2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何2.1從平面向量到空間向量課時(shí)作業(yè)含解析北師大版選修2-1

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)5從平面對(duì)量到空間向量時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．下列說法中正確的是(D)A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同B．若非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)共線C．在空間中，隨意兩個(gè)單位向量都相等D．零向量與隨意向量平行解析：A項(xiàng)錯(cuò)，因?yàn)閮蓚€(gè)向量起點(diǎn)相同，且是相等的向量，所以終點(diǎn)必相同；B項(xiàng)錯(cuò)，若eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))的基線平行或重合，所以A，B，C，D不肯定在同一條直線上；C項(xiàng)錯(cuò)，單位向量的模相等，但方向不肯定相同；D明顯正確．2．對(duì)于空間隨意兩個(gè)非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：明顯，〈a，b〉＝0?a∥b.a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種情形(即當(dāng)a∥b時(shí)，〈a，b〉＝0或π)，因此a∥b?〈a，b〉＝0.故a∥b是〈a，b〉＝0的必要不充分條件．3．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，下列說法正確的是(C)A.eq\o(AA1,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量B.eq\o(AD1,\s\up6(→))＝eq\o(C1B,\s\up6(→))C．〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝πD.eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(B1C1,\s\up6(→))不是共面對(duì)量解析：AB∥C1D1，且向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(C1D1,\s\up6(→))方向相反，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))〉＝π.4．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD為(B)A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定解析：若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則AB＝DC，且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，即AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形．5．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，那么與直線AM垂直的向量有(D)A.eq\o(CN,\s\up6(→)) B．BCC.eq\o(CC1,\s\up6(→)) D.eq\o(B1C1,\s\up6(→))解析：由于所求的是向量，所以首先解除B，在剩下的三個(gè)選項(xiàng)中，通過正方體的圖形可知D項(xiàng)正確．6．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))是(C)A．有相同起點(diǎn)的向量 B．等長(zhǎng)向量C．共面對(duì)量 D．不共面對(duì)量解析：先畫出平行六面體的圖像(圖略)，可看出向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))在平面ACD1上，由于向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))平行于eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))經(jīng)過平移可以移到平面ACD1上，因此向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))為共面對(duì)量．7．空間中，起點(diǎn)相同的全部單位向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是(D)A．圓 B．球C．正方形 D．球面解析：依據(jù)模的概念知終點(diǎn)在以起點(diǎn)為球心，半徑為1的球面上．8．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，則向量eq\o(AG,\s\up6(→))的模為(A)A．6 B．9C．4eq\r(2) D．5解析：GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC.在Rt△GAC中，AC＝4eq\r(2)，GC＝2，所以AG＝eq\r(AC2＋GC2)＝6，即|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝6.二、填空題9．如圖所示，a，b是兩個(gè)空間向量，則eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(A′C′,\s\up6(→))是相等向量，eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(B′A′,\s\up6(→))是相反向量．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→))＝b，∴ABC-A′B′C′為三棱柱．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(B′A′,\s\up6(→)).10．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以A1為起點(diǎn)，以正方體的其余頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量中，與向量eq\o(BC1,\s\up6(→))垂直的向量有eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→)).解析：A1B1⊥平面BCC1B1，∴eq\o(A1B1,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→))；A1D⊥AD1，而AD1∥BC1，∴eq\o(A1D,\s\up6(→))⊥eq\o(BC1,\s\up6(→)).11．如圖，在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，O、O1分別是對(duì)角線AC，A1C1的中點(diǎn)，則〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝0°，〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝0°，〈eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝90°.解析：由題意得eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一條直線AC上，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq\o(O1C1,\s\up6(→))可平移到直線AC上，與eq\o(OC,\s\up6(→))重合，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝0°；由題意知OO1是正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以O(shè)O1⊥A1B1，故〈eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝90°.三、解答題12．一飛機(jī)從地面以45°傾角斜著升空，再水平向東飛行一段距離后，然后又水平向正北方向飛行，這樣三次移動(dòng)eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))是三個(gè)空間向量．問：(1)三個(gè)向量哪個(gè)與水平面平行？(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉、〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉和〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的值是多少？解：應(yīng)把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，飛機(jī)水平飛行時(shí)與水平面平行，如圖．由圖可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面內(nèi)，并且向量eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于這個(gè)平面．(1)飛機(jī)水平飛行時(shí)所經(jīng)過的路途與水平面平行，因而三個(gè)向量中eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))平行于水平面α.(2)由于向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面內(nèi)，設(shè)為平面β，又由于eq\o(CD,\s\up6(→))為正北方向，所以eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于平面β，即eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→)).因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))與水平面的夾角為45°，所以得：〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°.13．如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，在以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：(1)單位向量共有多少個(gè)？(2)試寫出模為eq\r(5)的全部向量．(3)試寫出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量．(4)試寫出向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量．解：(1)由于長(zhǎng)方體的高為1，所以長(zhǎng)方體4條高所對(duì)應(yīng)的向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(A1A,\s\up6(→))、eq\o(BB1,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(C1C,\s\up6(→))、eq\o(DD1,\s\up6(→))、eq\o(D1D,\s\up6(→))都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共8個(gè)．(2)由于這個(gè)長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD1,\s\up6(→))、eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(A1D,\s\up6(→))、eq\o(DA1,\s\up6(→))、eq\o(BC1,\s\up6(→))、eq\o(C1B,\s\up6(→))、eq\o(B1C,\s\up6(→))、eq\o(CB1,\s\up6(→))，共8個(gè)．(3)與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的全部向量(除它自身之外)共有eq\o(A1B1,\s\up6(→))、eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D1C1,\s\up6(→))，共3個(gè)．(4)向量eq\o(AA1,\s\up6(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up6(→))、eq\o(B1B,\s\up6(→))、eq\o(C1C,\s\up6(→))、eq\o(D1D,\s\up6(→)).——實(shí)力提升類——14．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，則在向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))中，夾角為90°的共有(B)A．6對(duì) B．5對(duì)C．4對(duì) D．3對(duì)解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC.又平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.綜上，〈eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉，〈eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉，〈eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))〉都為90°.15．如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中：(1)求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))〉，〈eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(C1C,\s\up6(→))〉；(2)若AB＝1，AC＝1，BC＝eq\r(2)，求〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(C1A1,\s\up6(→))〉．解：(1)由向量夾角的定義及直三棱柱的性質(zhì)可得〈eq\o(AB,\s\up6(→