2023中考數學常見幾何模型《角平分線的基本模型（一）全等類》含答案解析

專題07角平分線的重要模型（一）全等類

角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點,

需要掌握其各大模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點,

本專題就角平分線的全等類模型作相應的總結，需學生反復掌握。

模型1.角平分線構造軸對稱模型（角平分線+截線段等）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,。尸為NAOB的角平分線、尸河不具備特殊位置時，輔助線的作法大都為在。8

上截取ON=Q0,連結PN即可.即有AOMPgAONP，利用相關結論解一決問題.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022?湖北十堰?九年級期末）在EIABC中，0ACB=2fflB,如圖①，當班=90°,AD為團BAC

的角平分線時，在AB上截取AE=AC,連結DE,易證AB=AC+CD.

（1）如圖②，當回090。，AD為IBBAC的角平分線時，線段AB,AC,CD又有怎樣的數量關

系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；

（2）如圖③，當AD為EIABC的外角平分線時，線段AB,AC,CD又有怎樣的數量關系？請

寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.

2.（2022?山東煙臺?九年級期末）己知在AABC中，滿足NACB=2N3,

圖1圖2圖3

（1）【問題解決】如圖1，當NC=90。，AD為44C的角平分線時，在A8上取一點E使得

AE=AC,連接DE,求證：AB=AC+CD.

（2）【問題拓展】如圖2,當NCw9O。，AD為44。的角平分線時，在上取一點E使得

AE=AC,連接DE,（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由.

（3）【猜想證明】如圖3,當AP為AABC的外角平分線時，在54的延長線上取一點E使得

AE=AC,連接。E,線段A3、AC、CO又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對你

的猜想給予證明.

3.（2022?浙江?九年級期中）（1）如圖1,在EIABC中，EC=90°,AD^BAC

的平分線交BC于。，求證：AB=AC+CD.（提示：在A8上截取AE=AC,連接DE）

（2）如圖2,當國CR90。時，其他條件不變，線段A3、AC.CD又有怎樣的數量關系，直接

寫出結果，不需要證明.（3）如圖3,當0AC8H9O°,0ACB=20B,AD為0ABe的外角EICAF

的平分線，交BC的延長線于點。，則線段A3、AC、CZ）又有怎樣的數量關系？寫出你的

猜想，并加以證明.

4.（2022?北京九年級專題練習）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點.

（1）如圖（1）,若AC平分NR4E,ZACE=90°,則線段AE、AB,DE的長度滿足的數

量關系為；（直接寫出答案）；（2）如圖（2）,AC平分N54E,EC平分NASD,若

NACE=120。，則線段48、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明.

模型2.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,0P為N。鉆的角平分線、9，。4于點拉時，輔助線的作法大都為過點

P作即可.即有=kOMP空NONP等,利用相關結論解決問題.

鄰等對補模型：已知如圖2,AP是NCAB的角平分線，EP=DP

輔助線：過點P作尸G,AC、PF±AB

結論：①ZBAC+ZEPD=1SQ°（A、E、P、O四點共圓）；②DF=EG；③

AD=AE+2DF

1.（2022?北京?中考真題）如圖，在AABC中，平分ZBACOE，AB.若47=2,?！?1,則

^AACD=-

2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，AABC的外角NAC。的平分線CP與內角NABC的平分

線BP交于點P,若NBPC=40。，則/CAP=（）

C.50°D.60°

3.（2022,江蘇揚州,中考真題）如圖，在DABCL（中，BE、DG分別平分ZABC、ZADC,交

AC于點E、G.

（1）求證：（2）過點E作EFJLAB,垂足為尸.若口AB8的周長為56,

EF=6,求AABC的面積.

4.（2022?河北?九年級專題練習）已知OP平分回AOB,BDCE的頂點C在射線。尸上，射線

CD交射線。4于點F,射線CE交射線。8于點G.

（1）如圖1,若CZWM,CESOB,請直接寫出線段CP與CG的數量關系；

（2）如圖2,若0X02=120。，SDCE=^AOC,試判斷線段C尸與CG的數量關系，并說明理

由.

模型3.角平分線垂中間（角平分線+內垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,。尸為NAQB的角平分線，于點尸時，輔助線的作法大都為延長

"P交08于點N即可。即可構造△P0N之△P0M,有A0MN.是等腰三角形、0P是三

線等，利用相關結論解決問題.常見模型如圖2。

L（2022?安徽合肥?一模）如圖，AABC中,4。平分是BC中點，AD±BD,AC=1,

2

CD.

-I2

2.（2022?綿陽市?九年級期中）在朋5。中，AB=ACf團84090,平分朋3c交AC于點D

（1）如圖1,點尸為BC上一點，連接A尸交BD于點E.若求證：3。垂直平分

AF.

