2023中考數(shù)學(xué)常見幾何模型《最值模型-費馬點問題》含答案解析

專題12最值模型-費馬點問題

最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模

型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說

明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的費馬點問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫

業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學(xué).費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)

域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大

定理”等.費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。

【模型解讀】

結(jié)論1：如圖，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM,當(dāng)M與三個頂點連線的

夾角為120。時，MA+MB+MC的值最小。

注意:上述結(jié)論成立的條件是AABC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,

此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）

【模型證明擬AB為一邊向外作等邊三角形△ABE,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,

連接EN.

:△ABE為等邊三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NMBN=60。，:.NABM=NEBN.

AB=BE

在公AMB與AENB中，VJZABM=NEBN，八AMB色AENB(SAS).

BM=BN

連接MN.由AAAffi絲△ENB知，AM=EN.；NMBN=60°,BM=BN,:.ABMN為等邊

三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..?.當(dāng)E、N、M,C四點共線時，AM+BM+CM

的值最小.

此時，N8MC=1800-NNMB=120°；NAMB=/ENB=180°-/BNM=120°；

ZAMC^360°-ZBMC-120°.

費馬點的作法：如圖3,分別以AA8C的A8、AC為一邊向外作等邊AA8E和等邊△AC凡

連接CE、BF,設(shè)交點為則點M即為△A8C的費馬點。

結(jié)論2：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加

權(quán)費馬點）

【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。

如：保持3P不變，；必尸+汨/3+2。尸=丫（'42+3夕+三。?），如圖，B、P、外、4四點共線時，

yy

取得最小值。

①一動點，三定點；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外

的頂點與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點；③同時

線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

例1.（2021?山東濱州?中考真題）如圖，在，ABC中，ZACB=90°,ABAC=30°,AB=2.若

點P是，ABC內(nèi)一點，則E4+P3+PC的最小值為.

B

例2.（2021?遼寧丹東?中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形

的費馬點.如果ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足

NAP3=NBPC=NCR4=120。.（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若

AB=AC=yfl,BC=2^3,P為ABC的費馬點，則P4+P3+PC=；若

AB=26,BC=2,AC=4,P為ABC的費馬點，則己4+P3+PC=.

例3.（2022?宜賓?中考真題）如圖，：ABC和4汨都是等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,

點。是BC邊上的動點（不與點8、C重合），DE與AC交于點F,連結(jié)CE.下列結(jié)論：

4

①BD=CE；（2）ZDAC=ZCED；③若8D=2CD,則一=-；④在ABC內(nèi)存在唯一

AF5

一點尸，使得上4+PB+PC的值最小，若點。在AP的延長線上，且AP的長為2,貝U

CE=2+6?其中含所有正確結(jié)論的選項是（）

A.①②④B,①②③C.①③④D.①②③④

例4.（2022?江蘇?九年級階段練習(xí)）探究題

A

AAA

B/C

PD

圖1圖2圖3圖4

(1)知識儲備：①如圖1,已知點尸為等邊0ABe外接圓的弧3c上任意一點.求證:P8+PC=R1.

②定義：在0ABe所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P

為0ABe的費馬點，此時PA+PB+PC的值為0ABe的費馬距離.

(2)知識遷移：我們有如下探尋S48c(其中她，0B,EIC均小于120。)的費馬點和費馬距離的方

法：如圖2,在0ABe的外部以BC為邊長作等邊MC。及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線

段—的長度即為0ABe的費馬距離.

⑶知識應(yīng)用：①如圖3所示的0ABe(其中NA/&/C均小于120。),

AB=3,3C=4,ZABC=30°,現(xiàn)取一點P,使點尸到AB、C三點、的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個村莊A&C構(gòu)成R/&48C,其中AC=6km,3c=4限m,/C=90°.現(xiàn)選取

一點尸打水井，使P點到三個村莊A氏C鋪設(shè)的輸水管總長度最小，畫出點尸所對應(yīng)的位

置，輸水管總長度的最小值為.(直接寫結(jié)果)

例5.(2020?重慶中考真題)如圖，在及—ABC中，ZBAC^9Q°,AB=AC,點。是

BC邊上一動點，連接AD,把A。繞點八逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AE,連接CE,DE.點F是

?！甑闹悬c，連接CF.

