2024-2025學(xué)年度高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬試題2（含答案）

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期11月期中調(diào)研試題（2）

局一數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后,

再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.已知全集°=火，集合/={xU<xV3},B={x\x>2]貝（j/cCuB等于（）

A{x11<x<2}B{x|2<x<3}Q{x11<x<2}口{x11<x<3}

【答案】A

【分析】利用補(bǔ)集的定義求出集合B的補(bǔ)集；利用交集的定義求出

【詳解】解：???8={小>2},

二.以5={%[%<2}

A={x\\<x<3}

/.AACyB={%|1<九<2}

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的交集、補(bǔ)集、并集的定義進(jìn)行交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2,設(shè)a：x=2“〃eN）,px=4"（〃eN）,則a是尸的.

A.完分非必要條件.

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既非充分也不必要條件

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷命題的必要不充分條件

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：設(shè)'={x|x=2%〃eN},'={x|x=4〃,〃eN},所以呂口人，所以a是4必要非充分條件，故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵.比較基

礎(chǔ).

3.已知不等式a/+6x+c>0的解集為Q，3）,則+法+。>0的解集為（）

AWJB.

c.TTD.

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、由一元二次不等式的解確定參數(shù)

【分析】由題意可得2和3是方程以2+/+。=°的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理可得b=-5a,c=6a,從而

cY+bx+a>。轉(zhuǎn)化為6/-5工+1<0,解該一元二次不等式即可.

【詳解】解：?.?不等式辦2+6x+c>。的解集為（2,3）,

.-.2和3是方程辦2+6x+c=°的兩個(gè)根.

a<0

<-2=2+3

a

￡=2X3

...Ia,可得b=_5a,c=6q

ex?+法+々>o可化為^ax2-5ax+a>0,即6x2-5x+1<0,

11

即(3xT)(2x—l)<0,解得3<“<2.

故選:A.

4.已知°也,為實(shí)數(shù)，則()

ab

——〉一

A.若。。，貝！B.若226c2,貝ija>b

ab

一〈一

C.若cc,則ac<6cD.若則L

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)證明不等式

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐選項(xiàng)判斷即可.

ab

——〉——

【詳解】對(duì)于A,若cc,當(dāng)c<0時(shí)，根據(jù)不等式性質(zhì)。<6,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若w226c2,當(dāng)c=°時(shí)，°力大小無(wú)法確定，故B錯(cuò)誤；

ab

一<一

對(duì)于C,若cC,則CW°,。2>0,對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以則ac<a,故C正確;

對(duì)于D,若。<0時(shí)，a2>b\故D錯(cuò)誤，

故選：C.

5.已知函數(shù)〃x),g(x)是定義在尺上的函數(shù)，且/Xx)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，/(x)+g(x)=x2+ax,記

,,,“、2g(x)〃(XJ-/7(X2)<0

h(X)=XT(X)H；——-----------<U

■'X，若對(duì)于任意的都有玉-X2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.L口2,。］JB.(°，+8)c.-］D.(°，2］

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、函數(shù)方程組法求解析式

【分析】根據(jù)〃x)+g(x)解析式及〃x)，g(x)奇偶性，應(yīng)用函數(shù)方程組求它們的解析式，進(jìn)而可得力(X)=K?+2X

由題設(shè)易知〃(無(wú))在(1,2)上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求a的取值范圍即可.

j/(x)+g(x)-x2+axJ/(x)+g(x)=x2+axC/(x)=ax

［詳解］由題設(shè)有：［/(-x)+g(f)=(-x)2+a(-x),即［-/(x)+g(x)=(-x)2+a(-x),解得［g(x)=x\

.h(x)=ax2+2x

，G)一〃(無(wú)2)<0

對(duì)于任意的1"<三<2,都有國(guó)一無(wú)2,即函數(shù)為(x)=G?+2x在(1,2)上單調(diào)遞減，

a>0［Q<0

<1\1

——>2——<1

?；颉病?，解得aWT.

故選：C

mm

------1--

6.已知機(jī)>2〃>0,則加-2〃〃的最小值為(

A.3-2亞B.3+272C.2+3收D.3也-2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，心=(心一2")+2〃，將所求式子變形，利用基本不等式求解.

【詳解】由加>2〃>0,

.-.m-2n>0〃?=(俏-2")+2”

，，

.m+加_(加一2〃)+2〃+(加一2〃)+2〃_3+2n+m-2n>3+2A/2

m-2nnm-2nnm-2nn.

