2024-2025學(xué)年貴州省部分學(xué)校高三年級上冊聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（適合新高考2卷使用）含解析

2024-2025學(xué)年貴州省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

（適合新高考2卷使用）

、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.已知線段2B是圓。的一條長為4的弦，貝必。AB（）

A.4B,6C,8D.16

——=]

2.已知雙曲線石一裾一的焦距為4,則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（）

A/3A/673S

A.A/3B.可C.可D.二

3.貴州省的安順黃果樹瀑布、荔波小七孔、西江千戶苗寨、赤水丹霞、興義萬峰林、銅仁梵

凈山組成了貴州文旅的拳頭產(chǎn)品“黃小西吃晚飯”，也是水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們也擁

有著歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一

幟，馳名在外?這六大景區(qū)中，其中在貴陽市周圍有3處?小吳和家人計(jì)劃今年暑假從這6個景

點(diǎn)中挑選2個去旅游，則只選一個貴陽市周圍的概率為（）

2314

A.5B.5C.5D.5

lab\lab\_

4.形如用我們稱為，，二階行列式，，，規(guī)定運(yùn)算d\-aa-DC,若在復(fù)平面上的一個點(diǎn)/對

Izl—i\_.

應(yīng)復(fù)數(shù)為Z,其中復(fù)數(shù)Z滿足ll+2i1I-1,則點(diǎn)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)坐標(biāo)為（）

A.（3,2）B,（2,3）C,（-2.3）D.⑶-2）

5.已知等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為無,命題p：“口5>°,。6>°”，命題q："57>0”，則命題

P是命題勺的（）

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

6.函數(shù)丫=久/（久）是定義在R上的奇函數(shù)，且f。）在區(qū)間[。，+8）上單調(diào)遞增，若關(guān)于實(shí)數(shù)t的不

/a。"）+f（logit）>2/（2）

等式3恒成立，貝族的取值范圍是（)

A限)U(9,+8)B,(哺U(3,+⑹c,(9,+oo)口.(總

7.《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉腌?如圖，在鱉席P-4BC中，

P41平面ABC,ABLBC,PA=48=2BC=2,以C為球心，避為半徑的球面與側(cè)面PAB的

交線長為()

8.已知函數(shù)"㈤='Mx+asinx-^a>若九⑺在區(qū)間(O,m)(neN*)內(nèi)恰好有2022個零

點(diǎn)，貝W的取值可以為()

A.2025B.2024C.1011D.1348

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9已知函數(shù)fO)=s譏(2%+20)(0<w<》,得-%)=魔+%),則()

B/(1-x)=-/(=+%)

C./(久)在的2)上單調(diào)遞減

7T

D"O)的圖象向左平移五個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱

io.已知/Q)是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意》,yeR都滿足

/(%)-2=/(x+y)-/(y),且/0+1)為偶函數(shù)，則下列說法正確的是()

A./(0)=2B./O)為奇函數(shù)C./。)是周期函數(shù)D.

23/⑺=48

11.空氣質(zhì)量指數(shù)4Q/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，4Q/指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其

對應(yīng)關(guān)系如表：

4Q/指數(shù)值0-5051-100101—150151—200201?300>300

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

如圖是某市12月1日-20日4Q/指數(shù)變化趨勢：下列敘述正確的是（）

A.這20天中4Q/指數(shù)值的中位數(shù)略高于10°

1

B.這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占疝

C.該市12月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.集合［O，y）|x+yW2,xeN,y€N｝子集的個數(shù)是.

13.已知（2獷2_/尸展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則其展開式中“4的系數(shù)為.（用數(shù)字

作答）

14.若直線丫=2K為曲線y=+b的一條切線，則.的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題15分）

2cosA—cosBb

在A4BC中，角A,B,。所對的邊分別為b,c,cosc+i=?

⑴證明:C=2A.

（2）記邊和BC上的高分別為也和若也：&=L?判斷△4BC的形狀.