(1)求證：CF上AD；(2)如圖2所示，在點。運動的過程中，當(dāng)5￡)=28時，分

2

別延長CF,BA,相交于點G,猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；

(3)在點。運動的過程中，在線段A。上存在一點P,使以+尸5+PC的值最小.當(dāng)

B4+M+PC的值取得最小值時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示CE的長.

例6.（2022?河北?九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為（0,2）,

點。在x軸的正半軸上，ZODB=30°,0E為EIBOD的中線，過B、E兩點的拋物線

>+立x+c與x軸相交于A、歹兩點（A在歹的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）

6

等邊回。肱V的頂點M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點尸為回A50內(nèi)的一個動點，

^m=PA+PB+PO,請直接寫出用的最小值，以及加取得最小值時，線段AP的長.

例7.（2022?浙江?九年級專題練習(xí)）如圖，E1A3C中，SBAC=45°,AB=6,AC=4,尸為平

面內(nèi)一點，求208P+GAP+3PC最小值

B

課后專項訓(xùn)練

1.（2021?山東淄博市?中考真題）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD,如圖所

示.若Ncr=30。，則對角線BD上的動點P到AB,C三點距離之和的最小值是

2.（2022?成都實外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，ZCAB=90°,AB=AC=1,尸是二ABC

內(nèi)一點，求B4+P3+尸C的最小值為.

3.（2022?廣東廣州?一模）如圖，在R他A8C中，0BAC=9O°,AB=AC,點P是A8邊上一動

點，作尸。aBC于點。，線段上存在一點°,當(dāng)Q4+Q8+QC的值取得最小值，且AQ=2

時，則尸。=

A

4.（2019?湖北武漢?中考真題）問題背景：如圖，將AABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AADE,

DE與BC交于點、P,可推出結(jié)論：PA+PC=PE

D

問題解決：如圖，在AM7VG中，MN=6,NM=75。,MG=4后.點。是AMZVG內(nèi)一點,

則點O到AMNG三個頂點的距離和的最小值是

5.（2022?重慶?九年級專題練習(xí)）如圖，EWBC中，0B/4C=30°MAB=AC,P是底邊上的高AH

上一點.若AP+BP+CP的最小值為2近，則BC=.

6.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB=6,且0ABe=60。，

M是菱形內(nèi)任一點，連接AM,BM,CM,則AM+BM+CM的最小值為.

7.（2022?陜西?二模）已知，如圖在一ABC中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在ABC內(nèi)

部有一點。，連接。4、DB、DC.則ZM+D3+后DC的最小值是.

A

8.（2022?陜西?八年級期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E在BC邊上，且BE

=1.點P是AB邊上的動點，連接PE,將線段PE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EQ.若在

正方形內(nèi)還存在一點M,則點M到點A、點D、點Q的距離之和的最小值為

9.（2022?廣東?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABC。是正方形，0ABE是等邊三角形，M

為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點、8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、

AM.CM.

（1）求證：AMBWENB；

⑵①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由;

⑶當(dāng)?shù)淖钚≈禐?+1時，求正方形的邊長.

10.（2022?福建九年級開學(xué)考試）如圖，四邊形ABC。是正方形，AABE是等邊三角形，M

為對角線3。（不含B點、）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60得到BN,連接EN、AM、

CM.設(shè)點N的坐標(biāo)為（m,n）.

（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點在線段上，點8（T,0）,40,1）.且=r

（0<?<2）,則點。的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為；請直接寫出點N縱坐標(biāo)”的

取值范圍是;

（2）若正方形的邊長為2,求EC的長，以及AM+3M+Q欣的最小值.（提示：連接MN:

^/4+2V3=#）+1，^4—2A/3=y[3—1）

備用圖

11.（2022?廣東?九年級專題練習(xí)）閱讀材料:平面幾何中的費馬問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、