In_m-2n(廠、

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)-2〃n，即加一?+2,時(shí)等號(hào)成立.

故選：A.

~(^2+x)無(wú)《0

辦+色,尤>0

,若對(duì)力叩,3］,恒有14幾〃切&3,

7.已知函數(shù)則。的取值范圍是（)

9__r3_6_3_23

A-B，-25?~134^5~5~2

B.C.D.

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用、函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

14a<-2

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖像求出/G）e［T-2］恒成立，再根據(jù)函數(shù)的最值求得心?！?3即可.

【詳解】令一/（X）,因?yàn)?4/［〃切43,則14%）43,由/⑺的圖像可知一3M-2或1WfW2（舍），

則等價(jià)于-3"（X）W-2在Vxe［l,3］恒成立，由題意在xe［1,3］時(shí)，“*）-辦+》，

4、“4〃//

xH—24axHW4。

因?yàn)閄,當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)=2時(shí)，取等號(hào)，所以X；

"1）=53（3）=殍,“2）=4。

因?yàn)?,

產(chǎn)4—23<Q<1

所以/（、）的最大值為4〃，/（'）的最小值為5〃，所以可得卜。〉-3,得飛一0一2.

故選：D.

-J4x-x2,0<x<2

/。）=

2”31+—,x>2y=f(x)+~

8.函數(shù)/（X）滿足：當(dāng)x>0時(shí)，3,2是奇函數(shù).記關(guān)于x的方程

m7

/(x)-Ax+；=0(左￡R)￡/（a）=——

的根為再',…%，若I2,則上的值可以為（）

11175

A.18B.12C.4D.1

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍、求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

【分析】首先判斷函數(shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)'J對(duì)稱，再畫出函數(shù)/（X）和，一米-5的圖象，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，判斷

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.

【詳解】若函數(shù)”小心是奇函數(shù)，則9）+>一/3-；

即/（f）+/（x）=T,則函數(shù)/（X）關(guān)于點(diǎn)J對(duì)稱，所以"°）一一5

y=kx-^-UIT

而2也關(guān)于點(diǎn)I2J對(duì)稱，恒過(guò)點(diǎn)I2）,

f（x）—kx+—=0y=kx——

方程'2根，即為函數(shù)、=/（%）與-2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

［。，-；］一［。，-；］一［。，-；］

因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)I對(duì)稱，所以交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)I對(duì)稱，且其中一個(gè)交點(diǎn)是（2）,

如圖畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象,

V軸左側(cè)和右側(cè)各有3個(gè)交點(diǎn)，如圖,

,17

y=kx--k——

當(dāng)直線2過(guò)點(diǎn)4,時(shí)，V軸右側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)12,

當(dāng)直線>一依一'過(guò)點(diǎn)G")k=-

時(shí)，>軸右側(cè)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)4,

5175

所以滿足條件的人的取值范圍是14'12,選項(xiàng)中滿足條件的只有a.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確分析出函數(shù)/(X)的圖象，尤其是5,并且會(huì)利用數(shù)形結(jié)合，分

析臨界直線，即可求解.

二'多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選

對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知》,y是正實(shí)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是()

11

--1---

A.若x+?=2,則xV有最小值2

B.若x+P=3,則x"+l)有最大值5

C.若4x+y=i,貝產(chǎn)a+6有最大值也

尤J上19

D.4x>有最小值4

【答案】AC

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求積的最大值、基本不等式求和的最小值、條件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值

【分析】將已知轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式可判斷ABCD選項(xiàng)。

.「+!=!6+))〃+」=12+上+」

[詳解]對(duì)于A,x>0；夕>0,x+y=2,無(wú)y2y)2^xy)

x+y=2

邛+2?-1+1

21,當(dāng)且僅當(dāng)〔xy,即x=7=l時(shí)取等號(hào)，則X了有最小值2,故A正確；

I--|2

/、X+G+1)~

/.^+^+1=4.\x(j+l)<——----=4

對(duì)于B,門>0,了>°,x+y=3,L2J,

(x+y=3

當(dāng)且僅當(dāng)量=了+1,即x=2,y=l時(shí)取等號(hào)，則xQ+1)有最大值4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于Cvx>0y>04x+y=i或+6)=4x+y+4向=1+2X2>/L6

++=l+4x+y=2.-.0<24x+y[y<y[2

‘4x+y=1.

