2024-2025學(xué)年人教版高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 第二章 直線和圓的方程 章末測試（基礎(chǔ)）（解析版）

第二章直線和圓的方程章末測試（基礎(chǔ)）

一、單選題（每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分）

1.（2023春?福建廈門?高二統(tǒng)考期末）直線x-y+l=O被圓x2+y2=i所截得的弦長為（）

A.走B.1C.&D.2

2

【答案】C

【解析】由圓的方程/+y2=i,則其圓心為（0,0）,半徑為r=1,

圓心到直線X—y+l=0的距離d=里把=立，則弦長/=2，產(chǎn)-屋=故選:C.

V1+12V2

2.（2023春?內(nèi)蒙古包頭）三條直線4，4，4的位置如圖所示，它們的斜率分別為L，k2,k3,則K，k2,

%的大小關(guān)系為（）

A.k2>kx>k3B.左2〉&〉

C.k3>k2>k{D.左3>曷>左2

【答案】B

【解析】設(shè)三條直線4，M4的傾斜角為4（，=1，2,3）,由圖可知0<。3<%<]<4<兀，

所以魚>%>%.故選：B.

3.（2023春?山東濰坊?高二校考階段練習(xí)）若直線/過兩點A（-2,0）,B（0,l）,則直線/的一般式方程是（）

A.x-2y+2=0B.x+2y—2=0

C.2x—y+2=0D.2%+y-2=0

【答案】A

【解析】因為直線/過兩點4-2,0）,8（0,1）,所以直線/的方程為王+?=1,即x-2y+2=0,故選：A

-21

4.（2023春?四川成都?高二成都七中?？计谀┲本€點x+@-1=0與直線4：融+丁+1=0平行，則。二（）

A.0B.1C.-1D.1或-1

【答案】B

【解析】因為直線4：x+ay-1=。與直線:ox+y+1=。平行，所以lxl=axa,所以。=1或。=一1,

當(dāng)。=-1時，直線4：x-y-l=。與直線4：-x+y+l=O重合，舍去，故。=1.故選：B.

5.（2023春?江西宜春?高二灰埠中學(xué)?？计谀﹫A/+丁-4x-4y-10=0上的點到直線x+y+6=。的最大

距離是（）

A.20B.4A/2C.872D.1672

【答案】C

【解析】圓/+/一4工-4'一10=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-2y+（y-2）2=18,

圓心坐標(biāo)為（2,2）,半徑為3板，圓心到直線*+丫+6=0的距離為巨手=5&

72

所以圓上的點到直線x+y+6=0的最大距離為5及+30=80.

故選:C.

6.（2023春?吉林長春?高二?？奸_學(xué)考試）不論左為任何實數(shù)，直線（2%-l）x-（左+3）y-（左-11）=0恒過定

點，則這個定點的坐標(biāo)為（）

A.（-2,3）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-2,-3）

【答案】B

［角軍析1直線（2k-V）x—（k+3）y—（左一11）=0即k（2x—_y—1）+（―x—3y+11）=0,

j2x-y-l=0x=2

根據(jù)上的任意性可得1-x-3y+ll=0,解得

y=3

不論％取什么實數(shù)時，直線（20l）x+（左+3）y-（左-11）=0都經(jīng)過一個定點（2,3）.故選：B

7.（2023春?貴州銅仁?高二統(tǒng)考期末）點A在圓C：尤之+丫?-2x=0上運動，點3（-1,0）,當(dāng)直線A3的斜率

最大時，直線45方程是（）

A.\/3x—y+A/3=0B.x+y—1—0

C.x-s/3y+l=0D.>/3x+y=0

【答案】C

【解析】設(shè)直線48的方程為〉=左（》+1）,即五一y+左=。,

22

x+y-2X=0,即（尤-1）2+;/=1,則圓心C（1,O）,半徑r=1,則由題意得圓心到直線的距離小于等于1,

標(biāo):"1,解得一￥兒《￥，則%的最大值為g,此時直線川的方程為、=￥"+1）,化簡得

x-yj3y+1=0,故選：C.