被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給

意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性

的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A,B,C,求平面上

到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托里拆利成功地解決了費馬的問題.后來人們

就把平面上到一個三角形的三個頂點A,B,C距離之和最小的點稱為，A8C的費馬-托里拆

利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1，我們可以將，BPC

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60。得到BDE,連接PZ）,可得那尸。為等邊三角形，故尸。=尸2,由旋

轉(zhuǎn)可得DE=PC,因PA+PB+PC=PA+PD+DE,由可知，B4+P3+PC的最小值與線段的

長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P,SBAC=90。，fflACB=30°,連接E4,PB,

PC,若42=2,求B4+P2+PC的最小值；（3）如圖3,菱形ABC。的邊長為4,0ABC=6O°,

平面內(nèi)有一動點E,在點E運動過程中，始終有SBEC=90。，連接AE、DE,在ADE內(nèi)部是

否存在一點尸，使得B4+PD+PE最小，若存在，請直接寫出B4+PZ）+PE的最小值；若不存在，

請說明理由.

12.（2022?山西?九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：

費馬，17世紀(jì)德國的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為"業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析

幾何的基本原理.

費馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，在三角形內(nèi)有一點尸,

使得//皿3=4尸0=/2尸0=120。，且該點到三角形三個頂點的距離之和最小，這個點被

稱為費馬點.

圖①圖②

證明：如圖②，把繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到，APC',連接PP,則NPAP'=60。,

?,

W為等邊三角形.

/.AP=PP\PC=PC

:.PA+PB+PC=PP+PB+PC,

點C’可看成是線段AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60。而得的定點,BC為定長,

.?.當(dāng)8、P、P、C四點在同一直線上時，R4+M+PC最小，

這時ZBPA=180°-ZAPP=180°-60°=120°,

ZAPC=ZAP'C'=180°-ZAPP=180°-60°=120°,

ZBPC=360°-ZBPA-ZAPC=360°-120°-120°=120°.

任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是;

（2）已知正方形A3c。內(nèi)一動點E到4B、C三點的距離之和的最小值為夜+#,求此

正方形的邊長.

13.（2022?山西?八年級階段練習(xí)）綜合與實踐

材料一："轉(zhuǎn)化思想"是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實現(xiàn)圖形位置的

"轉(zhuǎn)化"，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問題化難為易.它是一種以變化的、運動的觀點來

處理孤立的、離散問題的思想.

材料二：皮埃爾?德?費馬（如圖），17世紀(jì)法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為"業(yè)余數(shù)學(xué)家之

王1638年勒?笛卡兒邀請費馬思考關(guān)于三個頂點距離為定值的問題，費馬經(jīng)過思考并由此

推出費馬點的相關(guān)結(jié)論.

定義：若一個三角形的最大內(nèi)角小于120。,則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為

120，此時該點叫做這個三角形的費馬點.如圖1,當(dāng)三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸

在，ABC內(nèi)部，此時ZAPB=NBPC=ZCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

圖4

(1)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點尸，若點P到頂點的距離分別為3,4,5,求

的度數(shù).為了解決本題，小林利用"轉(zhuǎn)化”思想，將一A5尸繞頂點A旋轉(zhuǎn)至ACP處，

連接尸產(chǎn),此時，ACP'M這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段尸4尸8,PC轉(zhuǎn)化到一

個三角形中，從而求出Z4PB=°；

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長3尸，在射線上取點RE,連接使AO=AP,

ND4E=NP4C,求證：BE^PA+PB+PC；(3)如圖4,在RtABC中，

NABC=90,ZACB=30°,48=1,點尸為RtABC的費馬點，連接AP,BP,CP,請直接寫出

B4+P3+PC的值.

14.(2022?重慶藜江?九年級期末)如圖，在菱形ABC。中，0ABe=60。，點￡、尸分別是A3、

上的動點，連接。E、DF.EF.

圖1圖2

(1)如圖1,連接AF,若AE3BC,E為AB的中點，且EF=5,求。尸的長；

(2)如圖2,若BE=BF,G為。E的中點，連接AG、FG,求證：AG0FG；

⑶如圖3,若AB=7,將勖石尸沿EF翻折得到SEEP(始終保持點P在菱形ABCD的內(nèi)部),

連接AP、BP及CP,請直接寫出當(dāng)R1+P8+PC值最小時尸3的長.

