2024-2025學年德州市高一數(shù)學上學期期中考試卷及答案解析

高一數(shù)學試題

主考學校：寧津一中

本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，第I卷1-2頁，第n卷3-4頁，

共150分，測試時間120分鐘.

注意事項：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷選擇題(共58分)

一、選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合要求的.)

1,已知集合"3=卜，―2%—3<0},則zn5=()

A.{0,1}B.{0,2}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】先解集合8中的不等式，再根據(jù)交集的定義計算即可.

【詳解】由2x—3<0,得(x+l)(x—3)<0,解得—l<x<3,

所以408={0,1,2},

故選：D.

2.命題TaeR,函數(shù)/(x)=必-是奇函數(shù)”的否定是()

A.VaeR,函數(shù)/(x)=x，-口必是偶函數(shù)

B.VaeR,函數(shù)/(x)=/—不是奇函數(shù)

C.3aeR,函數(shù)/(x)=x，-口必是偶函數(shù)

D.3aeR,函數(shù)/(x)=d—不是奇函數(shù)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定的定義，可得結果.

【詳解】FaeR,函數(shù)是奇函數(shù)”的否定是：

“VaeR,函數(shù)/(x)=d—a/不是奇函數(shù)”.

故選：B.

3.用二分法研究函數(shù)/(x)=/—2x+2的零點時，通過計算得：/(-1)>0,/(-2)<0,則下一步應

計算/(xj,則玉=()

537

A.0B.----C.----D.----

424

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)二分法的原理即可判斷即可.

【詳解】因為/(-1)>0,/(-2)<0,且函數(shù)/(力=》3—2X+2圖象連續(xù)不斷，

所以函數(shù)/(力=/一2x+2在區(qū)間(一2,—1)內有零點，

_i_2Q

所以下一步應計算/(xj，X]=---=--,

故選：C.

4.已知函數(shù)/(x)=j〃x_2),x20.則/⑴=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式直接求值即可.

【詳解】由題意，/(1)=/(1-2)=/(-1)=-1-1=-2,

故選：A

5.下列命題中正確的是()

,tz+1a,11

A.若Q>b>0,則——>-B.右a>b,貝U—<一

b+1bab

,八ab

C.若Q>0,d>c>0,則一〉一D.若。>6,c>d,貝——d

cd

【答案】C

【解析】

【分析】舉例說明可判斷B,D；作差法結合不等式的性質可判斷A,C.

b(a+l)-a(b+l)b-a

【詳解】對于

A,b[b+\)b[b+\)

因為a>6>0,所以b—a<0,b(b+l)>Q,

對于B,若a=3,b=-2,則L；,-=所以_L〉L,故B錯誤；

a3b2ab

-—abad-be

對于C,-------=----------,

cdcd

因為Q>6>0,d>c>0,所以Qd>bc>0,所以〃d—bc>0,

dhnh

所以----->0,即一〉一，故C正確；

cdcd

對于D,若Q=5,b=4,c=3,d=1,

則Q—C=2,b—d=3,所以〃——故D錯誤.

故選：C.

6.已知/(x)是定義在(—8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)=x--,則不等式獷'(x)20

X

的解集是()

A.(-l,0)U(0,l)B.[-l,0)u[l,+<z>)

C.(-cc,-l]o[l,+oo^D.(-co,-l)u(l,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質完善函數(shù)解析式，根據(jù)定義域分段解不等式即可.

【詳解】當x>0時，#(x)=x^x-1^|=x2-l,由題意得》2—120,解得X21;

設x<0,則—X>0,所以/(—x)=-x------=-x—，

-XX

因為/(X)是定義在(―8,0)U(0,+8)上的奇函數(shù)，

所以/(力=-/(一力=一—XH---二X——

XX

當x<0時，rf(x)=xx~T,由題意得好一120，解得x4-1；

所以力⑺之o的解集是(-OO,—I]3L+℃)，

故選：C.

7.若使4x+l—加20成立，則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-8,6]B,C,(-w,-3]D.[1,6]

【答案】A

【解析】

【分析】將存在性問題轉化為最值問題，利用二次函數(shù)的單調性求最值，列不等式，求解即可.