16.(本小題15分)

黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一?它與

Xs-1

函數(shù)f⑴=三">0,5>l'S為常數(shù))密切相關(guān)，請解決下列問題：

(1)當(dāng)s=2時，求/(X)在點(diǎn)(1)(1)處的切線方程；

(2)當(dāng)s>2時，證明f(x)有唯一極值點(diǎn).

17.(本小題曲分)

如圖，三棱錐P—4BC的平面展開圖中，ABLBC,P/=4B=m，P2A=AC=4

P[C=2",￡'為「2”的中點(diǎn).

(1)在三棱錐P—ABC中，證明：BELAC.

(2)求二面角P—BC-4的余弦值.

18.（本小題15分）

為不斷改進(jìn)勞動教育，進(jìn)一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)抽取3人做問

23

卷調(diào)查?已知某單位有N名員工，其中M是男性，M是女性.

（1）當(dāng)N=20時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布,現(xiàn)在全市

范圍內(nèi)考慮?從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的

概率記作P］；有二項(xiàng)分布中（即男性員工的人數(shù)*?8（3，|）男性員工恰有2人的概率記作「2?那

么當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤差不超過0.001（即01一°2<的前提下認(rèn)為超幾何分

布近似為二項(xiàng)分布?（參考數(shù)據(jù)：巡河=24.04）

19.（本小題17分）

如圖，各邊與坐標(biāo)軸平行或垂直的矩形力BCD內(nèi)接于橢圓E：/+其中點(diǎn)4,

B分別在第三、四象限，邊4°,BC與x軸的交點(diǎn)為Mi,

（1）若力B=BC=1,且"1,時2為橢圓E的焦點(diǎn)，求橢圓E的離心率；

（2）若是橢圓E的另一內(nèi)接矩形，且點(diǎn)勺也在第三象限，若矩形48CD和矩形

的面積相等,證明：3產(chǎn)+1。甸2是定值,并求出該定值；

（3）若4BCD是邊長為1的正方形，邊力B,CD與y軸的交點(diǎn)為“3,M4,設(shè)

「儲”1，2，…,10。）是正方形4BCD內(nèi)部的100個點(diǎn)，記勰蟲二陽用，其中k=l,2,3,

4.證明：di,d2,d3,中至少有兩個小于81.

2024-2025學(xué)年貴州省部分學(xué)校高三上學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題

（適合新高考2卷使用）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

-?-?

1.已知線段4B是圓。的一條長為4的弦，貝?丁加一（）

A.4B,6C.8D.16

【正確答案】C

解：已知線段力B是圓。的一條長為4的弦，

「「=門門?郎<一>=|riri=|ri2=2x4=8

故選：

直接利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出結(jié)果.

本題考查的知識點(diǎn)：向量的數(shù)量積運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

Ui

2.已知雙曲線3病的焦距為4,則該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為（）

V6A/39

A.A/3B.可C.至D.~

【正確答案】B

Ui

解：因?yàn)殡p曲線3屆的焦距為4,

所以3+/=22,

解得爪2=1,

可得雙曲線的方程為石—y=i,

3=0

所以該雙曲線經(jīng)過一、三象限的漸近線的斜率為一百.

故選:B.

由雙曲線的焦距可得3+爪2=4,求得雙曲線的方程和所求漸近線的斜率.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.貴州省的安順黃果樹瀑布、荔波小七孔、西江千戶苗寨、赤水丹霞、興義萬峰林、銅仁梵

凈山組成了貴州文旅的拳頭產(chǎn)品“黃小西吃晚飯”，也是水鄉(xiāng)風(fēng)貌最具代表的城鎮(zhèn)，它們也擁

有著歷史文化底蘊(yùn)、清麗婉約的水鄉(xiāng)古鎮(zhèn)風(fēng)貌、古樸的吳儂軟語民俗風(fēng)情，在世界上獨(dú)樹一

幟，馳名在外?這六大景區(qū)中，其中在貴陽市周圍有3處.小吳和家人計(jì)劃今年暑假從這6個景

點(diǎn)中挑選2個去旅游，則只選一個貴陽市周圍的概率為()

2314

A.5B.5C.5D,5

【正確答案】B

2

解：小吳和家人從這6個景點(diǎn)中挑選2個去旅游，共有%=*種選法，

而只選一個貴陽市周圍有心或=9種選法，

9_3

則只選一個貴陽市周圍的概率為退=匚.