15.(2022?廣東?九年級專題練習(xí))如圖，拋物線；y=^+法+；經(jīng)點A。,。),8(5,0),與y軸

相交于點C.

1)求拋物線的解析式；⑵定義：平面上的任一點到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點的距

離，稱為點到二次函數(shù)圖象的垂直距離.如：點0到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段OC的

長.已知點E為拋物線對稱軸上的一點，且在x軸上方，點F為平面內(nèi)一點，當(dāng)以

為頂點的四邊形是邊長為4的菱形時，請求出點尸到二次函數(shù)圖象的垂直距離.(3)在(2)中，

當(dāng)點尸到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時，在A,瓦瓦廠為頂點的菱形內(nèi)部是否存在點。，

使得AQ,8Q,尸。之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.

備用圖

專題12最值模型-費馬點問題

最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模

型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說

明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的費馬點問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫

業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學(xué).費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)

域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大

定理”等.費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。

【模型解讀】

結(jié)論1：如圖，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM,當(dāng)M與三個頂點連線的

夾角為120。時，MA+MB+MC的值最小。

注意:上述結(jié)論成立的條件是AABC的最大的角要小于120°,若最大的角大于或等于120°,

此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）

【模型證明擬AB為一邊向外作等邊三角形△ABE,將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,

連接EN.

:△ABE為等邊三角形，：.AB=BE,ZABE=60°.而NMBN=60。，:.NABM=NEBN.

AB=BE

在小AMB與△ENB中，?/JZABM=NEBN，?*-AAMBmAENB(SAS).

BM=BN

連接MN.由AAAffi絲△ENB知，AM=EN.；NMBN=60°,BM=BN,:.ABMN為等邊

三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..?.當(dāng)E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM

的值最小.

此時，N8MC=1800-NNMB=120°；NAMB=/ENB=180°-/BNM=120°；

ZAMC^360°-ZBMC-120°.

費馬點的作法：如圖3,分別以AA8C的A8、AC為一邊向外作等邊AA8E和等邊△AC凡

連接CE、BF,設(shè)交點為則點M即為△A8C的費馬點。

結(jié)論2：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP,求xAP+yBP+zCP最小值。（加

權(quán)費馬點）

【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。

如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=y（￡AP+BP+-CP），如圖，B、尸、P2,4四點共線時，

yy

取得最小值。

模型特征：PA+PB+PC（尸為動點）

①一動點，三定點；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外

的頂點與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點；③同時

線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

例1.（2021?山東濱州?中考真題）如圖，在，ABC中，ZACB=90°,/胡C=30。，AB=2.若

點P是.ABC內(nèi)一點,則PA+PB+PC的最小值為.

B

【答案】不

【分析】根據(jù)題意，首先以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)AAPB至SAPE,旋轉(zhuǎn)角是60。，

作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到

PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC,再根據(jù)兩點之間線段最短，可以得到%+PB+PC的最小值就是C&的

值，然后根據(jù)勾股定理可以求得C&的值，從而可以解答本題.

【詳解】以點A為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)AAPB到△AP'B',旋轉(zhuǎn)角是60°,連接BB'、PP',CB',

如圖所示，

貝lJ/%P，=60°,AP=AP，，PB=P，B，，.^.△APP，是等邊三角形，.^.AP=PP，，.^.PA+PB+PC=PP，+PB+PC,

'：PP'+P'B'+PC>CB',，PPWB，+PC的最小值就是CB，的值，即R4+PB+PC的最小值就是CB'的

值，

ZBAC=30°,ZBAB'=60°,AB=AB'=2,：.ZCAB'=90°,AB'=2,AC=AB?cosZBAC=2xcos30°=

2XB=0,

2

.,.CB'=ylAC2+AB'2-故答案為：幣.

c

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的

關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出力+PB+PC的最小值就是CB，的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是

數(shù)形結(jié)合的思想.

例2.（2021?遼寧丹東?中考真題）己知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形

的費馬點.如果池。是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足

NAPB=NBPC=NCPA=120。.（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若

AB=AC=?BC=26,P為ABC的費馬點，貝|JR4+PB+PC=；若

AB=2y/3,BC=2,AC=4,P為ABC的費馬點，貝ijR4+P3+PC=.