【詳解】設函數(shù)/(x)=f—4x+l—加，

因為[-1,4],使X?-4x+l-〃z20成立，

所以/(x)在區(qū)間[T4]上的最大值?0,

因為二次函數(shù)/(x)=/-4X+1-機的開口向上，對稱軸方程為X=2,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間上單調遞減，在[2,4]上單調遞增，

因為卜1-2|〉|4-2|,結合二次函數(shù)的對稱性可知，

當x=—1時，函數(shù)/(X)取最大值，最大值/(x'x=620,解得加W6；

故選：A.

「n

—F3,x<0,

8.已知函數(shù)/(x)=x若存在實數(shù)左，使得函數(shù)g(x)=/(x)-上有4個不同的零點，則實

-x2+2x,x>0.

數(shù)上的取值范圍是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[0,1)D.(0,1]

【答案】B

【解析】

【分析】畫出函數(shù)y=/(久)的圖象，根據(jù)圖象可求解.

1,1

--F3,X<—

x3

【詳解】由題意，/(x)=j1,1--，

x3

-x2+2x,x>0

函數(shù)g(x)=/(x)-左有4個不同的零點，

O函數(shù)y=f(x)的圖象和直線V=左有4個交點,

函數(shù)y=/(x)的圖象如下：

由圖可知，當x<-g時，函數(shù)/(X)單調遞減，

當—g<x<0時，函數(shù)/(X)單調遞增，且/［一；］=0，

當OWx<l時，函數(shù)/(x)單調遞增，

當x>l時，函數(shù)/(x)單調遞減，且/。)=1；

所以實數(shù)上的取值范圍是(0,1).

故選：B.

二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.)

9.下列說法正確的是()

91

A.命題“\ZXER,廠一%+—>0”是真命題

4

B.命題“上:cR,使得/+1=O”是假命題

C.4=8是=4的充要條件

D.是集合/=卜|分+》+1=0｝中只有一個元素的充要條件

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A,由X=1時，不等式不成立可判斷；對于B,根據(jù)實數(shù)的平方的非負性可判斷；對于C,

2

根據(jù)集合間的包含關系和交集的定義可判斷；對于D,易得。=0時，集合A中只有一個元素，進而判斷.

【詳解】對于A,x1-x+—=[x-^-\,顯然x=1時，不成立，故A錯誤;

42）24

對于B,因為方程必=_1在實數(shù)集R上無解，所以不存在xeR,使得必+1=（）,故B正確;

對于C,當4口8時，可得Nn5=N,當幺口5=幺時，可得故C正確；

對于D,當。=—時，方程-1+》+1=（）的解為》=—2,此時集合A中只有一個元素，

44

當。=0時，方程a/+%+1=o為x+i=o,解得％=一1,

當QWO時，由A=l—4。=0,解得a——,

4

故集合/={x|渥+x+l=o}中只有一個元素，等價于。=0或。=,；故D錯誤;

4

故選：BC.

10.若x>0,y>0,且x+2y=l,則（）

21

A.孫的最大值是:B.一+—的最小值是8

4xy

C.必+4『的最小值是g1X?r-

D.一+1的最小值是1+2近

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式逐項判斷即可.

【詳解】對于A,因為x>0,y>0,由基本不等式得x+2y>2j9],即J再,

解得孫三,，當且僅當》=工，y=L時，等號成立，

824

所以孫的最大值是W，故A不正確；

對于B,因為x>0,y>0,

所以2+L(x+2/2+口」+電+422E^+4=8,

%yVxyJyxNyx

當且僅當V,V時，等號成立,

21

所以一+一的最小值是8，故B正確；

xy

對于C,因為x〉0,y>0,由x+2y=l,得(x+2y)2=i,

即x2+4y2+4xy=1,因為4盯<x2+4y2,

所以一+4_)?+》2+4>221,gpX2+4/>1,

當且僅當工=l，y=!時，等號成立，

2'4

所以—+4/的最小值是g,故C正確;

對于D,因為x>0,y>0,

1+￡=1+1-2,=1+1_2

XyXyXy

(11](、、

=(x+2y)—+—-2=二+殳+3-2

x

vy))

>2昌殳+3-2=2拒+1,

VJx

當且僅當》=五—1，y=l—注時，等號成立,

.2

1X/—

所以一+―的最小值是1+2也，故D正確.

xy

故選：BCD.

H.設xeR,歹=國稱為高斯函數(shù)，其中[可表示不超過尤的最大整數(shù)，例如：[-2.3]=-3,

[2.3]=2.若〃x)=x—[x],則()

A.7(2024.25)=0.25

B.函數(shù)/(x)的值域為[0,1)

C.若—l4[x|w3,則—l〈x<3

D.點集|(x+[刃2=1)所表示的平面區(qū)域的面積是4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義和函數(shù)的值域，分段函數(shù)的性質逐一分析即可.

