2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊 第一章 勾股定理 單元試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八上第一章勾股定理單元試卷

一、單選題

1.以下四組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是（）

A.3、4、5B.5、12、13C.7、24、25D.5、7、8

2.如圖所示，在RtZ\48C中，AB=8,AC=6ZCXB=9O°,ADLBC,那么的長為

()

A.1B.2C.3D.4.8

3.“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形.每個直角

三角形的兩條直角邊的長分別是3cm和6CM,則中間小正方形的面積是（）

A.9cm2B.36cm2C.27cm2D.45cm2

4.如圖，高速公路上有4、B兩點相距25km,C、D為兩村莊，已知=10km,CB=15km,

D414B于4。3148于8,現(xiàn)要在AB上建一個服務(wù)站E,使得C、。兩村莊到E站的距離相

等，貝！ME的長是（）km.

AEB

D\

C

A.5B.10C.15D.25

5.山西地形較為復(fù)雜，境內(nèi)有山地、丘陵、高原、盆地、臺地等多種地貌類型，整個地貌

是被黃土廣泛覆蓋的山地型高原.如圖，在/村與2村之間有一座大山，原來從/村到2

村，需沿道路NtCtBQC=90。）繞過村莊間的大山，打通力,2間的隧道后，就可直接

從/村到2村.已知AC=9km,BC=12km,那么打通隧道后從/村到2村比原來減少的

路程為（）

A.7kmB.6kmC.5kmD.2km

6.如圖44BC中，ND=90。，C是BD上一點，已知C8=9,AB=17,AD=8,貝ijDC的長是

()

A.8B.9C.6D.15

7.如圖，在Rt^ABC中，ZA=9O°,AB=6,AC=8,現(xiàn)將RtAABC沿BD進(jìn)行翻折，使點A

剛好落在BC±,則CD的長為（）

A.10B.5C.4D.3

8.如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設(shè)計的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形

紙片，面積分別是2,4,6,8,10,選取其中三塊（可重復(fù)選取）按圖的方式組成圖案，

使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是（）

C.6,8,10D.4,4,8

9.如圖所示，A8CD是長方形地面，長48=20m,寬4。=10m.中間豎有一堵磚墻高

MN=2m,一只螞蚱從N點爬到C點，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）的路

程.

C.25cmD.24cm

10.陳老師和與她搭班的李老師都十分熱愛文學(xué).某日，陳老師翻閱到一本古代數(shù)學(xué)著作一

《增刪算法統(tǒng)宗》，看到里面記載了這樣一個問題：“今有門廳一座，不知門廣高低，長午橫

進(jìn)使歸室，爭奈門狹四尺，隨即豎竿過去，亦長二尺無疑，兩隅斜去恰方齊，請問三色各

幾？”.為了能夠更通順地讀懂這個問題，陳老師找了李老師勾兌一二，最后得到了其可能

的大意：“今有一房門，不知寬與高，長竿橫著進(jìn)門，門的寬度比竿小4尺進(jìn)不了；將竿豎

著進(jìn)門，竿比門長2尺將竿斜著穿過門的對角，恰好進(jìn)門.試問門的寬、高和竿長各是多

少？”根據(jù)翻譯，她畫出了這樣一幅圖，并設(shè)竿長力C為久尺，則下列方程中符合題意的是

()

A.(%—4)2+(久—2)2=%2B.42+(x—2)2=%2

C.(x-4)2+Q—2)2=2/D.(x-4)2+22=x2

二、填空題

11.在△/2C中，AB=AC=17cm,BC=16cm,AD1BC于點D,則AD—.

12.如圖，折疊直角三角形紙片NBC使得兩個銳角頂點/、C重合，設(shè)折痕為DE,若

4B=4,BC=3,則ZUOC的周長是

13.如圖，在四邊形4BCD中，^ABC=ACDA=90°,分別以四邊形4BCD的四條邊為邊長,

向外作四個正方形，面積分別為Si，S2,S3和S4.若S1=4,S2=16,S3=12,則S4的值

是.

14.如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C

和點。距離門檻都為1尺（1尺=10寸），則的長是.