（2）如圖2,CESBD,垂足E在的延長線上.試判斷線段CE1和3D的數量關系，并說

明理由.

（3）如圖3,點F為BC上一點、,BEFC=^^ABC,C^EF,垂足為E,EF與AC交于點M.直

接寫出線段CE與線段的數量關系.

3.（2022?福建?廈門九年級期中）如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,

（1）如圖1,3。平分4BC交AC于點。，尸為3c上一點，連接M交于點E.

⑴若AB=BF,求證：3。垂直平分AF；（ii）若AF_LBD,求證：AD=CF.

（2）如圖2,3D平分NABC交AC于點CE±BD,垂足￡在C。的延長線上，試判斷

線段CE和3。的數量關系，并說明理由.（3）如圖3,F為BC上一點、,/EFC=-B,

CE±EF,垂足為E,E尸與AC交于點。，寫出線段CE和ED的數量關系.（不要求寫出

過程）

4.（2022?安徽黃山?九年級期中）如圖，在AABC中，ZS4C=90°,AB^AC,D是AC邊

上一動點，CE^LBD于E.（1）如圖（1）,若3。平分NABC時，①求NEC。的度數；

②延長CE交班的延長線于點尸，補全圖形，探究3D與EC的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖（2）,過點A作AF_LB￡■于點F,猜想線段BE,CE,AF之間的數量關系，并

證明你的猜想.

課后專項訓練

1.（2022?江蘇常州?一模）如圖，已知四邊形ABCD的對角互補，且ABAC=ADAC,AB=15,

AF

AD=12.過頂點C作CEJ_AB于E,則二二的值為（）

A.A/73B.9C.6D.7.2

2.（202”四川成都?二模）已知，如圖，BC=DC,0B+0D=18O°.連接AC,在AB,AC,AD

上分別取點E,P,F,連接PE,PF.若AE=4,AF=6,EIAPE的面積為4,貝帆APF的面積是

B

A.2B.4C.6D.8

3.（2022?福建?福州立志中學一模）如圖,0ABC中,0ABe=45。,CD^AB于點、D,BE平分0ABC,

且8￡0AC于點8,交CD于點F,H是BC邊的中點，連接?！敖籅E于點G,現給出以下

結論：①0ACDEB尸8D；②AE=CE；③OOGF為等腰三角形；⑥S四邊形ADGE=S四邊形GHCE.其

中正確的有（寫出所有正確結論序號）.

4.（2020?重慶市松樹橋中學校八年級月考）如圖，AABC的面積為9cm2,BP平分N4BC,

APJ_BP于P,連接PC,則APBC的面積為cm2.

5.（2020?江蘇省灌云高級中學城西分校八年級月考）如圖，在AABC中，ZA=90°,AB=AC,

ZABC的平分線BD交AC于點D.CEXBD,交BD的延長線于點E,若BD=4,貝|CE=.

B

6.（2021?四川眉山市?八年級期末）在AABC中，AB=AC,ZBAC=90,BD平分/ABC交AC于

點D.

（1）如圖1,點F為BC上一點，連接AF交BD于點E.若AB=BF,求證：BD垂直平分AF.

（2）如圖2,CE±BD,垂足E在B。的延長線上.試判斷線段CE和B。的數量關系，并說

明理由.

（3）如圖3,點F為BC上一點，ZEFC=—ZABC,CE±EF,垂足為E,EF與AC交于點直

2

接寫出線段CE與線段FM的數量關系.

7.（2022?北京西城?二模）在AABC中，AB=AC,過點C作射線CQ,使0AC8ML4CB（點夕

與點8在直線AC的異側）點。是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段BC上，

>EDA￡+a4CD=90°.

（1）如圖1,當點E與點C重合時，AD與CB'的位置關系是,若BC=a,則C￡）的長

為;（用含。的式子表示）（2）如圖2,當點E與點C不重合時，連接。E.①用等式

表示44c與NZME之間的數量關系，并證明；②用等式表示線段BE,CD,OE之間的數

量關系，并證明.

圖1圖2

8.（2022?重慶?二模）已知：如圖1,四邊形A2C。中,ZASC=135°,連接AC、BD,交

于點E,BDLBC,AD=AC.

⑴求證：ND4C=90。；⑵如圖2,過點8作3尸，鉆，交。C于點尸，交AC于點G,若

S,DBF=2S.CBF，求證：AG=CG；⑶如圖3,在（2）的條件下，若4?=3,求線段G尸的

長.

9.（2022?陜西西安?一模）如圖，AAB。和ABCE都是等邊三角形，EL4BC<105°,AE與

oc交于點?

(1)求證：AE=DC；(2)求EIBFE的度數；(3)若AF=9.17cm,BF=1.53cm,CF=7.53cm,

求CD.