8.（2023春?河南）“a<1”是“方程2/+2/+2辦+6y+5。=0表示圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因為方程2x?+2y~+2tzx+6y+5。=0,即廣+y~+6ix+3y+~^~=。表示圓，

等價于〃+9—10。>0,解得。>9或a<1.故"a<1"是“方程2/+2y2+2依+6y+5。=0表示圓”的充分不

必要條件.故選：A

二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）

9.（2023?遼寧葫蘆島）過四點（0,0）,（4,0）,（—1,1）,（4,2）中的三點的圓的方程為（）

A.（尤-2）2+（y-iy=5B.（x-2）2+（y-3）2=13

4,7,8,9

C.（x-+（y--）=22D.（x--）-+（y-l）9=-

【答案】AB

【解析】對于A,點（0,0）,（4,0）,（4,2）在圓（*-2）2+（尸1產(chǎn)=5上,故A正確;

對于B,點（0,0）,（4,0）,（-1,1）在圓。-2）2+（丫-3）2=13上，故B正確；

對于C,點（0,0）,（-1,1）都不在圓（尤-§2+。-（）2=22上，故C錯誤；

對于D,點（4,0）,（—1,1）都不在圓。-1）2+。-1）2=］上，故D錯誤；

故選：AB.

10.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓C:（x-l）2+（y—2）2=16,直線/:（2租+1卜+（〃工+1）丫一7〃2—4=0,

則（）

A.直線/恒過定點

B.直線/能表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)每一條直線

C.對任意實數(shù)機(jī)，直線/都與圓C相交

D.直線/被圓C截得的弦長的最小值為2VH

【答案】ACD

【解析】對于A：直線/的方程可化為（2x+y_7）M+（x+y—4）=0,

2x+y—7=0,x=3,

聯(lián)立x+；4=。，解得

y=l.

所以直線恒過定點P（3,l）,AA正確；

對于B：由A可知，直線/不能表示直線2x+y-7=0,也不能表示不過點尸的直線，，B錯誤;

對于C,因為（3-1）2+（1-2）2<16,故直線/恒過圓C內(nèi)一點P（3,l）,所以直線/與圓相交，；.C正確；

對于D,當(dāng)直線/LCP時，直線被圓截得的弦長最短，因為CP=J（3_1）2+（1_2）2=右,

所以最短弦長為2M-CP。=2J16-5=2而，,D正確.

故選：ACD.

11.（2023春?廣西?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）圓心在無軸上，半徑為2,且與直線尤-'=。相切的圓的方程可能

是（）

A.（尤一2夜『+;/=4B.（尤一2）2+曠=4

C.（X+2A/2）2+/=4D.（%+2）2+/=4

【答案】AC

【解析】依題可設(shè)圓心坐標(biāo)為

由題意得圓心到直線x-y=0的距離為2,

即g=2,解得0=±2近，

所以圓的方程為：L一20『+y2=4或（x+20y+y2=4,

故選：AC.

12.（2023?江蘇?高二假期作業(yè)）下列各直線中，與直線2x-y-3=0平行的是（）

A.2依—毆―6=0（aw0,aw2）

B.y=2x

C.2x-y+5=0

D.2x+y-3=0

【答案】ABC

【解析】直線3=0,即y=2x-3的斜率為2,在V軸的截距為-3,

對于A,直線2ox-oy-6=0（aw0,aw2）,即y=2尤一w0,a力2）的斜率為2,在V軸的截距為w-3,

aa

所以兩直線平行，A正確；

對于B,直線y=2x的斜率為2,在y軸的截距為0w-3,所以兩直線平行，B正確；

對于C,直線2x-y+5=0,即y=2x+5的斜率為2,在>軸的截距為5H-3,所以兩直線平行，C正確；

對于D,直線2x+y-3=。的斜率為一2,所以兩直線不平行，D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題（每題5分，4題共20分）

13.（2023春?四川成都?高二成都七中?？奸_學(xué)考試）圓尤2+,2+2》-分+1=0關(guān)于直線依+y+l=0對稱，

貝Ia=.

【答案】3

【解析】由*+；/+2》一分+1=0可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x+lY+（y-2）2=4,

則由題意得直線6+丁+1=。過圓心（T2）,代入直線方程有-a+2+l=0,解得。=3,

故答案為：3.