故選：B.

根據(jù)古典概型相關(guān)知識可解.

本題考查古典概型相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

4.形如12我們稱為“二階行列式”，規(guī)定運(yùn)算借dl=ad~bC,若在復(fù)平面上的一個點(diǎn)4對

Iz1—ii_.

應(yīng)復(fù)數(shù)為Z,其中復(fù)數(shù)Z滿足ll+2i11=1,則點(diǎn)4在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)坐標(biāo)為()

A.(3,2)B,(2,3)C,(-2,3)D,(3,-2)

【正確答案】A

解：由題意可得：z-(l+2i)(l-i)=z-(3+i)=i,

貝［jz=i+(3+i)=3+2i,

所以點(diǎn)a在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)坐標(biāo)為(32).

故選：4.

根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得Z=3+21,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析求解.

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知等差數(shù)列｛(｝的前幾項(xiàng)和為“,命題P：命題q：“57>0”，則命題

P是命題《的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】D

解：由。5>。,?6>°,不能推出S7>0,

例如勺=九—4,則。4=°,。5=1>°,。6=2>0,

所以$7=7&4=°,

故命題p是命題q的不充分條件；

由$7>。，不能推出。5>0,a6>o,

例如“n=9—2n,則<24=1,a5--1；a6--3^

所以$7=744>°,。5<°,。6<°,

故命題p是命題q的不必要條件；

綜上所述：命題P是命題q的既不充分也不必要條件.

故選：D.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

本題考查充分條件，必要條件等相關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題.

6.函數(shù)丫=無/0)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)在區(qū)間［。，+8)上單調(diào)遞增，若關(guān)于實(shí)數(shù)t的不

f(log3t)+/(Zo^it)>2八2)

等式3恒成立，貝族的取值范圍是()

A(0)|)U(9,+8)B.(崎U(3,+⑹c,(9,+oo)D限)

【正確答案】A

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=￡f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以〃久)是定義域R上的偶函數(shù)，

又因?yàn)閒O)在區(qū)間［。，+8)上單調(diào)遞增，且

fa。93。+f(logit)=f(log3t)+f(-log3t)=2f(log3t)>2/(2)

3,

所以"。")>/(2),即|/og3tl>2,

解得log3t>2或log3t<-2,

所以t>9或

所以t的取值范圍是嗚口(9,+8).

故選：4

根據(jù)函數(shù)y=x/(x)是定義在R上的奇函數(shù)得出/(W是偶函數(shù)，把不等式化為>/(2),

即"og3tl>2,求解不等式即可.

本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈?如圖，P

在鱉IfP-ABC中，P4_L平面力BC,AB1BC,PA=AB=2BC=2,以\\

C為球心，平為半徑的球面與側(cè)面P4B的交線長為()\\

A

B

A.4

B.4

A/3TT

C.三

yj2n

D.h

【正確答案】B

解：因?yàn)镻AJ■平面力BC,AB、BCu平面ABC,

所以P41BC,PAIAB,

因?yàn)榱IBC,PACtAB=A,PA、力Bu平面P4B,

所以8C1平面PA8,

r\

如圖所示，設(shè)DE為球C與平面P2B的交線，

則CD=CE=W,BC=1,

所以8。=BE=宿

r\

所以DE所在的圓是以B為圓心，并為半徑的圓，

因?yàn)镻4=AB^PA1AB,

所以所以弧DE的長為3X"=亨.

故選：B.

由題意可得BC1平面P4B,找出交線，計(jì)算弧長即可得.