當(dāng)且僅當(dāng)I26=方，即*8，J2時(shí)取等號(hào)，則則2五+6有最大值"，故C正確；

^+Z+l=^+￡+±+±>44kZ.±.±=2-=^=—=—

對(duì)于D,xy4x2y2y\4x2y2y,當(dāng)且僅當(dāng)4x2y2y；即x=2,y=l時(shí)取等

故D錯(cuò)誤；

故選：AC

10,已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿足"f)=/(x)+2xj(°)=2,且y=/(x+l)T為奇函數(shù)，則()

A./(-1)=-3B.函數(shù)>=/(x)+x的一個(gè)周期為4

19

c/(2024)=-2022D石/⑴一⑸

【答案】BCD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B,令g(x)=/(x)+]可判斷其為偶函數(shù)，再結(jié)合

?=/(x+l)T為奇函數(shù)，可求出其周期判斷，對(duì)于c,利用g(x)的周期分析判斷，對(duì)于D,由

/(x+2)+/(x)=2(1-x),利用并項(xiàng)求和判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椋?「(x+l)T為R上的奇函數(shù)，所以/(°+DT=°,所以/(D=l,

因?yàn)?r)="x)+2x,所以/(-1)=/(1)+2=1+2=3,所以人錯(cuò)誤，

對(duì)于B,令g(x)=/G)+x,因?yàn)椤?-x)=/(x)+2x,

所以/(f)-x=/(x)+x,所以g(_x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，

因?yàn)榱?/卜+1)-1為R上的奇函數(shù)，

所以/(-尤+l)_l+/(x+l)_l=0,即1(一x+l)+/(x+l)=2,

所以/(x+2)+/(-x)=2,所以/(x+2)+x+2+/(_x)_x=4,

所以g(r)+g(x+2)=4,所以g(x)+g(x+2)=4,

所以g(x+4)+g(x+2)=4,所以g(x)=g(x+4),

所以g(x)是以4為周期的周期函數(shù)，即函數(shù)夕=/(苫)+”的一個(gè)周期為4,所以B正確，

所以/(2024)+2024=g(2024)=g(0)=/(0)=2,

所以，、)，所以C正確,

對(duì)千D因?yàn)?(r)=/(x)+2x/(%+2)+/(-%)=2

所以/4+2)+/(x)+2x=2,''

所以“x+2)+/(x)=2(l-xj,

所以/(2)+/(0)=2xl,/(l)+/(3)=2x0；/(4)+〃6)=2x(-3),

/(5)+”7)=2x(-4)'/(8)+/(10)=2x(-7)/(9)+/(11)=2x(-8)

/(12)+/(14)=2x(-11)/(13)+/(15)=2x(-12)

/(16)+/(18)=2x(-15),/(17)+/(19)=2x(-16).

1919

S/(o=-/(o)+E/(o

所以Ii=0

=—2+2x(1+0—3—4—7—8—11—12—15—16)=—152所以D正確

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查利用賦值法求抽象函數(shù)的值，考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)已知的關(guān)系式合理賦值求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題.

y(x)=X-3

11.已知函數(shù)X2-X-2,則下列命題正確的有()

A,產(chǎn)/=T右一個(gè)立相

A.方程2有二個(gè)頭根

B.方程2尸⑺?/00+2=0有四個(gè)實(shí)根

C..—?飛()),方程，[/(切=加有四個(gè)實(shí)根

D“I,”),方程/["x)]=〃有兩個(gè)實(shí)根

【答案】ACD

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)

【分析】用判別式法，把'''一x?-x-2看成關(guān)于x的方程，求出根的情況，再根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)得到,(X)需要滿足

的條件，并進(jìn)行判斷.

【詳解】由"“)―*2(無(wú)工2且心-1),有/(XA-[”X)+1]X-2/(X)+3=0①,

X=2或-1都不滿足方程①，

/(x)=°時(shí)，方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

2

“力0時(shí)A=[/(X)+1]-4/(X)[-2/(X)+3]=[9/(X)-1][/(X)-1]

或"X)>1時(shí),方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

““)一3或"x)=i時(shí)，方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

-<y(x)<i

9時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，

/■「fixW=___"")-3___=35

對(duì)于A選項(xiàng)，令，2(X)-/G)-22,解得/(x)=0或三，

/@)二0時(shí).方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根.3時(shí).方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

f\f(x)~|=—

所以L」2有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，2匹)-5小)+2=0即[2/(尤)-山3-2卜。，解得小)1或2,

而時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，/(x)=2時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以2尸(x)一5/(》)+2=°有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故B錯(cuò)誤；

/「/(x)]=2/4(x)/、——=m<0，/、

對(duì)于C選項(xiàng)，/(x)-/G)-2時(shí)，"x)對(duì)應(yīng)有兩個(gè)值，

_<0

[/(x)-2][/(x)+l]./(x)與一1、2、3比大小.