14.（2023春?山東濰坊?高二?？茧A段練習(xí)）己知直線/與直線2x-y-5=0的傾斜角相等，且直線過點A（3,2）,

則直線/的方程為.

【答案】2尤—>-4=0

【解析】直線/與直線2x-y-5=0的傾斜角相等，可得直線的斜率為2,

直線過點43,2）,則直線/的方程為y—2=2（x—3）,即2尤7-4=0.

故答案為：2尤-y-4=0.

15.（2023春?上海楊浦?高一上海市控江中學(xué)?？计谀┮阎?shù)帆?R,若關(guān)于x的方程了+曰二7=加有且

僅有一個實數(shù)解，則根的取值范圍是.

【答案】［-2,2）u{2垃}

【解析】由4-爐之0,可得-2VxV2,

由題意可得〃―尤?二一%+”

即直線y=-尤+根與曲線丁="3區(qū)只有一個交點，

又因為曲線y=表求以原點為圓心，2為半徑且位于X軸上及上方的半圓，

如圖所示：

y八

當(dāng)直線丁=一工+加過（-2,0）時，m=-2,此時直線,=一工+加與半圓只有一個交點，

當(dāng)直線過點（2,0）時，m=2,此時直線>+機(jī)與半圓有兩個交點，

結(jié)合圖象，當(dāng)直線與半圓相切時，m=2日

綜上所述，機(jī)的取值范圍是一2,2）口｛2夜｝.

故答案為：12,2）。｛20｝.

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）從直線/：=1上的任意一點尸作圓0-.X2+/=8的兩條切線，切點為A.B,

o4

則弦AB長度的最小值為.

【答案】2括

【解析】設(shè)尸（8-2m,機(jī)），易知p的極線方程為my+（S-2機(jī)）x=8,即m（2x-y）=8x-8可得弦AB必過。，2）,

易得圓O：尤2+^=8上，過（1,2）的最短的弦長為”戶-屋1mx=2指.

四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分

17.（2022.高二單元測試）如圖所示，已知以點A（T2）為圓心的圓與直線4：x+2y+7=O相切，過點3（-2,0）

斜率為七的直線/與圓A相交于M,N兩點，點。是MN的中點.

(1)求圓A的方程;

⑵當(dāng)|MN|=2j歷時，求直線/的方程.

【答案】(D(x+iy+(y-2)2=20

(2)3九一4y+6=0

【解析】1)設(shè)圓A的半徑為

所以一包*=2卮

因為圓A與直線4：x+2y+7=0相切,

75

所以圓A的方程為(x+l)2+(y-2)2=20；

設(shè)直線/的方程為y=Mx+2),即履-y+2左=。，連接A。，AM,如圖所示，則

因為|“用=2屈，［40|=2百，所以伊。|=00-19=1,

../-2|3

則由AQ=5^=1,得左==,所以直線/的方程為3x-4y+6=。；

收+14

綜上：圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x+iy+(y-2)2=20,直線/的方程為3x—4y+6=0.

18.(2023春?海南海口)已知ABC的三個頂點為A(4,0),B(8,7),C(4,6).

(1)求過點A且平行于BC的直線方程；

(2)求過點8且與A、C距離相等的直線方程.

【答案】⑴4=0

(2)尤=8和x-y-l=。

【解析】(1)由8、C兩點的坐標(biāo)可得⑥c=「=T，

o-44

因為待求直線與直線BC平行，故其斜率為左

由點斜式方程可得目標(biāo)直線方程為y=；(x-4)

整理得x-4y-4=0.

(2)由A、C點的坐標(biāo)可知，AC的中點Q坐標(biāo)為(4,3)

又直線AC沒有斜率，則與直線AC平行的直線符合題意，即x=8.

過。兩點的直線到4C的距離也相等，&。=二1=1

點斜式方程為，-3=尤-4,整理得=

綜上所述，滿足題意的直線方程為x=8和x-y-1=0.

19.(2022?高二單元測試)已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線％->+2=0相切，切點為尸(2,4).

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過圓C內(nèi)點￡(3,1)的最長弦和最短弦分別為AF和3。求四邊形ABFD的面積.