圖2

15.如圖，一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦48生長在它的中央，高出

水面的部分8c為1尺.如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳緽恰好

碰到岸邊的夕，則這根蘆葦?shù)拈L度是尺.

B

16.某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m、長13m、寬2m的樓道鋪上地毯，己知地毯每平

方米30元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要元.

三、解答題

17.求出下列直角三角形中未知邊的長度.

26

10

b

圖1圖2

18.1876年，美國總統(tǒng)加菲爾德利用下圖驗證了勾股定理.

(1)請用含a、b、c的代數(shù)式通過兩種不同的方法表示直角梯形的面積(不需要化簡)：

方法1：;方法2：.

(2)利用“等面積法”，推導(dǎo)a、6、c之間滿足的數(shù)量關(guān)系，完成勾股定理的驗證.

19.為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，學(xué)校計劃在空地上

種植草皮，經(jīng)測量乙4=90。/8=9m,￡M=12m,8C=8m,CD=17m,求出空地48CD的面

積.

20.明朝數(shù)學(xué)家程大位在《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平

地秋千未起，踏板一尺離地.送行二步恰竿齊，五尺板高離地……”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖,

秋千細(xì)索04懸掛于。點，靜止時豎直下垂，A點為踏板位置，踏板離地高度為一尺(AC=1

尺）.將它往前推進(jìn)兩步（EB人0C于點、E,且EB=10尺），踏板升高到點3位置，此踏板

高地五尺（BD=5尺，BD=EC）,則秋千繩索長多少尺？

21.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米范圍內(nèi)形成極端氣候，有極

強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺風(fēng)中心沿東西方向力B由4行駛向B,已知點C為海港，且點C與直

線，上的兩點48的距離分別為4C=300km,BC=400km,^AB=500km,以臺風(fēng)中心為

圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域.已知臺風(fēng)運(yùn)動速度為72km/h.

⑴求乙4cB的度數(shù)；

（2）求海港C到直線的最短距離；

（3）海港C受臺風(fēng)影響嗎？若受影響請計算受影響時間，若不受影響請說明理由.

22.美宜佳超市為了讓顧客感覺服務(wù)很溫馨，在超市門口離地面一定高度的墻上。處，裝有

一個由傳感器控制的迎賓門鈴，人只要移動到該門口2.4米及2.4米以內(nèi)時，門鈴就會自動

發(fā)出“歡迎光臨美宜佳”的語音.如圖，一個身高L6米的學(xué)生剛走到/處（學(xué)生頭頂在8處）,

門鈴恰好自動響起，此時測得迎賓門鈴與地面的距離和到該生頭頂?shù)木嚯x相等，請你計算迎

賓門鈴距離地面多少米？

參考答案:

1.B

2.D

3.A

4.C

5.B

6.C

7.B

8.B

9.B

10.A

11.15cm

12—

13.8

14.101寸

15.13

16.1020

17.x=25,b=24

18.(1)解：由題得：梯形面積為萬(。+b)(a+b)；

此梯形的面積還可以看成是三個直角三角形的面積和，即5abx2+32；

故答案為：~(a+b)(a+b)；-abx2+1c2

(2)解：由(1)得：+Z?)(a+Z?)=x2+|c2,

即a?+b2=c2.

19.解：如圖，連接BD,

在Rt△力BD中，BD2=AB2+AD2=92+122=152,

在△CBD中，CD2=172,BC2=82,

而82+152=172,

即Be?+BD2=CD2,

.?.△DBC為直角三角形，

z￡)BC=90°,

2

S四邊形4BCD=S&BAD+SADBC=YAD-AB+^DBBC=|xl2x9+|xl5x8=114(m),

答：空地4BCD的面積114m2.

20.解：設(shè)O5=Q4=x(尺)，

???四邊形成C。是矩形，

：.BD=EC=5(尺)，

在此△05E中，OB=x,OE=x—4,BE=\。,

-t-x2=102+(x-4)2,

29

“萬.

29

■■■OA的長度為三(尺).

21.(1)在AACB中，4c=300km,BC=400km,AB=500km

■.-AC2+BC2=AB2

?,△ACB為