求得/(》)<T或2</(x)<3,此時(shí)每一個(gè)/(X)的值都對(duì)應(yīng)兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

所以V加e(-雙0),方程/["x)]=%有四個(gè)實(shí)根，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，小3]="1,"x)對(duì)應(yīng)有兩個(gè)值，

此時(shí)不妨讓/(x)對(duì)應(yīng)的值一個(gè)在一個(gè)在(1，+8),

1_6

/(X)對(duì)應(yīng)的值其中一個(gè)取3時(shí).5

13

則，°)一3或5,此時(shí)方程/[/(*)]="有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故D正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查復(fù)合函數(shù)以及分式方程根的情況，關(guān)鍵是把二次分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，討

論二次項(xiàng)系數(shù)是否為°以及A的符號(hào)，來(lái)判斷方程根的情況.

12.已知集合4="廳-5》-1440},集合3={x[m+l<x<2m_l},若B=則實(shí)數(shù)加的取值范圍為.

【答案】(一叫可

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)

【分析】求得集合"={X124XW7},根據(jù)8包“，分8=0和8*”兩種情況討論，即可求解，得到答案.

【詳解】由題意,集合/={X|X2-5X—1440}={X|-24X47}

當(dāng)5=0時(shí)，則加+122加-1,解得冽(2；

m+1>-2

v2m-1<7

當(dāng)83.時(shí)，若B=4,如圖所示：則滿足〔加+1<2加T,解得2〈機(jī)W4.

綜上，加的取值范圍為(一咫町.

上....1.

2

~m+l2m-17"

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合間的關(guān)系及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)集合間的包含關(guān)系，合理分類討論是解答的關(guān)

鍵，同時(shí)忽視8=°是解答本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知函數(shù)/('一1)=/一4》，則〃2x+l)=.

【答案】4/一4

【知識(shí)點(diǎn)】已知，(g(x))求解析式

【分析】利用換元法求得/⑺=/一2/-3,即可求得答案.

［詳解］令/=x-l,/eR,;.x=/+l,故由/'(X_1)=X2-4X,

可得/?)=(/+1)2-4(?+1)=/一2/」3,

所以f(2x+1)=(2x+1)2-2(2x+1)-3=4X2-4

故答案為：4/-4

—

14.已知。，6均為正數(shù)，^ab-a-2b=Q,則4ab的最小值為.

【答案】7

【知識(shí)點(diǎn)】條件等式求最值、柯西不等式求最值

21

--1--

【詳解】b均為正數(shù),且仍口〃口26=0,'=1.

則4ab=4+b2ni.

￡仁+邛@+/”q

2+6=1。b八2)=a26+222+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,6=2時(shí)取等號(hào).

且(*

???(4+〃)(i+i)>2>16,當(dāng)且僅當(dāng)°=4,6=2時(shí)取等號(hào).

4+人2次，

/2/1a2

--------+b————

4a6=4+Z,2QI>7.故選B.

點(diǎn)睛：本題考查“乘1法”、基本不等式的性質(zhì)、柯西不等式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知集合cl￡集合ri￡

(1)當(dāng)"?=_4時(shí)，求McN,M(JN.

(2)當(dāng)McN=M時(shí)，求實(shí)數(shù)加的值以及集合N.

［答案］a)MnN=0,MUN={-l,2,4}；⑵加=2,r{1,2}

【知識(shí)點(diǎn)】交集的概念及運(yùn)算、根據(jù)交集結(jié)果求集合或參蠢、并集的概念及運(yùn)算

【分析】(1)首先求得集合“，當(dāng)旭=-4時(shí)，解一元二次方程求得集合N,由此求得McN,MuN.

(2)根據(jù)McN=W得到〃■是N的子集，將初中元素代入集合N,由此求得機(jī)的值.

【詳解】(1)由題意得屈={2}.

當(dāng)心=-4時(shí)，一部2一3》一4=0}={一1,4},.AmN=0,-UN={—l,2,4},

(2);McN=M,；.A/qN/..M={2},：.2WN,

A,n…cjV=ir|x2-3x+2=01={l,2}

4A一6+加=0,解得冽=2ClJIJ

16.某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中

16

釋放的濃度V（單位：毫米/立方米）隨著時(shí)間'（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，8-x.

y=5—x

當(dāng)4<xW10時(shí)，.2.若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放

的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作

用.