10.(2021?安徽?九年級期末)如圖，在3c中，AC=BC,A。平分NC4B.

(1)如圖1,若ACB=90°,求證：AB=AC+CD；(2)如圖2,^AB=AC+BD,

求NACB的度數;

(3)如圖3,若NACB=100。，求證：AB=AD+CD.

11.(2022?自貢市九年級月考)根據圖片回答下列問題.

(1)如圖①，AD平分/BAC,ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DBDC.

(2)如圖②，AD平分/BAC,ZABD+ZACD=180",ZABD000,求證：DB=DC.

B

圖③

12.（2022?江蘇?一模）如圖，已知NC=60。，AE,BD是AABC的角平分線，且交于點P.

（1）求NAPB的度數.（2）求證：點尸在NC1的平分線上.（3）求證：（l）PD=PE；②

AB=AD+BE.

C

13.（2022?安徽蕪湖?九年級期中）如圖，已知，/班。=90。,裾=4。,3。是4/?。的平分線,

且交的延長線于點E.求證：BD=2CE.

E

B

專題07角平分線的重要模型（一）全等類

角平分線在中考數學中都占據著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識點,

需要掌握其各大模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點,

本專題就角平分線的全等類模型作相應的總結，需學生反復掌握。

模型1.角平分線構造軸對稱模型（角平分線+截線段等）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,。尸為NAOB的角平分線、尸河不具備特殊位置時，輔助線的作法大都為在。8

上截取ON=Q0,連結PN即可.即有AOMPgAONP，利用相關結論解一決問題.

ABIICDnAB+CD=BC

1.（2022?湖北十堰?九年級期末）在EIABC中，0ACB=2fflB,如圖①，當班=90°,AD為團BAC

的角平分線時，在AB上截取AE=AC,連結DE,易證AB=AC+CD.

（1）如圖②，當回090。，AD為IBBAC的角平分線時，線段AB,AC,CD又有怎樣的數量關

系？不需要證明，請直接寫出你的猜想；

（2）如圖③，當AD為EIABC的外角平分線時，線段AB,AC,CD又有怎樣的數量關系？請

寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明.

【答案】（1）AB=AC+CD-證明見解析；（2）AB+AC=CD-證明見解析.

【分析】（1）首先在AB上截取AE=AC,連接DE,易證I3ADEEHADC（SAS）,則可得EIAED=EIC,

ED=CD,又由回AED=I3ACB,回ACB=2EIB,所以I3AED=2E]B,即回B=E1BDE,易證DE=CD,則

可求得AB=AC+CD；

(2)首先在BA的延長線上截取AE=AC,連接ED,易證EIEADEBCAD,可得ED=CD,0AED

=0ACD,又由EIACB=2EIB,易證DE=EB,貝l］可求得AC+AB=CD.

【詳解】(1)猜想：AB=AC+CD.

證明：如圖②，在AB上截取AE=AC,連結。E,

A

^\ZBAD=ZCAD,^AD=AD,

ElAADE^AADC(SAS),

0ZAED=ZC,ED=CD,

SZACB=2ZB,ta/AED=2/B.

aZB=NEDB,

0EB=ED,SEB=CD,

^AB=AE+DE=AC+CD.

(2)猜想：AB+AC=CD.

證明：在54的延長線上截取AE=AC,連結ED.

在與ACAD中，AE=AC,ZEAD=ACAD,AD=AD,

E/\EAD^/\CAD.

^ED=CD,ZAED=ZACD.

SZFED=ZACB.

又ZACB=2NB,NFED=ZB+ZEDB,ZEDB=ZB.

^\EB=ED.

團EA+AB=EB=ED=CD.

團AC+AB=CD.

【點睛】此題考查三角形綜合題、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、角平分線

的定義等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

2.(2022?山東煙臺?九年級期末)已知在AABC中，滿足NACB=2/B,

⑴【問題解決】如圖1,當NC=90。，AD為々AC的角平分線時，在A3上取一點E使得

AE^AC,連接求證：AB=AC+CD.

⑵【問題拓展】如圖2,當NC*9O。，AD為㈤。的角平分線時，在AB上取一點E使得

AE=AC,連接OK,(1)中的結論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由.

⑶【猜想證明】如圖3,當AD為AABC的外角平分線時，在胡的延長線上取一點E使得

AE^AC,連接。線段AB、AC、8又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并對你

的猜想給予證明.