本題主要考查了線面垂直的判定定理，考查了球的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

8.已知函數(shù)以久）=C°s2x+asinx~^a~1），若/i（x）在區(qū)間（0刀兀）（幾eN*）內(nèi)恰好有2022個零

點(diǎn)，貝小的取值可以為（）

A.2025B,2024C.1°UD.1348

【正確答案】D

解：因?yàn)楹瘮?shù)以久）=c。s"+as/x_；（a2：）,

2

所以〃"）=—sin%+asinx+|(a>|)

令s譏久=tG[-1,1],則9(t)=—產(chǎn)+at+:a/

21

由9(t)=0,得T+耐+2=°,即2t2-2at-l=0,

顯然△=4a2—4x2x(—1)=4(a2+2)>0,即方程2產(chǎn)_2at_1=0,

有兩個不等的實(shí)數(shù)根%t2(G<t2),

_1

當(dāng)a=5時，則方程為2t2——1=0,

_17177r1171

解得”=-5,《2=1,此時力=S譏%在（0,2捫上有2,T,工，即有3個實(shí)根，

而2022=674x3,因此；九兀二674X2兀=1348兀，貝|Jn=1348；

111

當(dāng)a"時，g（-l）=-l-a+-<0）5（1）=-1+a+->0；則—1<“<0,七>1,

此時t=s譏久在（0,2汨上恰有2個實(shí)根，

而2022=1011X2,于是九兀=1011x2TT=2022TT或九兀=1011X2兀+冗=2023加，

因此九=2022或2023.

所以n的取值可以為2022或2023或1348.

故選：D.

1121n

令=按a=5，a>5,分類探討一元二次方程一，十就十5=°根的情況，再結(jié)

合正弦函數(shù)的性質(zhì)，求解即得.

本題考查換元法的應(yīng)用及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題題.

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知函數(shù)/。）='出（2*+20）（（）<0<今，/（￡一無）=/（"+”）,貝心）

J叫

BJGF—G+W

C./（%）在加5）上單調(diào)遞減

D"（久）的圖象向左平移《個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱

【正確答案】BCD

解：因?yàn)楹瘮?shù)八嗎=s譏(2x+29)(0<a<今的圖象的一條對稱軸方程為X=聯(lián)，

所以"2s=/OT+pez),卬=畀/ez),

因?yàn)椤?lt;94,所以3="即"x)=s出(2%+六

對于A，(°)=s嗚=3,/錯誤；

對于也因?yàn)?(X)圖象的一個對稱中心為6°),所以3正確：

對于c,當(dāng)xe(潁時，+

所以八乂)在(五)上單調(diào)遞減，c正確；

7T

對于。，八功的圖象向左平移五個單位長度后，

所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為八"+》=S譏［2(x+曲+芻=COS2%,

顯然y=f(久+《)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，。正確.

故選：BCD.

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題..

10.已知八乃是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，對于任意x,yeR都滿足

/(x)-2=/(x+y)-/(y),且八乂+1)為偶函數(shù)，則下列說法正確的是()

A./(0)=2B"(久)為奇函數(shù)C.f。)是周期函數(shù)D.

￡3歡)=48

【正確答案】ACD

解：對于4由對于任意乙丫67?都滿足/0)-2=，0+/)—/?0),

令x=y=0,則/■(())=2,所以/正確；

對于B,令y=-x,可得/■(久)-2=f(0)-f(一久)，gp/(x)+/(-x)=4,

所以函數(shù)/(%)關(guān)于點(diǎn)(°，2)對稱，所以2錯誤；

對于C,由人尤+1)為偶函數(shù)，知fO)關(guān)于直線尤=1對稱，即fO)=f(2-久)，

可得/0)=-f(,x+2)+4,

則-f(%+2)=f(x+4)-4,所以/■(久)=/(x+4),

所以函數(shù)/。)的周期為7=4,故C正確；

對于。，令x=y=2,則/(2)=2,

可得f(l)+f(2)+f⑶+/(4)=/(I)+/(2)+/(-I)+/(0)=8,

2424

所以工=J5)=8X7=48,所以°正確.