【詳解】對于A：f(2024.25)=2024.25-[2024.25]=0.25,故A正確;

對于B：/(x)=x-[x]e[0,l),故B正確;

對于C：當x=3.8時，[3.8]=3,滿足—l4[x]<3,但x=3.8>3,故C錯誤;

[x]=o[%]=±1

對于D：[xT+[y]2=1的解為,或?

1刃=±1、3=0，

[x]=0

當《「11時，0<％<1,14歹<2或—14歹<0,

〔3=±1

w=±i

l〈x<2或一0<y<1,

當W=o時,

所以點集｛（》4）1［》『+［匕|2=1｝所表示的平面區(qū)域的面積是4,故D正確.

故選：ABD.

第n卷非選擇題（共92分）

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

12.函數(shù)八x）=曲二匚的定義域為

x-1

【答案】［—2,1）。（1,2］

【解析】

【分析】由題可列出不等式組，解之即得.

【詳解】要使函數(shù)有意義,

4—X**...0

須滿足《

X—1H0

解得-2<x<2且xwl,

故函數(shù)/（X）的定義域為[-2,-1）口（-1,2].

故答案為：[-2,1）U。,2].

13.若關于x的不等式必+（°-1）》+1>0的解集為區(qū)，則實數(shù)a的取值范圍為.

【答案】（-1,3）

【解析】

【分析】利用二次函數(shù)的圖象與性質列不等式，求解即可.

【詳解】由題意，對于方程f+（a—l）x+l=O,A=（G-1）2-4<0,

解得—1<"3,則實數(shù)。的取值范圍為（—1,3）,

故答案為：（-1,3）.

14.把一個集合“分成若干個非空子集4，4，L，4,如果滿足：①4n②

4Uau…U4=",那么這些子集的全體稱為集合〃的一個〃*劃分，記為{4,4，…，4}?若集合

M={1,2,3）,則集合四的一個2*劃分為;利用余數(shù)構造集合的劃分是解決子集中元素

整除問題的常用手段.設S為集合四={1,2,3,…,2024}的子集，并且S中任意兩個元素之和不能被3整

除，貝”中元素個數(shù)的最大值為.

【答案】①.{{1},{2,3}},{{2},{1,3}},{{3},{1,2}}（作答時，寫出一個即可）②.676

【解析】

【分析】根據(jù)“〃*劃分”的定義直接求集合川={1,2,3}的一個2*劃分即可；利用集合

初={1,2,3,…,2024}中元素被3除的余數(shù)構造集合的劃分，進而根據(jù)題意得S中元素個數(shù)的最大值。

【詳解】根據(jù)題意，若集合四={1,2,3},則集合/的2*劃分有：

{{1},{2,3}},{{2},{1,3}},{{3},{1,2}）（作答時，寫出一個即可）；

對于集合"={1,2,3,…,2024},

所有被3除余數(shù)為1的元素組成的集合為4={1,4,7,…,2023},元素個數(shù)為675；

所有被3除余數(shù)為2的元素組成的集合為4={2,5,8…,2024},元素個數(shù)為675；

所有能被3整除的元素組成的集合為4={3,6,9,--?,2022},元素個數(shù)為674；

由題意，5cTl/={1,2,3,???,2024},且S中任意兩個元素之和不能被3整除，

又因為，集合4中任意一個元素與集合4中任意一個元素之和能被3整除，

所以集合4中的元素和集合4中的元素不能都屬于集合S,

因為集合4中任意一個元素與集合4或與集合4中任意一個元素之和都不能被3整除，

且集合4中任意兩個元素之和都能被3整除，

所以當集合S中元素個數(shù)最多時，

集合s=4。{加}，其中^64；或者s=4。{機}，其中機?4；

故集合S中元素個數(shù)的最大值為676.

故答案為：{{1},{2,3}},{{2},{1,3}},{{3},{1,2}}（作答時，寫出一個即可）；676.

四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步

驟.）

15.已知集合2={引212-7x+320},j?={x|m+l<x<2m}.

（1）求集合QN；

（2）若ZU8=N,求實數(shù)制的取值范圍.

【答案】（1）=

（2）加W1或機22.