【答案】(1)證明見解析

⑵成立，證明見解析

(3)猜想AB+AC=CD,證明見解析

【分析】(1)先根據&4S定理證出根據全等三角形的性質可得￡E>=CD,

ZAED=ZACD,再根據三角形的外角性質可得/B=NBDE=45。，然后根據等腰三角形的

判定可得EB=￡D,從而可得￡B=C。，最后根據線段和差、等量代換即可得證；

(2)先根據&4S定理證出AAED三AACD,根據全等三角形的性質可得即=CD,

ZAED=ZC,再根據三角形的外角性質可得NB=NBDE,然后根據等腰三角形的判定可得

EB=ED,從而可得￡B=CD,最后根據線段和差、等量代換即可得證；

(3)先根據&4s定理證出△隹￡＞二根據全等三角形的性質可得

ZAED:ZACD,從而可得NFED=NACB,再根據三角形的外角性質可得NB=N3DE,然

后根據等腰三角形的判定可得歷=ED,從而可得E3=CD,最后根據線段和差、等量代換

即可得證.

(1)

證明：團為44c的角平分線，

^\ZEAD=ZCAD,

AE=AC

在△AED與"⑺中，＜/EAO=/CA。，

AD=AD

回△AED=AACD(5A5),

國ED=CD,ZAED=ZACD,

又回NACB=90。，ZACB=2ZB9

0ZB=45°,ZA￡D=90°,

BZBDE=ZAED-ZB=45°,

田NB=NBDE,

⑦EB=ED,

國EB=CD,

0AB=AE+EB=AC+CD.

(2)

解：(1)中的結論還成立，證明如下：

EIAD為NBAC的角平分線時，SZEAD=ZCAD,

AE=AC

在△AEE＞與八4。中，，/E4。=/CAD,

AD=AD

^^AED^ACD(SAS),

BZAED=ZC,ED=CD,

⑦ZACB=2NB,

國NAED=2/B,

又國ZAED=ZB+ZEDB,

國NB=NEDB,

國EB=ED,

團EB-CD,

國AB=AE+EB=AC+CD.

(3)

解：猜想AB+AC=CO,證明如下：

團AD平分NEAC,

^ZEAD=ZCADf

AE=AC

在A4ED與"8中「/E4。=NCA。，

AD=AD

團△AED^ACD(SAS),

國ED=CD,ZAED=ZACD,

如圖，團180。一NAED=180。一NACD,WfiZFED=ZACB,

?ZACB=2NB,

田/FED=2/B,

又⑦NFED=NB+ZEDB,

⑦ZEDB=ZB,

⑦EB=ED,

^\AB+AE=EB=ED=CD,

團AB+AC=CD.

【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全

等的判定方法是解題關鍵.

3.（2022?浙江?九年級期中）（1）如圖1,在M3C中，她匿=2勖，0C=9O°,AO為何5AC

的平分線交于。，求證：AB=AC+CD.（提示：在A3上截取AE=AC,連接。E）

圖1圖2圖3

(2)如圖2,當國CR90。時，其他條件不變，線段42、AC,C。又有怎樣的數量關系，直接

寫出結果，不需要證明.

(3)如圖3,當0AC辦90°,0ACB=20B,為E1ABC的外角EICAE的平分線，交3c的延

長線于點。，則線段AB、AC、O又有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并加以證明.

【答案】(1)見解析；(2)AB=AC+C￡)；(3)AB=CZ)-AC

【分析】(1)在AB上截取AE=AC,連接DE,根據角平分線的定義得到回1=02.推出△ACDEHAED

(SAS).根據全等三角形的性質得到I3AED=I3C=9O,CD=ED,根據已知條件得到回B=45。.求得

0EDB=0B=45°.得到DE=BE,等量代換得到CD=BE.即可得到結論；

(2)在AC取一點E使AB=AE,連接DE,易證△ABDEHAED,所以EIB=I3AED,BD=DE,又因為

0B=20C,所以E1AED=2I3C,因為EIAED是AEDC的外角，所以E1EDC=EIC,所以ED=EC,BD=EC,

進而可證明AB+BD=AE+EC=AC；

(3)在AB的延長線AF上取一點E,使得AE=AC,連接DE.證明△ACDEHAED,根據全等三

角形的性質得到DE=BE,BE=CD,即可得出結論.

【詳解】(1)證明：在A2上取一點E,使AE=AC

SAD為回54c的平分線

^S\BAD=SCAD.

在△ACD和中,

AE=AC

</BAD=/CAD

AD=AD

^\ACDm\ED(SAS).

團朋ED=團。=90°,CD=ED,

又回胤4c8二2團3,團。二90°,

豳3=45°.甌EZ)樂團3=45°.

⑦DE二BE,BCD=BE.

^AB=AE+BE,^AB=AC+CD.