【答案】52幣

【分析】①作出圖形，過民C分別作".=/。"=30。,勾股定理解直角三角形即可

②作出圖形，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，。為.4?。的費馬點則B,P,P',C'四點共線,

即%+P3+PC=BC,再用勾股定理求得即可

【詳解】①如圖，過A作AD_LBC,垂足為

過氏C分別作NO3P=/ZXP=30。，則尸5=PC,P為ABC的費馬點

AB=AC=SBC=26:.BD=DC=3BC=6tan30°=—=—

2BD3

PD___________

PD=1PB=——=2AD=^AB2-BD2=^7-3=2--PA+PB+PC=5

sm30

②如圖：AB=2^/3,BC=2,AC=4.AB2+BC2=16,BC2=16

AB2+BC2=AC2ZABC=90°sinABAC=—=1=sin30°ABAC=30°

AC2

將△AFC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。由旋轉(zhuǎn)可得：AAPC^/\AP'C

AP'=AP,PC=PC,AC=ACZCAC=ZPAP1=60°APP'是等邊三角形，二

ABAC=90°

P為，ABC的費馬點，即氏P,P',C'四點共線時候，PA+PB+PC=BC

???PA+PB+PC=BP+PP'+P'C'=BC=^JAB2+AC'2=J（2君>+4?=2s故答案為:①5,

②2幣

【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的

圖形是解題的關(guān)鍵.本題旋轉(zhuǎn)△上4民△尸BC也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn).

例3.（2022?宜賓?中考真題）如圖，,MC和,愈￡都是等腰直角三角形，ZBAC=ZZME=90°,

點。是BC邊上的動點（不與點8、C重合），與AC交于點F,連結(jié)CE.下列結(jié)論：

CF4

①BD=CE；②ZDAC=NCED；③若%>=2CD,則丁==;④在內(nèi)存在唯一

~AF5

一點尸，使得“4+尸8+尸。的值最小，若點。在A尸的延長線上，且A尸的長為2,則

CE=2+y/3.其中含所有正確結(jié)論的選項是（）

C.①③④D.①②③④

【答案】B

【分析】證明白胡度一C4E,即可判斷①，根據(jù)①可得/4DB=NAEC,由

/4DC+/4EC=180°可得ARCE四點共圓，進(jìn)而可得/Q4C=NDEC,即可判斷②，過

點A作AG1BC于G,交即的延長線于點〃，證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)

CF4

可得丁==，即可判斷③，將繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60度，得到△AB'P，則APP'是

等邊三角形，根據(jù)當(dāng)",p,尸,c共線時，K4+P8+PC取得最小值，可得四邊形妣下是正

方形，勾股定理求得DP，根據(jù)CE=AD=AP+PD即可判斷④.

【詳解】解：ABC和：4下都是等腰直角三角形，ZBAC=ZZME=90°,

AB=AC,AD^AE,/BAD=NCAEABAD^ACAE：.BD=CE故①正確；

BAD^_CAEZADB=ZAECZADC+ZAEC=180°.1ADC,E四點共圓，

CD=CD;.4MC=NDEC故②正確；如圖，過點A作AG1BC于G,交ED的延長線于點

BAD^_CAEZACE=ZABD=45°,ZACB=45°.-.ZDCE=90°：.FC//AH

r)c1CD1

BD=2CD,BD=CE..tan/DEC=——二—,——二—

CE2BC3

設(shè)BC=6a,則。C=2〃，AG=^-BC=3a,EC=2DC=4c^\GD=GC—DC=3a—2a=a

2

GDI

FC//AHtanH=——=-GH=2GD=2aAH=AG+GH=3。+為=5。

GH2

CFCFCF4/74CF4…

由比，,一碗s/CE.?行=初.?.赤=?。輨t而下故③正確

如圖，將jAB尸繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60度，得到Wp,則APP'是等邊三角形,