【答案】(1)(尤-7)2+(>+1)2=50

(2)20715

【解析】1)解：設(shè)坐標(biāo)原點為0,貝產(chǎn)”=2,線段OP的中點為石。,2),

線段0尸的中垂線方程為=尤-1),即y=_：x+|,

直線x-y+2=0的斜率為1,由圓的幾何性質(zhì)可知，直線CP與直線x-y+2=0垂直,

所以，直線CP的方程為y-4=-(x-2),即尤+y-6=0,

-_15

y_xH—fx_7、

聯(lián)立’22,解得=,即圓心C(z7,-l),

x+_y-6=01y=T

圓C的半徑為|OP卜,2+(-1)2=5夜，

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-7)2+6+1)2=50.

(2)解：過圓C內(nèi)點43,1)的最長弦為|AF卜2廠=10及，

當(dāng)過點E的弦與直線CE垂直時，弦的長度取得最小值，即CE_LBD,此時BD_LAF,

由勾股定理可得忸q=2,產(chǎn)_回[=2^50-(42+22)=2同，

此時，四邊形ABED的面積為:陰?M=；xlO0x2回=20岳.

20.(2023云南)已知圓C過點4(4,0),3(0,4),且圓心C在直線/：x+y-6=0上.

⑴求圓C的方程；

(2)若從點”(4,1)發(fā)出的光線經(jīng)過直線y=-x反射，反射光線《恰好平分圓c的圓周，求反射光線4的一般

方程.

(3)若點。在直線/上運動，求。42+。4的最小值.

【答案】(1)(尤-3)2+@—3)2=10

(2)7x-4y-9=0

(3)20

【解析】(1)由4(4,0),3(0,4),得直線AB的斜率為L=g=-1,線段中點。(2,2),

所以砧=1,直線CD的方程為V-2=%-2,即尸工,

,、fx+y-6=0乙,fx=3/、

聯(lián)立，解得,即C(3,3),

[y=x[y=3

所以半徑r=\AC\=^(4-3)2+(0-3)2=A/10,

所以圓C的方程為(x-3y+(y—3)2=10；

(2)由4恰好平分圓C的圓周，得4經(jīng)過圓心C(3,3),

設(shè)點M關(guān)于直線＞=的對稱點N(x,y),

則直線MN與直線》=一％垂直，且線段MN的中點廣在上，

y-i

即卜-:x=-l

,解得

2+1_x+4y=-4

、2一

所以N(TY),

3-H)_7

所以直線CN即為直線4,且勺=k

CD3-(-1)"

直線4方程為y-3=：7(x-3),即7x-4y—9=0；

(3)由已知點。在直線無+>-6=0上，

設(shè)Q(m,6-“2),

222l2

則0A2+QB=(4-/n)+(-6+mf+(-/n)+(4-6+mf=4m-24m+56=2(m-3)+20,

所以當(dāng)加=3時，。/+。82取最小值為20.

21.(2023北樂)已知圓G：x?+(y—1)-=5,圓G：尤~+必—4x+2y=0.

⑴求圓G與圓c?的公共弦長；

(2)求過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=l上的圓的方程.

【答案】(1)2指

【解析】(1)將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程,

即(Y+y2-4x+2y)-(爐+/―2y-4)=0,化簡得x-y-l=0,

所以圓G的圓心(。/)到直線x-yT=o的距離為1=耳型=應(yīng)，

VI+1

則［四］一/=5-2=3,解得|AB|=26,

所以公共弦長為2班.

(2)解法一：

設(shè)過兩圓的交點的圓為優(yōu)+/-4x+2y)+X(x2+y2_2y_4)=0,/U-l,

cc42-2244八。】

則…E+

1+/Ii+/i

由圓心[6'一號)在直線2、+4y=i上，則高一船31，解得人；，

所求圓的方程為Y+y2_3x+y_l=0,即+(y+g]=1

解法二：

由(1)得>=x-l,代入圓C?:尤2+y2-4x+2y=0,

化簡可得2尤2一4%-1=0,解得x=21逅；

2

當(dāng)2+^6q#A/6當(dāng)2—^/6n-u^/6

3x=--------呵,y=—;3x=--------町,y=-------;

2222

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(。力)，

所以過兩圓的交點且圓心在直線2x+4y=l上的圓的方程為(尤_]+1+￡|二

22.(2023