(2)證明：在AB取一點E使AC=AE,

圖2

在4ACD和MED中，

AC^AE

<ZBAD=ZEAD/

AD=AD

RO1ACD團團AED,

釀C二團AED,CD=DE,

又釀02團B,

釀AED=2回B,

R01AED是AEDC的夕卜角，

甌EDB二團B,

團ED=EB,

0CD=EB,

團AB=AC+CD；

(3)猜想：AB=CD-AC

證明：在5A的延長線上取一點E,使得AESC,連接OE,

在△AC。和△AED中,

AC=AE

<NCAD=/EAD,

AD=AD

^\ACD^\AED（SAS）,

回她CD=她ED,CD=DE,

^\ACB=^\FED,

又回她C8=2回8

團團尸瓦）二2回8,

又釀尸皮）二團8+^EDB,

加ED3二團8,

WE=BE,

國BE=CD,

^\AB=BE-AE

^\AB=CD-AC.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，關于線段和差關系的證明，通常采用截長補短

法.

4.（2022?北京九年級專題練習）在四邊形ABDE中，。是5。邊的中點.

（1）如圖（1）,若AC平分44E,ZACE=90°,則線段A￡\AB,。石的長度滿足的數

量關系為;（直接寫出答案）

（2）如圖（2）,AC平分44E,￡C平分NA￡Z）,若NACE=120。，則線段A5、5。、。￡、

AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明.

【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+|BD,證明見解析.

【分析】（1）在AE上取一點F,使AF=AB,由三角形全等的判定可證得AACB之4ACF,根

據全等三角形的性質可得BC=FC,ZACB=ZACF,根據三角形全等的判定證得△CEFgZ\CED,

得到EF=ED,再由線段的和差可以得出結論；

（2）在AE上取點F,使AF=AB,連結CF,在AE上取點G,使EG=ED,連結CG,根據全

等三角形的判定證得AACB絲4ACF和AECD會AECG,由全等三角形的性質證得CF=CG,進

而證得ACFG是等邊三角形，就有FG=CG=gBD,從而可證得結論.

【詳解】解：（1）如圖（1）,在AE上取一點F,使AF=AB.

圖⑴

：AC平分/BAE,；.NBAC=NFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，^ZBAC=ZFAC.,.AACB^AACF(SAS).；.BC=FC,ZACB=ZACF.

AC=AC

：C是BD邊的中點，；.BC=CD.；.CF=CD.

：/ACE=90°,.?.ZACB+ZDCE=90°,ZACF+ZECF=90°./.ZECF=ZECD.

CF=CD

在ACEF和ACED中，＜ZECF=ZECD.-.ACEF^ACED(SAS).；.EF=ED.

CE=CE

：AE=AF+EF,；.AE=AB+DE.故答案為：AE=AB+DE；

(2)AE=AB+DE+：BD.

證明：如圖(2),在AE上取點F,使AF=AB,連結CF,在AE上取點G,使EG=ED,連結

CG.

圖⑵

：C是BD邊的中點，.,.CB=CD=1BD.

；AC平分/BAE,；./BAC=NFAC.

AB=AF

在AACB和AACF中，＜ZBAC=ZFACAAACB^AACF(SAS).；.CF=CB,/BCA=NFCA.

AC=AC

同理可證：△ECDg/\ECG；.CD=CG,ZDCE=ZGCE.

：CB=CD,/.CG=CF.

：NACE=120°,；.NBCA+NDCE=180°-120°=60°.

.*.ZFCA+ZGCE=60".ZFCG=60°.

ZkFGC是等邊三角形.**.FG=FC=yBD.

:AE=AF+EG+FG,;.AE=AB+DE+；BD.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質的運用，能熟練應用三角形全等的判定和

性質是解決問題的關鍵.

模型2.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）

【模型解讀與圖示】

已知如圖1,0P為NOAB的角平分線、于點M時，輔助線的作法大都為過點

P作RVLOB即可.即有RW=7W、AOMP”NONP等,利用相關結論解決問題.

A

D

圖3

鄰等對補模型：已知如圖2,AP是/CA8的角平分線，EP=DP

輔助線：過點尸作PG_LAC、PF±AB

結論：①ZBAC+ZEPD=1SQ°（A、E、P、O四點共圓）；②DF=EG；③

AD=AE+2DF

1.（2022?北京?中考真題）如圖，在AABC中，AD平分NBACOELAB.若4。=2,?！?1,則

SiACD=

【答案】1

【分析】作OFAC于點孔由角平分線的性質推出小=止=1,再利用三角形面積公式

求解即可.

【詳解】解：如圖，作ObLAC于點兄

E1AD平分N&4C,DELAB,DF1AC,^\DF=DE=1,

05MCD=1AC-Z）F=1X2X1=1.故答案為：1.

【點睛】本題考查角平分線的性質，通過作輔助線求出三角形AC。中AC邊的高是解題的

關鍵.

