，則有B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C．若共線，則D．對空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)，若（其中），則四點(diǎn)共面10．已知點(diǎn)，直線，圓，則（

）A．直線的一個(gè)方向向量為B．點(diǎn)到直線的距離為C．圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為D．直線被圓截得的弦長為11．已知橢圓C：，，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．橢圓離心率為 B．C．若，則的面積為9 D．最小值為第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知，，分別是平面的一個(gè)法向量，則三個(gè)平面中互相垂直的有對．13．已知圓的方程是，則圓心的軌跡方程為.14．“若點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓在點(diǎn)P處的切線平分的外角”，這是橢圓的光學(xué)性質(zhì)之一.已知橢圓，點(diǎn)P是橢圓上的點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線為直線l，過左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為M，則的最小值為.四、解答題15．已知圓經(jīng)過和兩點(diǎn)，且圓心在直線上．(1)求圓的方程；(2)從點(diǎn)向圓C作切線，求切線方程．16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，M是AD的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面ADE；(2)求直線CM與平面DEN所成角的正弦值．17．已知拋物線的焦點(diǎn)為是曲線上的一點(diǎn)，且．（1）求的方程；（2）直線交于A、B兩點(diǎn)，且的面積為16，求的方程．18．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，點(diǎn)M在線段EC上．(1)若M為EC的中點(diǎn)，求證：平面ADEF；(2)求證：平面平面BEC；(3)若平面BDM與平面ABF所成二面角的余弦值為，求AM的長．19．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作斜率為的直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)若，求點(diǎn)到直線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若點(diǎn)，直線分別交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.參考答案：題號12345678910答案CACDCAAABCDBC題號11答案BCD1．C【分析】寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出準(zhǔn)線方程.【解析】由題意，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：C.2．A【分析】根據(jù)直線平行列式求解，并代入檢驗(yàn)即可.【解析】由題意可得：，解得，若，則直線、，兩直線平行，綜上所述：.故選：A.3．C【分析】設(shè)，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算表達(dá)，再聯(lián)立求解即可.【解析】設(shè)則.所以，，所以.故選：C4．D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系求異面直線，所成角的余弦值即可.【解析】解：連接，，，并且，的中點(diǎn)為，因?yàn)榈酌媸橇庑危?，又因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?，所以底面，又因?yàn)?，所以底面，所以?以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示）.則，，，，，于是，，，所以，，設(shè)異面直線，所成角為，則.故選：D【小結(jié)】5．C【分析】結(jié)合點(diǎn)關(guān)于直線的對稱可知的最小值，再根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線距離的最值可得的最小值.【解析】圓，則圓心，，圓，則圓心，，因?yàn)椋瑒t兩圓心在直線的同側(cè)．又圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，則兩圓在直線的同側(cè)且與直線相離，如圖所示，圓心關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號成立；即的最小值為.故選：C．6．A【分析】根據(jù)與所成角的余弦值列方程，求得外接球的半徑，進(jìn)而求得外接球的表面積.【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，由于是外接球的直徑，所以，，所以，所以，所以，所以，，設(shè)與所成角為，則，整理得，所以外接球的表面積為.故選：A

【小結(jié)】方法小結(jié)：求解外接球有關(guān)問題，關(guān)鍵是找到球心并計(jì)算出半徑；求解異面直線所成的角，可以利用幾何法來求解，也可以利用向量法來進(jìn)行求解.7．A【分析】利用弦長相等，，圓心與弦所在直線距離相等，得圓心是直角的內(nèi)心，從而易求得圓半徑．【解析】因?yàn)?，即，所以為直角三角形，且，設(shè)是圓心，因?yàn)椋虼说街本€的距離相等，從而是直角的內(nèi)心，作于，連接，則，，所以，即由生成的康威圓的半徑為．故選：A．8．A【分析】根據(jù)內(nèi)切圓于，可設(shè)，進(jìn)而得，結(jié)合，可得，進(jìn)而得，求得，判斷出，由焦點(diǎn)三角形求得，即可求解.【解析】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，即，則,設(shè)，則，則，由，即，則，則，，則，故，同理得，故，故，則，故，則，則.故選：A