【解析】

【分析】（1）解不等式化簡集合A,再由補集運算即可得結果；

（2）根據(jù)集合間的包含關系對集合3是否為空集進行分類討論解不等式即可得出結果.

【小問1詳解】

解不等式2必—7x+3之0可得N=[xIx23或x<；

所以可得QN=xg<x<3:.

【小問2詳解】

由NU8=Z可得

當8=0時，可得機+122機，解得機W1,滿足題意；

當3/0時，可得機+1<2m,即加>1,

由3uZ可得m+123或2加〈,，解得7〃，2；

一2

綜上可得，實數(shù)切的取值范圍為加W1或機>2.

16.已知/(x)是二次函數(shù)，〃0)=-3且不等式/(x)<0的解集是｛x|—l<x<3｝.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)令g(x)=/(x)+(27)x,若函數(shù)g(x)在區(qū)間［-3,3］上的最小值為-15,求實數(shù)/的值.

【答案】(1)/(X)=X2-2X-3

(2)/=-7或/=7

【解析】

【分析】(1)根據(jù)/(x)<0的解集是｛N—l<x<3｝得a>0,/(-1)=/(3)=0,以及/(0)=—3,列

方程組，求解即可；

(2)由g(x)=/(x)+(2-。x,得g(x)=/-/x—3,根據(jù)對稱軸與區(qū)間［-3,3］的位置關系進行分類討

論即可.

【小問1詳解】

由題意，設/(%)=a/+力％+c,Q=0,

因為/(x)<0的解集是｛x|—1<X<3｝,所以a〉0,且—1和3是方程/(x)=0的解，

a>0

c=-3

又〃0)=-3,所以1,八，解得a=l,b=-2,c=—3,

''a-b+c=O

9a+3b+c=0

所以/(x)=x2-2x-3.

【小問2詳解】

22

g(x)=/(x)+(2-?)x=x-2x-3+(2-r)x=x-tx-3，

所以二次函數(shù)y=g(x)開口向上，對稱軸方程為：x=-,

①當;<—3,即/<—6時，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［—3,3］上單調遞增，

所以g(x)min=g(-3)=6+3f,由6+3/=—15,解得f=—7；

②當-3J<3,即一6<f<6時,

2

函數(shù)y=9。)在區(qū)間-3,；上單調遞減，在區(qū)間1,3上單調遞增，

所以g(x)mm=g］￡|=-彳―3,由—j—3=—15,

解得Z=±4#\不滿足—6<，<6,故舍去；

③當;23,即96時，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［—3,3］上單調遞減，

所以g(x)min=g(3)=6-37,由6-37=-15,解得/=7；

綜上所述，/=—7或f=7.

17.為了加強“平安校園”建設，保障師生安全，某校決定在校門口利用原有墻體，建造一間墻高為3米，

底面面積為40平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費

用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米500元，左右兩面新建墻體報價為每平

方米400元，屋頂和地面以及其他報價共計4800元，設屋子的左右兩面墻的長度均為尤米6).

(1)當左右兩面墻的長度為多少米時，甲工程隊整體報價最低，并求出最低整體報價；

(2)現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務室建造競標，其給出的整體報價為240°。°+%)元(°>0),若無論

x

左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，求。的取值范圍.

【答案】(1)當左右兩面墻的長度為5米時，甲工程隊整體報價最低，最低整體報價為28800元

(2)(0,476)

【解析】

【分析】(1)建立函數(shù)模型，利用基本不等式求最小值即可；

(2)不等式恒成立問題轉化為最值問題，利用基本不等式求最值即可.

【小問1詳解】

設工程隊的總造價為V元，

則y=312x400x+500x竺］+4800=2400、+力+4800,(1<%<6)；

25

因為x>0,—>0,所以由基本不等式得,

x

25

j=2400|x+—1+4800>24002x--4800=28800,

xx

25

當且僅當工=—,即x=5時，等號成立；

所以當左右兩面墻的長度為5米時，甲工程隊整體報價最低，最低整體報價為28800元.

【小問2詳解】

由題意得，24001x+—1+4800>2400a(1+x)口R

------------對任意xG[1,6]成山

x

日n+2x+25_(X+1)2+24

即a<--------------

x+1x+1

令f=x+l,貝

t2+2424i

所以a(土工^=/+上，對任意/?2r,7］成立;

74?4I-24「

又/+蘭22、/?2蘭4=4指，當且僅當/=一，即/=2卡時，等號成立;

24廣

貝|"+—的最小值為4加；

6.