2.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，AABC的外角NACD的平分線CP與內角/ABC的平分

線BP交于點P,若/BPC=40。，則/CAP=（）

【答案】C

【分析】根據外角與內角性質得出NBAC的度數，再利用角平分線的性質以及直角三角形全

等的判定，得出NCAP=/"P,即可得出答案.

【詳解】解：延長BA,作PN_LB。，PFLBA,PM±AC,設NPCD=x°,

:CP平分NACO,；.NACP=NPCO=x°,PM=PN,

：BP平分NABC,：.NABP=NPBC,PF=PN,：.PF=PM,

VZSPC=40°,:.NABP=NPBC=NPCD-/BPC=(x-40)°,

AZBAC^ZACD-ZABC^2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,NCAF=100°,

PA=PA

在RtAPEA和RtAP/VM中，｛八廠，

PM=PF

【點睛】本題考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識,

根據角平分線的性質得出PM=PN=PF是解題的關鍵.

3.（2022,江蘇揚州,中考真題）如圖，在DABCL（中，BE、DG分別平分ZABC、ZADC,交

AC于點E、G.

AD

(1)求證：BE//DG,BE=DG.

(2)過點E作垂足為F.若□ABC。的周長為56,EF=6,求AABC的面積.

【答案］⑴見詳解⑵84

【分析】(1)由平行四邊形的性質證AABE三ACDG(AS4)即可求證；

(2)作EQ，3C,由S^sc=5AAm+S&EBC即可求解；

(1)證明：在DA5co中，

0AB//Cr),^ZBAE=ZDCG,

DG分別平分NABC、ZADC,ZABC=ZADC,

^\ZABE=ZCDG,

在AASE和ACDG中，

'/BAE=NDCG

回＜AB=CD

AABE=ZCDG

SiAABE^ACDG(ASA),

0BE=DG,ZAEB=NCGD,

QBE〃DG.

(2)如圖，作EQ^BC,

1

團口ABCD的周長為56,

團AB+5C=28,

團旗平分ZA5C,

團EQ=EF=6,

回5AAsc=S詡E+SAEBC=^EF-AB+^EQ-BC=^AB+BC）=84.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質、三角形的全等、角平分線的性質，掌握相關知識

并靈活應用是解題的關鍵.

4.（2022?河北?九年級專題練習）已知OP平分0A08,SDCE的頂點C在射線。尸上，射線

CD交射線。4于點凡射線CE交射線02于點G.

（1）如圖1,若CZMOA,CE^OB,請直接寫出線段CF與CG的數量關系；

（2）如圖2,若M。3=120。，0DCE=0AOC,試判斷線段CV與CG的數量關系，并說明理

由.

【答案】（1）CF=CG；⑵CF=CG,見解析

【分析】（1）結論CF=CG,由角平分線性質定理即可判斷.

（2）結論：CF=CG,作CM0OA于必CN3O2于N,證明13cMEZBCNG,利用全等三角形

的性質即可解決問題.

【詳解】解：（1）結論：CF=CG；

證明：OOP平分0A08,CR3OA,CG3O8,

團C小CG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如圖，

A

C

D7OB

過點C作CM0OA,CN^OB,

OOP平分她08,CMSOA,CN^OB,EIA（?B=120",

團CN=CN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），

aa40c=回8。。=60。（角平分線的性質），

EH￡）CE=a40C,

00A（9C=0BOC=0DCE=6O",

0BMCO=9O°-6O°=30°,E1NCO=90°-60°=30°,

EHMCN=30°+30°=60°,

^MCN^DCE,

^\MCF=^MCN-^\DCN,^NCG=^DCE-^\DCN,

^iMCF=^NCG,

在回MCB和I3NCG中，

'NCMF=NCNG

<CM=CN

4MCF=NNCG

EHMCFEBNCG（ASA）,

0CF=CG（全等三角形對應邊相等）.

【點睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵

是掌握角平分線的性質的應用，熟練證明三角形全等.

模型3.角平分線垂中間（角平分線+內垂直）

【模型解讀與圖示】

己知如圖1,。尸為NAQB的角平分線，9,0。于點尸時，輔助線的作法大都為延長

"P交。8于點N即可。即可構造△「。代^△尸。^,有AOMN.是等腰三角形、OP是三

線等，利用相關結論解決問題.常見模型如圖2?

p圖10圖2

L(2022?安徽合肥?一模)如圖，A?1BC中,4。平分是BC中點，ADLBD,AC=1,

13

A.1B.2C.-D.-

22

【答案】D

【分析】延長BD交AC于點F,先證明AABO=^AFD(ASA),得到BD=DF,。是BP的中

點，再由中位線的性質解答即可.

