2024年北京陳經(jīng)綸中學高二（上）10月月考數(shù)學試題及答案

PAGE14頁2024-2025學年度第一學期階段性診斷訓練高二數(shù)學試卷 2024.10（考試時間120分鐘 滿分150分）50100分第一部分（50分）10550直線3xy40的傾斜角是（ ）A．30 B．60 C．120 D．150空直坐系若0)B(2)點B坐（ ）A．(2)．(2)．)D．(2) 已知空間向量aba1b夾角為（ ）

2ab與a垂直，則a與b的A．60o ．30o C．135 D．454．“m1”是“直線l1：m4xmy10與直線l2：mxm2y20互相垂直”的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．直線l:a2y3a1x1不過第二象限，則a的取值范圍為（ A．a(chǎn)

B．2a

C．a(chǎn)

D．a(chǎn)4圓x2y22x2y10關(guān)于直線xy1對稱的圓的標準方程（ ）A．(x1)2(y1)21 B．x2y21C．x2(y1)21 D．(x1)2y21ABac如圖，在四面體A-BCD中，點O為底面△BCD的重心，P為AO的中點，設(shè)，ACb，AD，則BP（ ）ABac5

11bc

B．5

1 1bca6 6 6 6 6 6a2C．

11bc

D．2

1 1aba3 3 3 3 3 3已知直線lkxy2k0Pxy在直線2xy10上則的最小值是 （ ）C．355A．5 B．5 DC．355《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“陽馬面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.ABC中，ACBC，且AB2.其中正確的是（ ）①四棱錐BA1ACC1為“陽馬”②四面體A1C1CB為“鱉臑”BA21 1 3④過AE1BEEF1B于點F1B面FA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④Mx4)2y24直線lxy20P在直線lPAPBMB．則下列說法正確的是（）14PAMB的面積最小值為14PAAB473PAAB直線方程為3x3y80AB過定點102 3 二、填空題已知空間向量2b若 則．a(chǎn) a//b12．動直線l:2mxmy7m40mR與一點M4,0.當點M到直線l的距離最大時，直線l的方程為 （填一般式）.13．已知圓x2y22xay40的半徑為3，則a的值為 .14．已知空間三點A1,1,1,B0,0,1,C1,2,3．若空間中點N滿足BN平面ABC，則符合條件的一個點N的坐標是 ．15．過點(2,與圓(x1)2y21相切的直線方程為 ．1圖三柱C11中＝214E1D為BC的中點當AD∥時此時直線AD與直線所成的角的余弦值為 ．1Cx2y124ykx5點使得過點P的圓C的兩條切線夾角為60o則實數(shù)k的值范圍是 PABCDPDABCDABCD為正方形，PDAD2，O為線段AC,BD交點，T為線段BP上的動點，則以下結(jié)論正確的是.①當PTBT時，PD‖平面ACT；②當PT2BT時，PO平面ACT；③線段OT的最小值為范圍為[ , ].42

；④直線AP，CT所成角取值636三、解答題已知圓CA20B00，且圓心C在直線lxy0上.(1)求圓C的標準方程；(2)經(jīng)過點2,1的直線l與l垂直，且l與圓C相交于M,N兩點，求MN.ABC中，ABAC

5，BC2BB12，P，Q分別為B1C1，A1B的中點.CP.與平面CPQ所成角的正弦值.(3)求點到平面CPQ的距離.21如圖，在四棱錐PABCD中，AD//BC，CDAP，△PCD為等腰PDCD2PAD于直線lEF分別PDPB的中點．（Ⅰ）求證：BC//l；（Ⅱ）設(shè)PAAD2BC2，則：①求平面AEF與平面PAD夾角的正切值；②在棱PC上是否存在點G，使得DG∥平面AEF？若存在，求PG的值，若不存在，說明理由．PCT22n:1,2,...niN,i,,...n“TT列An變換成數(shù)列Bn:b1,b2,...bn，其中biaiai1i1,2,...n1，且bnana1，這種“T變換”記作BnTAn.繼續(xù)對數(shù)列Bn進行“T變換”，得到數(shù)列Cn,...，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束．（Ⅰ）42,8:142,9經(jīng)過不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請依次寫出經(jīng)過T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；（Ⅱ）求A3:a1,a2,a3經(jīng)過有限次“T變換”后能夠結(jié)束的充要條件；（Ⅲ）證明：A4:a1,a2,a3,a4一定能經(jīng)過有限次“T變換”后結(jié)束．PAGE115頁參考答案：題號12345678910答案BDDACBBBCB1．B【分析】依據(jù)斜率計算傾斜角即可.【詳解】直線3xy40的斜率為3，則由tan故選:B．