故選：ACD.

令x=y=O,可判斷力；

令'=一久，得到/'(x)+f(-x)=4,可判斷B；

根據(jù)題意，推得/(%)=/(%+4),得到〃久)的周期為T=4,可判斷C；

令x=y=2,求得f(2)=2,結(jié)合函數(shù)的周期性，求得'NJ⑺，可判斷，

本題考查了利用賦值法求抽象函數(shù)的值，考查了抽象函數(shù)的對稱性及周期性，屬于中檔題.

11.空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，4Q/指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其

對應(yīng)關(guān)系如表：

4Q/指數(shù)值0-5051-100101—150151?200201?300>300

空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染

如圖是某市12月1日-20日4Q/指數(shù)變化趨勢：下列敘述正確的是()

A.這2。天中AQ/指數(shù)值的中位數(shù)略高于100

1

B.這2。天中的中度污染及以上的天數(shù)占W

C.該市12月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好

D.總體來說，該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好

【正確答案】ABD

解：空氣質(zhì)量指數(shù)4Q/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，4Q/指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好,

由某市12月1日—20日4Q/指數(shù)變化趨勢圖，知：

在力中，將這20天的數(shù)據(jù)從小到大排序后，第10個數(shù)據(jù)和第11個數(shù)據(jù)均大于100,

因?yàn)橹形粩?shù)是這兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故這2。天中4Q/指數(shù)值的中位數(shù)略高于1。。，故N正確；

在8中，這2。天中的4Q/指數(shù)值超過150的天數(shù)有5天，

1

.??這20天中的中度污染及以上的天數(shù)為占a,故2正確；

在C中，該市12月的前半個月的空氣質(zhì)量先越來越好，后越來越壞，故C錯誤；

在D中，該市12月上旬的數(shù)據(jù)大部分在150以內(nèi)，污染較輕，

總體來說，該市12月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好，故。正確.

故選：ABD.

空氣質(zhì)量指數(shù)4Q/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，4Q/指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，利用某

市12月1日-20日4Q/指數(shù)變化趨勢圖直接求解.

本題考查命題真假的判斷，考查2Q/指數(shù)變化趨勢圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.集合{(x，y)W+yw2,XEN,yeN}子集的個數(shù)是.

【正確答案】64

解:由題可知，{(x，y)l%+yW2,xEN,yeN}={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),

(2，。)},有6個元素，

所以該集合的子集有26=64個.

故64.

用列舉法表示出集合，再根據(jù)集合子集個數(shù)的計(jì)算公式求解即可.

本題主要考查子集個數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知(2獷2_%3＞展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256,則其展開式中一的系數(shù)為.(用數(shù)字

作答)

【正確答案】112。

解：由題意二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n=256,貝m=8,

所以二項(xiàng)式(2.2-3)8的展開式的通項(xiàng)公式為

77+]=篇(2%.2)82-3)1篇.28-『.(一1)住516,丁=0,1…，g,

令5r—16=4,解得r=4,所以'的系數(shù)為弓?24.(—1)4=1120.

故1120.

利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出n的值，然后求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令工的指數(shù)為4,由此即

可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.若直線V=2x為曲線y=+b的一條切線，則處的最大值為

2

【正確答案】7

解:^f(x)=eax+b,則-⑶

設(shè)切點(diǎn)為(久那)，則.(々))=ae,

+ba%。4-bax^+bax^+b

aex-x

則切線方程為y—e=(o),整理可得丫=°^x+(l-ax0)e

ax+b

(1—Q%o)en=0

ax+b丫—1/7paX°+b—np1+b—?