18.定義在(—8,0)11(0,+℃)上的函數(shù)/(x)滿足：/(x)+/(j)=/(xj),當x>l時，/(x)<0.

(1)求/(-1)的值，判斷函數(shù)/(x)的奇偶性，并說明理由;

(2)判斷函數(shù)/(x)在(0,+。)上的單調性，并用定義證明;

(3)若/(2)=-4,解關于x的不等式/(2x-l)+8<0.

【答案】⑴/(-1)=0,函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，理由見解析;

(2)函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調遞減，證明見解析;

【解析】

【分析】⑴利用賦值法可求解〃-l),通過賦值構造/(X)和/(-X)的關系式，結合函數(shù)奇偶性的定義

可判斷奇偶性；

(2)利用賦值法構造/(苞)-/(%)的表達式，結合題意判斷符號，進而判斷單調性;

(3)利用賦值法得/(4)=-8,結合函數(shù)/(x)的單調性和奇偶性可解不等式.

【小問1詳解】

由題意知，函數(shù)/(x)滿足：/(x)+/(j)=/(%7)＞

令x=y=1,則/。)+/(1)=/(1)，解得/。)=0，

令x=y=—l,則/(一1)+/(—1)=/(1),解得/(—1)=0,

函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，理由如下：

由題意，函數(shù)/(x)的定義域為(-s,O)U(O,+s),

令)=一1,則/(x)+/(-l)=/(-x),即/(x)=/(-X),

所以函數(shù)/(X)為偶函數(shù).

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)在(0,+4)上單調遞減，證明如下：

任取電>再>0,令x=x-y=—

X]

/、(\

則/?)+/三

=f西?三即—

XX

\1JIxi7ll7

因為％2＞玉＞0,則二＞1,由題意知f—<0,

再lXl7

所以/(%)—/($)=/—<0,即/(%2)</(西)，

所以函數(shù)/(X)在(o,+力)上單調遞減.

【小問3詳解】

由/(2x—1)+8<0,得/(2x—1)<-8；

令x=y=2,則/(2)+/(2)=/(4),所以/(4)=—8,

因為函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，所以/(—4)=一8,

當x>0時，因為函數(shù)/(x)在(O,+e)上單調遞減，

所以由/(2x—1)<—8,得/(2x—1)</(4),即2x—1>4,解得x〉:；

因為函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，且函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調遞減，

所以函數(shù)/(x)在(V,0)上單調遞增，

當x<0時，由—8,得—4),

3

所以2x-1<-4,解得％<-于

綜上所述，不等式—1)+8<0的解集為1|x<-|或x〉：｝.

19.不動點原理是數(shù)學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理，用初等數(shù)學可以簡單的理解為：對于函數(shù)

/(X)在其定義域內存在實數(shù)%,使/(x0)=Xo成立，則稱X。是/(X)的一個不動點.

已知函數(shù)/(x)=ax2-(b+l)x+2-b(aw0),g(x)-mx-1.

(1)當a=l,6=2時，求函數(shù)/(x)的不動點；

(2)當。=2時，若函數(shù)/(x)有兩個不動點為占，x2,且0<西<1,x2>1,求實數(shù)b的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(x)的不動點為—1,2,且對任意王€[1,2],總存在々e[—1,1],使得/(xjg(x2)=l成

立，求實數(shù)切的取值范圍.

【答案】(1)0和4

⑵(1,2)

33

(3)m<——或加>—

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【解析】

【分析】(1)由不動點的定義解方程——4%=0即可求解；

(2)由不動點的定義可得2必—優(yōu)+2)x+2-6=0有兩個不相等的實數(shù)根不，x2,設

A(x)=2x2-(b+2)x+2-b，根據(jù)根的范圍列不等式組即可求解；

(3)由已知可得-1,2為方程ox?—伍+2)x+2-6=0的兩根，根據(jù)韋達定理可求解/(x)的解析式，

由/(xjg(%)=l可得卡J的值域是g(%)值域的子集，分機=0，機>0，機<0三種情況分別求解

即可.

【小問1詳解】

函數(shù)/(X)的不動點即為，(X)—X=。的實數(shù)根，

當。=1,6=2時，轉化為方程必―4x=o的實數(shù)根,

解得x=0或x=4,所以函數(shù)/(x)的不動點為。和4；

【小問2詳解】

由題意可得方程2x2-(b+l)x+2-b=