（1）若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？

（2）若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑"4）個(gè)單位的消毒劑，要使接下來(lái)的4小時(shí)中能夠

持續(xù)有效消毒，試求。的最小值（精確到0」，參考數(shù)據(jù)：C取1.4）

【答案】（1）8小時(shí)；（2）1.6

【分析】（1）由4y24可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)題意求出從第一次噴灑起，經(jīng)“（6VXV10）小時(shí)后，其濃度關(guān)于x的函數(shù)解析式，再根據(jù)基本不等式求

出其最小值，再由最小值不低于4,解不等式可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的消毒劑，

64

--------4,0<x<4,

/(x)=4y=-8—x

所以其濃度為20-2x,4<x<10,

644一

-------4>4

當(dāng)0?xW4時(shí),8—x,解得xNO,此時(shí)0VxW4,

當(dāng)4<xK10時(shí)，20—2x24,解得xW8,此時(shí)4<xW8,

所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí).

（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)*（6"'"1°）小時(shí)后,

1]16,s16。-16〃

g(x)=2|5—x+ci—1=10—XH-----------CL=14-XH-----------6Z-44

其濃度卜2J8-(x-6)14-x14-x

因?yàn)?4re[4,8],a6[1,4]

14-x+-^——a-4>2./(14-x)--^——a-4=8Va-a-4

所以14-xV)14-x

l4_x=l^_

當(dāng)且僅當(dāng)14-x,即x=14_4jae[6,10]時(shí)，等號(hào)成立；

所以其最小值為86-。-4,由8&-”424,解得24-16亞

所以a的最小值為24-16&-1.6.

2,

17.已知函數(shù)x+1.

（1）若“=o,判斷了（x）在m+°°）上的單調(diào)性，并用定義法證明；

（2）若存在使得6+1）/6）+如“成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）若對(duì)任意的“電町，任意的ae[T+e）,/（X）-G-3）X+'?（）恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

【答案】（1）/（無(wú)）在D+s）單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（2）5.（3）XV5

【分析】（1）當(dāng)。=°時(shí)，寫出函數(shù)/（*）的解析式，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可證得結(jié)論成立；

X2X2

—as-----y-------

（2）由參變量分離法可得x+1,求出函數(shù)x+1在[0,4]上的最大值，即可求得實(shí)數(shù)。的取值范圍；

1，1，

-----a+----------（2-3）x+2>0g（a）=-----------------（/l-3）x+2

（3）由已知可得出x+1、+1''，令-x+1x+1'',可得出

g（"）min=XT-（X-3）X+X20,再令2）=（4-/1.+彳-1,根據(jù)仇4展0,可求得實(shí)數(shù)X的取值范圍.

_"x）=￡

【詳解】（1）證明：當(dāng)"=°時(shí)，x+1,

任取X1、/e[0,+s）,且%>國(guó)，

貝產(chǎn)一占>0,石.+1>0x+1>0XX+玉+>0

929x2，

X；X；_x2(x+1)-%12(x+1)_(x-x)(xx+Xj+x)

/62）-/（再）=21221122>0

x2+1x1+1(x2+1)(^+1)6+1)61+1)

所以，，（％）>，（再），所以，函數(shù)/GO在[°，+°°）單調(diào)遞增.

（2）解：由題f+a+axN。，因?yàn)閤w[o,4],貝“Wx+145,

2

一%

a

所以，"（x+l）'",即~x+\；

_x2

由（1）知，函數(shù)'一》+1在[°，田單調(diào)遞增,

X216

y=---y

所以,當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)x+1取最大值，即24+1

1616

~a^y^=—,a--~7

所以,5,則5,

16)

--5+09

因此,實(shí)數(shù)。的取值范圍是L5A

(3)解：對(duì)任意的"3町，任意的“e'),/()()恒成立,

1-

---a+-----(?l-3)x+2>0

即X+1X+1,

令g(a)=&+&(fA，

1<^<1'

因?yàn)?時(shí)，5x+12,

r2_1

g(aL=-----(A-3)x+2=x-l-(A-3)x+2>0

所以，（4T）X+"1N0對(duì)任意的xe口用恒成立，

p/（l）=4-2+2-l=3>0

令力。）=（4-6+”1,則〃（4）=4（4々）+八1=15-3人0,解得花5,

所以，實(shí)數(shù)力的取值范圍是（-8,5].