所以｛aeQ=2,解得與一產(chǎn)"ae

272b

所以"=廣，所以"產(chǎn)，

設(shè)g(“)=言，則或嗎=竽?，

當(dāng)xe(_8,i)時,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(i,+8)時，y(x)<o,g(久)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)久=1時，儀久)取得最大值9(1)=衛(wèi)

2

所以成的最大值為民

a%g+b

設(shè)f(x)=eax+b,切點(diǎn)為(Xo，e),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再結(jié)合題意求

出a,b的關(guān)系，再構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.

本題主要考查用導(dǎo)函數(shù)解決曲線上的切線問題，屬于中檔題.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

2cosA—cosBb

在A4BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,COsc+i=7.

(1)證明：C=2A.

(2)記邊AB和BC上的高分別為%和若%：&=L避，判斷△ABC的形狀.

【正確答案】證明：(1)在△ABC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,

2cosA—cosBb

因?yàn)閏osC+1-c,

由正弦定理得，sinCf^cosA-cosB)=sinBcosC+sinB,

整理可得，2sinCcosA=sinBcosC+sinCcosB+sinB=sin{C+B)+sinB=sinA+sinBf

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC9

^^sinCcosA-cosCsinA=sinAfgpsin(C—X)=sinAf

因?yàn)?ce(o,7T),所以o<c_a<%

所以C—a=2或C—4=兀-4(舍去)，

所以C=24

解：(2)記邊AB和8C上的高分別為九和八%

ABh

根據(jù)等面積法可知S叱BC=l-c=-九,即c?4=口,九,

由也：ha=1：8，可得c=Ba,

a_c_y13a_yj3a

又由C=2/及正弦定理可得，sinAsinCsin2A2sinAcosA,

解得C°S4=3,

由于Ze(0,7r),所以月一片，c-3,

所以B==所以△ABC是直角三角形.

(1)利用正弦定理和兩角和的正弦公式即可得證；

(2)利用等面積法和正弦定理及(1)的結(jié)論即可求解.

本題考查正弦定理和兩角和的正弦公式，屬于中檔題.

16.(本小題15分)

黎曼猜想是解析數(shù)論里的一個重要猜想，它被很多數(shù)學(xué)家視為是最重要的數(shù)學(xué)猜想之一?它與

Xs-1

函數(shù)八")=三。>°'S>Ls為常數(shù))密切相關(guān)，請解決下列問題：

(1)當(dāng)s=2時，求/(%)在點(diǎn)(1/(1)處的切線方程；

(2)當(dāng)s>2時，證明/(X)有唯一極值點(diǎn).

【正確答案】解：CO當(dāng)S=2時，/⑶-(e-)2-(e-￥,

此時r(1)=一消區(qū)又八1)=言，

11

所以在點(diǎn)（1/（1）處的切線方程為y一三-1)

即第+(e-l)2y-e=0.

（2）由題意得,?）一,

令0。）=（5-1一久）—一（5-1）,（s>2）,

(p'(x)=(s-2-x)ex,令"0)=0,可得久=s-2,依題意得s-2>0,

當(dāng)0cx<s—2時,(p'(x)>0,當(dāng)x>s—2時，(p'(x')<0,

所以W（x）在（0，s-2）上單調(diào)遞增，在（s-2,+8）上單調(diào)遞減.

又W（0）=0,所以W（s-2）>0,又因?yàn)镽（S-I）=-（s-l）<0,

所以，存在唯一XoC（s—2,s—l）,0（勺）=0,

當(dāng)。<久<和時，尸（久）>0,當(dāng)%>%0時，f'（x）<0,

所以/（X）在（仇甌）上單調(diào)遞增，在。0,+8）上單調(diào)遞減，

所以人嗎存在唯一極大值點(diǎn)與，且比0e（s-2,s-l）.

（1）求導(dǎo)可得尸（1）,進(jìn)而求得/（I）,可求切線方程；

（2）易知當(dāng)s-2>0時，由卬（久）=（s-l-x）/—（s-l）,（s>2）可知，（%）存在唯一變號零點(diǎn),即

可知/（X）有唯一極大值點(diǎn).