:.PA+PB+PC=PP'+P'B'+PC>B'C,當(dāng)3',尸'，尸，。共線時，B4+PB+PC取得最小值,

此時NCB4=180°—NAPP=180°-60。=120。,

ZAPB=ZAP?=180°—ZAP'P=180°-60°=120。,

ZBPC=3600-ZBPA-ZAPC=360°-120°-120°=120°,此時ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°,

AC=AB^AB',AP=”，ZAPC=ZAP'B',:.^AP'B'^._APC,:.PC=PB'PB,

ZAPP'=ZDPC=a)°,.?.。/>平分/8P。，..「。18。,

A,DC,E四點共圓，：.ZAEC^ZADC=90°,

又AD=OC=8D.54?？?C4E,.?.AE=EC=4)=OC,則四邊形4)CE是菱形,

又NADC=90。，:四邊形ADCE是正方形,

ZB'AC=NB'AP+ZPAC+ZPAP=90°+60°=150°,

則8'A=班=AC,NB，=/ACB'=；(180°-ZB'AC)=15°,

ZPCD=30°,-.DC=s/3PD,DC=AD,AP=2,

則AP=AD—￡>P=(g-l)￡>P=2,:.DP=-^-^=yf3+l,

AP=2,CE=AD=AP+PD=y/3+3,故④不正確，故選B.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，費馬點，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定,

全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識

是解題的關(guān)

例4.(2022?江蘇?九年級階段練習(xí))探究題

3()。

圖3圖4

(1)知識儲備:①如圖1,已知點P為等邊0ABe外接圓的弧8C上任意一點.求證:PB+PC=B4.

②定義：在0ABe所在平面上存在一點P,使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P

為0A8C的費馬點，此時PA+PB+PC的值為a42c的費馬距離.

（2）知識遷移：我們有如下探尋0ABC（其中0A,勖，IBC均小于120。）的費馬點和費馬距離的方

法：如圖2,在0ABe的外部以BC為邊長作等邊SBCD及其外接圓，根據(jù)⑴的結(jié)論，易知線

段—的長度即為財8C的費馬距離.

⑶知識應(yīng)用：①如圖3所示的（其中/A/&NC均小于120。），

AB=3,BC=4,ZABC=30°，現(xiàn)取一點P,使點P到A民C三點的距離之和最小,求最小值；

②如圖4,若三個村莊AB、C構(gòu)成R/I3A8C,其中AC=6km,8C=40km,NC=9O°.現(xiàn)選

取一點尸打水井，使尸點到三個村莊AB、C鋪設(shè)的輸水管總長度最小，畫出點P所對應(yīng)的

位置，輸水管總長度的最小值為.（直接寫結(jié)果）

【答案】⑴證明見解析；（2）AD（3）5,2而.

【分析】（1）在以上截取PD=PC,可證明HACOEHBCP,則4￡>=尸2,從而得出B4=PB+PC；

（2）利用（1）中結(jié)論得出B4+P8+PC=B4+（PB+PC）=B4+Pr>,再根據(jù)"兩點之間線段最短"

可得答案；

（3）①在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再利用勾股定理求解；

②仿照①的方法可畫出產(chǎn)的位置，利用勾股定理可求出輸水管總長度的最小值，

（1）解：①證明：在必上截取尸￡）=PC,連接CD,

SAB=AC=BC,所以A8=AC=BC,

00APB=E1APC=6OO,EHPCZ)為等邊三角形，00PC￡)=0ACB=6O°,CP=CD,

EZPCD-ZDCM=ZACB-NDCM,即0ACMBCP,

AC=BC

在她CD和回BCP中,IZACD=ZBCP00ACD00BCP(SAS),^AD=PB,

CP=CD

^PA=AD+DP,DP=PC,0B4=PB+PC；

(2)如圖2,根據(jù)(1)的結(jié)論得：PA+PB+PC=PA+{PB+PC)^PA+PD,

國當(dāng)A、P、。共線時，E4+PB+PC的值最小，

團(tuán)線段的長度即為0ABe的費馬距離，故答案為：AD；

(3)①如圖，以BC為邊長在財BC的外部作等邊SBC。，連接A。，則線段A。的長即為最

短距離，

甌BCD為等邊三角形，BC=4,fflCBD=60°,BD=BC=4,

00ABC=3O°,00AB￡)=9O°,在R/HAB。中，0AB=3,BD=4,

EAD=~JAB2+BD1=-S/32+42=5;