【詳解】解：延長8。交AC于點R如圖

?.,4。平分ZBAC,AD±BD

ZBAD=ZFAD,ZADB=ADF=90°

??,AD=AD

:.^ABD=^AFD(ASA)

.\AB=AF=4,BD=DF

???D是B廠的中點,

??.E是BC中點，

113

,\DE=-FC=-(7-4)=-

故選：D.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、中位線的性質等知識，是重要考點，掌握相關

知識是解題關鍵.

2.(2022?綿陽市?九年級期中)在0ABe中，AB=AC,0BAC=9O,8。平分0ABe交AC于點。.

(1)如圖1,點尸為上一點，連接A尸交2。于點E.若求證：8。垂直平分

AF.

(2)如圖2,C￡03。，垂足E在8。的延長線上.試判斷線段CE和8。的數量關系，并說

明理由.

(3)如圖3,點F為BC上一點，CESEF,垂足為E,EF與AC交于點M.直

接寫出線段CE與線段FM的數量關系.

【答案】(1)見解析；(2)BD=2CE,理由見解析；(3)FM=2CE.

【分析】(1)由2。平分EIABC,可得回ABE=I3FBE,可證AABEEIEIFBEISAS),可得AE=FE,回AEB=I3FEB=

；'180。=90。即可；

(2)延長CE,交BA的延長線于G,由CE^BD,回ABE=EIFBE,可得GE=2CE=2GE,可證△BADEHCAG

(ASA),可得BD=CG=2CE；

(3)作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,由FN=MN,MH=FH=；FM,可得E1NMH=I3NBH,

由EIEPC=；0ABe=22.5°,可求回ABC=EIACB=EIMNC=45°,可得NM=CM=FN,由夕卜角

0EMC=0MFC+0MCF=22.5°+45°=67.5°,可求l3ECM=90°-[aEMC=22.5°,可證△FNHH3cME(AAS),

可得FH=CE即可.

【詳解】證明(1)回3。平分0A8C,

0BABE=0FBE,

0BA=BF,BE=BE,

0AABE00FBE(SAS),

回AE=FE,0AEB=fflFEB=yx180°=90°,

0BD垂直平分AF.

(2)BD=2CE,理由如下：

延長CE,交BA的延長線于G,

0C￡0BD,I3ABE=I3FBE,

回GE=2CE=2GE,

H3CED=90°=回BAD,0ADB=EEDC,

EBABD=[3GCA,

又AB=AC,0BAD=ECAG,,

EBBADEBCAG(ASA),

回BD=CG=2CE,

(3)FM=2CE,理由如下：

作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,

EFN=MN,MH=FH=yFM,

00NMH=EINBH,

00￡FC=10ABe=22.5°,

EBMNC=2回NFH=2xga4BC=0ABC,

^AB=AC,團BAC=90,

EBABC=I3ACB=EIMNC=45°,

回NM=CM=FN,

H3EMC=EIMFC+l3MCF=22.5°+45°=67.5°,

fflECM=90°-EIEMC=22.5o,

00NFH=0MCE,

又EBFHN=E1E=9O°,

0AFNH00CME(AAS),

0FH=CE,

EFM=2FH=2CE.

【點睛】本題考查角平分線性質，三角形全等判定與性質，直角三角形兩銳角互余，線段垂

直平分線，三角形外角性質，掌握角平分線性質，三角形全等判定與性質，直角三角形兩銳

角互余，線段垂直平分線是解題關鍵.

3.（2022?福建?廈門九年級期中）如圖，在AA5c中，AB^AC,4c=90。，

圖1圖2圖3

（1）如圖平分NABC交AC于點。，F為BC上一點,連接AF交3D于點E.

（i）若AB=BF,求證：3D垂直平分AF；

（ii）若AF_LfiD,求證：AD=CF.

（2）如圖2,3。平分NABC交AC于點CE±BD,垂足￡在8的延長線上，試判斷

線段CE和的數量關系，并說明理由.

（3）如圖3,F為BC上一點,NEFC=；NB,GE_LEF,垂足為E,Er與AC交于點O,

寫出線段CE和尸。的數量關系.（不要求寫出過程）

【答案】（1）（0）見解析；（回）見解析；（2）BD=2CE,理由見解析；（3）CE=gFD.

【分析】（1）（回）由等腰三角形的性質即可證得結論;

(0)過點。作CMBAF交AF的延長線于點跖如圖1,先根據AAS證明她8EEBC4M,可

得AE=CM,然后根據角平分線的定義、平行線的性質和等量代換可得aFCM=aEAD,進而

可根據ASA證明0AE。13cM尸，于是可得結論；

(2)延長BA、CE相交于點F,如圖2,先利用ASA證明I38CE和回全等，可得CE=EF,

根據余角的性質可得SABD=EIACP,然后利用ASA可證明財M和EL4cp全等，進而可得

=CF,進一步即得結論；

(3)過點/作/GSBA,交AC于"，交CE的延長線于點G,如圖3,先利用ASA證明

^CEF^GEF,可得CE=GE,然后根據平行線的性質、等腰三角形的性質和ASA證明

^CGimFDH,于是可得CG=。凡從而可得結論.