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（本小題15分）

PB

如圖，三棱錐P-4BC的平面展開圖中，ABLBC,1=^=AP2A=AC=4^

P]C=20E為「24的中點(diǎn).

（1）在三棱錐P-ABC中，證明：BE1AC.

（2）求二面角P-sc-a的余弦值.

【正確答案】解：（1）證明：由P18="B=m,得PB=AB=眄且E為24的中點(diǎn)，所以

BELPA9

取AC中點(diǎn)為尸，連接EF,BF,可得EF=彳="

在△PB4中，BE=^AB2-AE2=陽

在△ABC中，BF=N=2,

^BE2+FE2^BF2,所以BELEF,

因?yàn)镋FCPA=凡EF,PAu平面R4C,所以BE,平面H4C,

因?yàn)?Cu平面P4C,所以8E14C；

（2）如圖，過點(diǎn)E作EG1P4,交4C于點(diǎn)G,

以EG,EA,話分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

貝|JE(O,O,O),4(0,2,0),5(0,0,72),P(0,-2,0),

在△4BC中，可得點(diǎn)C到P力距離為力,

故可得C（"T。），…「…不?

設(shè)平面力BC一個法向量為%=（叼，為,Z。,

T

,=-2y1+"z1=0

AB

->

n?=避Z]=Q

由1lbc,取yi=L所以*

設(shè)平面PBC的一個法向量為%=（乂2，%*2）,

","=2%+A/2Z2=°

n2PB

''?一=y/7x2-y2+y/2z2=0

由弧BC,取為=T,所以：2=鳥，一1，或）

設(shè)二面角P—BC—a平面角為。，且由圖知，°e（o,g）,

nn77165

cosd=

33

所以riir2i

所以二面角P-BC-4的余弦值為WF.

（1）作輔助線，由線面垂直的判定定理即可證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面4BC與平面PBC的法向量，由向量的夾角公式即可求得.

本題考查線面垂直的證明和二面角的求法，屬于中檔題.

18.（本小題15分）

為不斷改進(jìn)勞動教育，進(jìn)一步深化勞動教育改革，現(xiàn)從某單位全體員工中隨機(jī)抽取3人做問

23

卷調(diào)查?已知某單位有N名員工，其中匚是男性，匚是女性.

（1）當(dāng)N=20時，求出3人中男性員工人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）我們知道，當(dāng)總量N足夠大而抽出的個體足夠小時，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布?現(xiàn)在全市

范圍內(nèi)考慮?從N名員工（男女比例不變）中隨機(jī)抽取3人，在超幾何分布中男性員工恰有2人的

概率記作Pi;有二項(xiàng)分布中（即男性員工的人數(shù)*?B（3,勺男性員工恰有2人的概率記作「2,那

么當(dāng)N至少為多少時，我們可以在誤差不超過。。01（即0I—02W°?！?）的前提下認(rèn)為超幾何分

布近似為二項(xiàng)分布?（參考數(shù)據(jù)：代河“24.04）

【正確答案】解：（1）當(dāng)N=20時，男性員工有8人，女性員工有12人.

X服從超幾何分布，X=0,1,2,3,

-O'）-給_220_npry_n_528_44

P（X—°）一可一屈一%P—1）—百—通一第

PG一幻一百一通―汽P（X—3"碌一旃一數(shù)，

C|距；>(|?-I)x|w18N(|NT)

(2當(dāng)=

牖：N(N—1)(N—2)25(N—1)(N—2)

「2=卅|=急=°.288

18N(|N-I)

--0.288<0.001

由于「I02—°,001,則元(N-1)(N-2)

即Hd/vN尸289=篇,

N(|N-I),28925289

V----X——----

艮f|(N_l)(N_2)―100018720,

由題意易知(N-1)(N—2)>0,

2

從而720N(#-l)<289(N-1)(N-2),

化簡得N2-147N+578>0,

又N〉。,于是"等"47.

_578____

由于函數(shù)丫=