②以BC為邊，在BC下方作等邊I33CK,設(shè)等邊EIBCK外接圓為回。，連接AK交回。于P,

則由①知此時以+PB+PC最短，且最短距離等于AK的長度，過K作K70AC交AC延長線

于T,如圖：

甌BCK是等邊三角形，a3BCK=60°,CK=BC=&6E0CAB=9O0,0.EITCK=30。，

在R/0AKT中，TK、CK=2瓜CT=￡TK==6,0

22

AT=AC+CT=6+6=12,

在Rl^AKT中，AK=>]AT2+TK2=J12?+(2時=2739，故答案為：2而.

【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費馬點

和費馬距離，還考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識，難度很大，理解

新定義是本題的關(guān)鍵.

例5.(2020重慶中考真題)如圖，在ABC中，4AC=90°,A6=AC,點。是

BC邊上一動點，連接AD,把AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AE,連接CE,DE.點F是

OE的中點，連接CR

(1)求證：CF=*AD；(2)如圖2所示，在點。運動的過程中，當(dāng)3￡)=28時，分

2

別延長CF,BA,相交于點G,猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；

(3)在點。運動的過程中，在線段4。上存在一點P,使B4+P5+PC的值最小.當(dāng)

PA+PB+PC的值取得最小值時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示CE的長.

GEA

AA

【答案】（1）證明見解析；（2）BC=3也AG;（3）CE=—

【分析】（1）先證ABAD取ZkCAE,可得/ABD=NACE=45。，可求/BCE=90。，由直角三角

形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接AF,由（1）得AABDMAACE,

CE=BD,ZACE=ZABD=45。,推出ZDCE=ZBC4+ZACE=450+45°=90°,然

后根據(jù)現(xiàn)有條件說明

在Rf_DCE中,DE=4CD2+CE-=4CD1+BD2=-J5CD>點A,D,C,E四點共圓，F(xiàn)

為圓心，貝ICF=AF,在Rt_AGC中，推出AG=^CG2-AC2=JsCD2-—C￡>2=—CD,

V42

即可得出答案；

（3）在AABC內(nèi)取一點P,連接AP、BP、CP,將三角形ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AEBD,

證明點P位于線段CE上，同理得到點P位于線段BF上，證明NBPC=120。，進(jìn)而得到

ZAPB=ZBPC—Z.CPA=120°,設(shè)PD為。，得出BD=，AD-BD-y/3a>得出

a+m=?，解出a,根據(jù)即可得出答案.

【詳解】解：（1）證明如下：,/ABAC=ZDAE=90°,ZBAD=ZCAE,VAB=AC,

AD=AE,

ZBAD=ZCAE

...在△AB。和△4。石中（AB=AC,：.AABD=AACE,

AD=AE

：.ZABD=ZACE=45°,AZDCE=ZACB+ZACE=90°,

在HfAADE中，F(xiàn)為DE中點（同時A￡>=AE）,ZADE=ZAED=45。,

：.AFLDE,即HLADE為等腰直角三角形，???AF=DF=、一AD,

2

?：CF=DF,：.CF=—AD；

2

（2）連接AF,由（1）得AABDwAACE,CE=BD,ZACE=ZABD=45。,

：.ZDCE=ZBCA+ZACE=45°+45°=90°,

在RtDCE中，DE=4CD2+CE2=^CD2+BD2=^CD>

：F為DE中點，/.DF=EF=-DE=—CD,

在四邊形ADCE中，有/DAE=ZDCE=90°,ZDAE+ZDCE=180°,.?.點A,D,C,E四

點共圓，

:F為DE中點，；.F為圓心，則（/二人/，

在AGC中，：中二”，，F(xiàn)為CG中點，即CG=2CF=Jk：D，

/.AG=y/CG2-AC2=J5CD2--C￡>2-—CD,即8C=3^2AG;

V42

GE

(3)如圖1,在AABC內(nèi)取一點P,連接AP、BP、CP,將三角形ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60。

