藝考生專題講義02 復(fù)數(shù)

考點(diǎn)02復(fù)數(shù)知識(shí)梳理1．復(fù)數(shù)的概念(1)虛數(shù)單位ii是虛數(shù)單位，滿足i2＝－1；i和實(shí)數(shù)在一起進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立．(2)復(fù)數(shù)的概念形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．把復(fù)數(shù)表示為a＋bi(a，b∈R)的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．(3)復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)，即a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Z，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z的模(或絕對(duì)值)，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)．2．復(fù)平面從復(fù)數(shù)的定義可以知道，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a，b)唯一確定，這樣我們可以用建立了直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)．當(dāng)用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)時(shí)，我們稱這個(gè)直角坐標(biāo)平面為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸稱為虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．在復(fù)平面內(nèi)，表示兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱．3．復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的模表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值：|z|＝eq\r(a2＋b2).4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．5．復(fù)數(shù)的運(yùn)算常用結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.(5)設(shè)ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，則|ω|＝1；1＋ω＋ω2＝0；eq\x\to(ω)＝ω2.6．復(fù)數(shù)的幾點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大?。?2)利用復(fù)數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時(shí)，注意a，b，c，d∈R的前提條件．(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來．例如，若z1，z2∈C，zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立．7．?dāng)?shù)系的發(fā)展自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R以及復(fù)數(shù)集C之間關(guān)系為NZQRC精講精練題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)復(fù)數(shù)z＝eq\r(2)＋i的共軛復(fù)數(shù)為________．(2)設(shè)x∈R，則“x＝1”是“復(fù)數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的________．①充分不必要條件②必要不充分條件③充分必要條件④既不充分也不必要條件答案(1)eq\r(2)－i(2)③解析(1)∵z＝eq\r(2)＋i，∴eq\x\to(z)＝eq\r(2)－i.(2)由純虛數(shù)的定義知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x＋1≠0，))?x＝1，選③.舉一反三(1)已知i為虛數(shù)單位，a∈R，若(a－1)(a＋1＋i)是純虛數(shù)，則a的值為________．(2)設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i，則|z|＝________．答案(1)－1(2)eq\f(\r(2),2)解析(1)∵(a－1)(a＋1＋i)＝(a2－1)＋(a－1)i是純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0,a－1≠0))，∴a＝－1.(2)∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2).方法總結(jié)1.處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問題來處理．復(fù)數(shù)問題的實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)相等的充要條件和復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算及性質(zhì)．2.解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．題型二復(fù)數(shù)的幾何意義例2設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\f(2i,1－i)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第____象限.答案第二象限解析eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2ii－1,2)＝－1＋i，由復(fù)數(shù)的幾何意義知－1＋i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(－1,1)，該點(diǎn)位于第二象限.舉一反三設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋i，則z1z2＝________．答案－5解析∵z1＝2＋i在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，1)，又z1與z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則z2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.方法總結(jié)1.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系，即z＝a＋bi(a，b∈R)?Z(a，b)?.2.由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀．題型三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算例3若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則z＝________．答案1－i解析∵eq\f(\x\to(z),1－i)＝i，∴eq\x\to(z)＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.舉一反三設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1－i)(1＋2i)等于________．答案3＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3