【詳解】(1)(0)證明：SAB=BF,20平分她BC,

國BEMF,AE=EF,

即50垂直平分AR

(團)證明：過點C作CM13A尸交A尸的延長線于點如圖1,

回回3AC=90°,AF^\BD,

團朋3E+團BAE=90°,^\CAM^BAE=90°9

釀CAM=MBE,

ZAEB=ZAMC

在勵BE和團CAM中,|NABE=ZCAM,

AB=AC

甌ABEW1CAM(A4S),

l?L4E=CM,

^\AF^\BD,AF^CM,

團5。團CM,

^\FCM=BCBD,

團30平分她BC,

^\ABD=BCBDf

SEFCM=^\ABD,

E0FCM=0E4D,

ZEAD=ZFCM

在EL4ED和13aMF中，｛AE=CM,

NAED=NCMF

EEAEDEECW(ASA),

0A￡)=CF；

(2)解:BD=2CE.

理由如下：如圖2,延長84、CE相交于點尸,

圖2

回&)平分0ABC,

^\ABD=^\CBD,

ZCBE=ZFBE

在團8CE和團BFE中，,BE=BE

/BEC=/BEF=90°

^BCE^\BFE(ASA),

⑦CE=EF,

回勖AC=90°,CE^\BD,

回朋Cr+RLF=90°,RL45D+團b=90°,

mABD=^\ACFf

/ABD=ZACF

在財8。和gCF中，|AB=AC

ABAC=ZCAF=9()

配L4HOML4c尸(ASA),

⑦BD=CF,

⑦CF=CE+EF=2CE,

⑦BD=2CE.

(3)解：CE=^FD.過點F作尸G08A,交AC于H,交CE的延長線于點G,如圖3,

圖3

^FG3\AB,回EPC=；EIB,

ffl￡FC=EGF￡,

X0CE0FE,00CEF=0GEF=90%

ZCFE=ZGFE

在IBCEF和回GEF中，＜FE=FE,

ZF￡C=NFEG

^CEF^GEFCASA),

SCE=GE,EPCE=|CG,

0FGHAB,EIA=90°,AB^AC,

00C//G=0D/7F=9O°,CH=FH.

又ffi]GCH=EIDFW,

EHCG/ffi3/*H(ASA),

^\CG=DF.

團CE=；F￡).

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質、平行線的性質以及等腰三

角形的性質等知識，具有一定的難度，正確添加輔助線、熟練掌握三角形全等的判定和性質

是解題的關鍵.

4.(2022?安徽黃山?九年級期中)如圖，在AABC中，N54C=90。，AB^AC,D是AC邊

上一動點，CE^LBD于E.

（1）如圖（1）,若平分NABC時，①求NEC。的度數；

②延長CE交胡的延長線于點尸，補全圖形，探究與EC的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖（2）,過點A作于點F,猜想線段班，CE,AF之間的數量關系，并

證明你的猜想.

【答案】（1）①NECD=22.5°,②BD=2EC,理由見詳解；（2）BE=CE+2AF,理由見詳解.

【分析】（1）①由題意易得EIABC=E]ACB=45°,則有EICBD=I3ABD=22.5°,進而可求I3ECD=EIDBA,

則問題得解；

②由題意易得CE=EF,則可證團ABD盟ACF,進而可得BD=CF,最后根據線段的數量關系可求

解；

（2）在BE上截取BH=CE,連接AH,則易證回BHAH3CEA,則有AE=AH,0BAH=SCAE,進而

可得回HAE=90。，然后根據線段的數量關系可求解.

【詳解】解：（1）fflZS4C=90°,AB=AC,

00ABC=0ACB=45°,

0BD平分IBABC,

00CBD=0ABD=22.5",

?00ABD+0BDA=EICDE+0ECD=9O<,,0CDE=0BDA,

EEABD=EIECD=22.5°；

②BD=2EC,理由如下：如圖所示：

0CE±B￡),

00CEB=EFEB=9O°,

回BE二BE,

釀CEB釀FEB(ASA),

團CE=FE,

團團DBA+回F=90°,回FCA+回F=90°,

麗DBA二團FCA,

回團BAD=回CAF=90°,AB=AC,

團團ABD團團ACF(ASA),

團BD=CF,

回BD=2CE；

(2)BE=CE+2AF,理由如下：

在BE上截取BH二CE,連接AH,如圖,

由(1)易得團HBA二團ECA,

回AB=AC