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法:

（1）取值：設(shè)不、龍2是所給區(qū)間上的任意兩個(gè)值，且玉</；

（2）作差變形：即作差/（不）一）（工2）,并通過(guò)因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號(hào)的方向變形；

（3）定號(hào)：確定差/（再）一/々2）的符號(hào)；

（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.

即取值T■作差一變形一定號(hào)Tk下結(jié)論.

18.已知函數(shù)/（x）=--2fx+l（feR）.

（1）若）（X）在（一叫2）上單調(diào)遞減，求力的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)/（X）在區(qū)間[一2，一口上的最小值為g（'）,求g（‘）的表達(dá)式；

（3）對(duì)⑵中的g（'），當(dāng)xeH』，'eM時(shí)，恒有/一〃叱-3*8（。成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

5+At,tV—2

g（/）=v2+2/,t—1

002

【答案】⑴2+）；（2）[l-t,-2<t<-l_（3）-2<rn<2

【知識(shí)點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求二次函數(shù)的值域或最值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍、

函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

【分析】（1）求出函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

（2）分區(qū)-2、t2-1、-2<t<-l三種情況討論，分別求出，（x）mm,即可得解；

（3）結(jié)合（2）求出g（‘）的值域，則當(dāng)恒有/一ax-3V。成立，令Mx）=x?一刃x—3,則

"(x)max-0,再分加2。、機(jī)<。兩種情況討論，分別求出'Gliax,即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=*-2/x+lGeR)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為尤=乙

若/(x)在(-°°，2)上單調(diào)遞減，則出2,即Z的取值范圍為I?，+00)；

(2)因?yàn)?(')="2—2笈+1=(工一%)+1—〃xe[-2,-1]

當(dāng)，<-2時(shí)，/(')在[—2，-1]上單調(diào)遞增，所以"亡"-2)=5+&

當(dāng)/>-1時(shí)，,(X)在卜2,-1]上單調(diào)遞減，所以"X)皿="一1)=2+/

當(dāng)一2</<—1時(shí)，，(x)血"=，。)=1一J

5+4/,t<—2

g?)=<2+2t,t>-1

所以[1-產(chǎn)，-2</<一1；

⑶當(dāng)作卜1，1]時(shí)g(，)=2+2，則g(/)e[0,4],

因?yàn)楫?dāng)xe[T』]]e[T[]時(shí)，恒有--7nx-妊g(/)成立,

所以當(dāng)xe[T1],恒有/_加工_340成立，

令k(x)=x-mx-3,xe[-l,l]則〃(x)1mxWO,

m

>Q

當(dāng)2一，即俏20時(shí)，〃(x)max='(—1)=機(jī)—240,解得所以0VN42；

2<0

當(dāng)2,即"2<0時(shí)，4GOmax=力(1)=一加_2<0,解得機(jī)2—2,所以—2W加<0；

綜上可彳V2,’

19.已知/(X)定義域?yàn)镽的函數(shù)，若對(duì)任意私"€定Qn,m,nes,均有/(機(jī))-/(〃)eS,則稱〃x)是$關(guān)聯(lián).

(1)判斷和證明函數(shù)〃x)=2x+l是否是[0,+s)關(guān)聯(lián)?是否是01]關(guān)聯(lián)?

(2)若"X)是⑶關(guān)聯(lián)，當(dāng)xe[0,3)時(shí)，〃%)=/-2%，解不等式：2</(x)<3.

(3)證明：“"X)是｛1｝關(guān)聯(lián)，且"X)是｛3｝關(guān)聯(lián)”的充要條件為“"X)是工2]關(guān)聯(lián)”.

【答案】(1)函數(shù)〃x)=2x+l是[0,+8)關(guān)聯(lián)，不是[?！籡關(guān)聯(lián)，證明見(jiàn)解析；

⑵[1+V3.5].

(3)證明見(jiàn)解析.

【知識(shí)點(diǎn)】充要條件的證明、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、解分段函數(shù)不等式、函數(shù)新定義

【分析】(1)根據(jù)給定的定義，S分別為[0,+8)、[0,1]時(shí)，求/(再)一/02)的取值區(qū)間即可判斷作答.

(2)根據(jù)給定條件，可得/(x+3)-/(x)=3,再結(jié)合已知函數(shù)分段解不等式并求并集作答.

(3)利用給定的定義，利用推理證