【小結(jié)】方法小結(jié)：橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．9．BCD【分析】利用向量加法運(yùn)算判斷A；利用共線向量定理判斷B；利用向量共線的意義判斷C；利用共面向量定理判斷D.【解析】對于A，，A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，不存在，B錯(cuò)誤；對于C，共線，可以在同一條直線上，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，四點(diǎn)不共面，D錯(cuò)誤.故選：BCD10．BC【分析】對于A：根據(jù)方向向量與斜率之間的關(guān)系分析判斷；對于B：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離運(yùn)算求解；對于C：根據(jù)圓的性質(zhì)分析求解；對于D：根據(jù)題意利用垂徑定理求弦長.【解析】由題意可知：圓的圓心為，半徑.對于選項(xiàng)A：若直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，但直線的斜率為，兩者相矛盾，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：點(diǎn)到直線的距離，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)閳A心到直線的距離，故直線被圓截得的弦長為，故D錯(cuò)誤．故選：BC．11．BCD【分析】由橢圓方程得到的值，根據(jù)離心率的公式可判斷A，根據(jù)橢圓的定義可判斷B，根據(jù)勾股定理和橢圓的定義可得到，從而由三角形面積公式可判斷C，由基本不等式可判斷D．【解析】由橢圓方程可知，，所以橢圓的離心率，故A錯(cuò)誤；由橢圓定義知，故B正確；又，因?yàn)?，所以，∴，解得，所以的面積為，故C正確；∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴最小值為，故D正確．故選：BCD．12．0【分析】根據(jù)面面垂直的空間向量方法只需判斷是否垂直，即判斷是否等于.【解析】因?yàn)椋?，，所以中任意兩個(gè)都不垂直，即中任意兩個(gè)都不垂直．故答案為：13．【分析】將圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程可得出圓心坐標(biāo)為，再根據(jù)表示圓的條件消去參數(shù)即可得圓心的軌跡方程.【解析】因?yàn)榉匠瘫硎緢A，即表示圓,所以，解得,易知圓心坐標(biāo)為，且，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則有，消去，得即為所求圓心的軌跡方程.故答案為：14．【分析】利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形三線合一的推論與中位線定理分析得點(diǎn)的軌跡為圓，再利用點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最值求法即可得解.【解析】因?yàn)闄E圓，所以，，即，如圖，延長、交于點(diǎn)，由題意可知，又因?yàn)?，則為的中點(diǎn)，且，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，故點(diǎn)的軌跡為以為原點(diǎn)，為半徑的圓，圓的方程為，易知點(diǎn)到圓心的距離為，所以的最小值為.故答案為：.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)小結(jié)：本題解決的關(guān)鍵是，利用橢圓的性質(zhì)分析得點(diǎn)的軌跡是圓，從而得解.15．(1)(2)或【分析】(1)根據(jù)弦的中垂線過圓心,聯(lián)立過圓心的兩條直線方程可確定圓心坐標(biāo)，即可求解;(2)根據(jù)直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑即可求解.【解析】（1）由題可知,所以線段的中垂線的斜率等于1，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以線段的中垂線的直線方程為，即，聯(lián)立解得，所以圓心又因?yàn)榘霃降扔?所以圓的方程為.（2）設(shè)圓的半徑為，則，若直線的斜率不存在，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線方程為，此時(shí)圓心到直線的距離，滿足題意;若直線的斜率存在，設(shè)斜率為，則切線方程為，即，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，解得，所以切線方程為，即.所以切線方程為或.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知線面關(guān)系，證明平面，有，又可證，可證得平面；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面角的正弦值.【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，由，知，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，又，平面，所以平面．（2）平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，故，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值．17．（1）；（2）【分析】（1）將代入得，再根據(jù)拋物線的定義可得，即可求得拋物線的方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線，根據(jù)斜率公式和韋達(dá)定理以及三角形的面積公式，即可求解．【解析】（1）由題意，將代入，得，又，解得，∴拋物線的方程為．（2）直線的斜率顯然存在，設(shè)直線，由，得，所以，又由，解得，∴直線方程為，所以直線恒過定點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離，∴，所以，解得，所以直線的方程為．【小結(jié)】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等．18．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去證明平面ADEF；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去證明平面平面BEC；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求AM的長．【解析】（1）平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，由，可得平面ABCD，則DA，DE，DC兩兩垂直，如圖建系，則，，，，，．由M為EC的中點(diǎn)，知，則．又平面ADEF的一個(gè)法向量為．因?yàn)?，所以．又因?yàn)槠矫鍭DEF，所以平面ADEF．（2）由（1）可知，，，．設(shè)平面BDE的法向量為，平面BEC的法向量為．由，令，得．由，令，得．因?yàn)?，所以，所以平面平面BEC．（3）設(shè)，，，計(jì)算得，則．設(shè)平面BDM的法向量為．由，令，得．易知平面ABF的法向量為．由已知，得，解得，此時(shí)，所以，則，即AM的長為．19．(1)(2)(3)存在；【分析】（1）由點(diǎn)到線的距離公式即可求解；（2）直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解；（3）聯(lián)立直線方程得出坐標(biāo)，再由斜率公式結(jié)合三點(diǎn)共線求解即可.【解析】（1）由雙曲線方程，可得，當(dāng)，的方程為：，點(diǎn)到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離為；（2）設(shè)直線方程為：，，則，所以，即：，①聯(lián)立