得到AEBD,得到ABPD為等邊三角形，所以PD=BP,AP+BP+CP=DE+DP+CP,

.?.當(dāng)K4+PB+PC的值取得最小值時，點P位于線段CE上；

B圖1

A

圖2

如圖2,將三角形ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△FCG,得到△PCG為等邊三角形，所以PC=GP,

；.AP+BP+CP=GF+GP+BP,當(dāng)？A+M+PC的值取得最小值時，點P位于線段BF上；

綜上所述：如圖3,以AB、AC為邊向外做等邊三角形ABE和等邊三角形ACF,連接CE、BF,

則交點P為求作的點，.?.△AEC絲ZiABF,NAEC=/ABF,/EPB=EAB=60°,二/BPC=120°,

如圖4,同理可得，ZAPB^ZBPC=ZCPA=120°,：.ZBPD=60°,設(shè)PD為

BD=y/3a，

又AD=BD=6a，；.a+m=6a，m=（布-l）a。=冒、又BD=CE：.

e3+6

CE=-----m.

2

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，靈活運用所學(xué)知識是解本題的關(guān)鍵.

例6.（2022■河北■九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為（0,2）,

點。在x軸的正半軸上，NOD6=30°,0E為團(tuán)BOD的中線，過B、￡兩點的拋物線

丫="2+必^+°與*軸相交于人、/兩點（A在廠的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）

6

等邊國0MN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；（3）點戶為團(tuán)AB0內(nèi)的一個動點,

設(shè)加=24+尸6+尸。，請直接寫出〃z的最小值,以及〃z取得最小值時，線段AP的長.

【答案】（1）、=一工必+且x+2（2）AE=y/13；AM=AM=（3）可

■261313

以取到的最小值為當(dāng)，〃取得最小值時，線段AP的長為之姮

13

【分析】（1）已知點B的坐標(biāo)，可求出0B的長；在RtAOBD中，已知了回ODB=30°,通過解

直角三角形即可求得0D的長，也就得到了點D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點，根據(jù)B、

D的坐標(biāo)即可得到E點的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)

的值，由此確定拋物線的解析式；

（2）過E作EG取軸于G,根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長；過。作AE的

垂線，設(shè)垂足為K,易證得AAOK回回AEG,通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長；

在RtAOMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長可在R3AOK中由勾股

定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長；（3）由于點P到AABO三頂

點的距離和最短，那么點P是AABO的費馬點，即回APO=13OPB=l3APB=120。；易證得AOBE是

等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長；求AP的長時，可作AOBE的外接圓（設(shè)

此圓為國Q）,那么回Q與AE的交點即為m取最小值時P點的位置；設(shè)回Q與x軸的另一交點

（0點除外）為H,易求得點Q的坐標(biāo)，即可得到點H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長，相對

于回Q來說，AE、AH都是回Q的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長.

【詳解】（1）過E作EGI30D于G0[3BOD=0EGD=9OO,0D=0D,00BOD00EGD,

團(tuán)點B(0,2),0ODB=3O°,可得OB=2,00=273;

EGDEGD1

ISE為BD中點，0—=—=—=一EIEG=1,GD=JiEOG=Ji0點E的坐標(biāo)為(如，1)

BODBOD2

團(tuán)拋物線y=ar2+*x+c經(jīng)過B(O,2)、網(wǎng)收1)兩點，

回1="(行『+走x百+2.可得口=一，.回拋物線的解析式為、=-工/+且x+2.

I,6226

(2)回拋物線與x軸相交于A、F，A在尸的左側(cè)，回A點的坐標(biāo)為卜6,0).過E作EG取軸

于G

回AG=2區(qū)EG=1，團(tuán)在AAGE中，ZAGE=90°,AE=?2國+12=屈.過點0作0K團(tuán)死于

K，

可得aAOK回團(tuán)AEG.0—.團(tuán)窄=2.^\OK=^-SAK=ylAO2-OK2=.

AOAEA/3J131313

屈

甌。MN是等邊三角形，回4W=60°.回依4OK病.

tanZKMO7313

易證0E=0B=2,