3,0,π，知 ，即60π3π2．D【分析】設(shè)出B點，利用A、B兩點的坐標即可表示出，再由兩向量相等的坐標表示列出方程組，即可求出答案.B(z)B(xyz)(602)，x16所以y10，解得：x7，y1，z2．z2所以點B的坐標為(2)故選：D3．D 【分析】根據(jù)已知可得aba0，根據(jù)數(shù)量積的運算律即可求出cosa,b出結(jié)果.

，進而求222 【詳解】因為ab與a垂直，所以aba0，r2 rr r2 rr rr rr即aabaabcosab12cosab

0，所以cos

2a,b .22又0

180，所以

rra,b45o.4．A【分析】根據(jù)給定直線方程求出l2作答.l2m(m4m(m20，解得m0或m1，所以m1”是“直線m4xmy10與直線l2mxm2y20互相垂直”的充分不必要條件.故選：A5．Ca20a20a組，由此可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】若a20，可得a2，直線l的方程為x1，該直線不過第二象限，合乎題意；5若a20，可得a0，直線ly3a1xa2

1a2，3a10a2若直線l不過第二象限，則 1

，解得a2. 0a2綜上所述，a2.故選：C.6．B【詳解】由圓x2y22x2y10，得(x1)2(y1)21，則圓心坐標為(1,1)，半徑為1，設(shè)(1,1)關(guān)于直線xy1的對稱點為(a,b)，b11則a1a1 ba1 b

a0，解得 ，b02 2圓x2y22x2y10關(guān)于直線xy1對稱的圓的標準方程為x2y21．故選：B．7．B

212BOBP

BABO求解.【詳解】取CDEBEBO2BEBOE三點共3線.

1

1

1 BE

BCBD ACABAD

b2ac2 2 2BO

2BE

b

3 1

1

1

11

511BP BABO AB BOa

abc．2 2 2 2 2 3故選：B．8．B

6 6 6【分析】先求定點，再根據(jù)點到直線距離求解點到直線上動點距離最小值即可.221 415 【詳解】由kxy2k0y2k1xlM2，M到直線2x221 415 故選:B.

min9．C“陽馬”和“鱉膈”ACBCCAEF，進而判D的正誤.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵ABCA1B1C1中，ACBC，側(cè)棱AA1平面ABC，A選項，∴AA1BC，又ACBC，且AA1ACA，則BC平面A1ACC1，∴四棱錐BA1ACC1為“陽馬”，故A正確；B選項，由ACBC，即A1C1BC，又A1C1C1C且BCC1CC，∴A1C1平面BB1C1C，∴A1C1BC1，則VA1BC1為直角三角形，CC，得1C塹堵”的定義可得C形，CC1B為直角三角形，∴四面體A1C1CB為“鱉膈”，故B正確；C選項，在底面有4AC2BC22ACBCACBC2ACBC

2時取V

1S BC1AAACBC2ACBC44C錯誤；B

33 1 3 3 3DAEEFAEEFEAEFD正確；故選：C10．BA當|AP|選項，兩垂直直線的斜率相乘等于1PM2PM2AMPM2四邊形

S

S

=2S

=21PAAM2

2PA2

2 ，|4022|MP|4022

min

32，322322

214，故A錯誤；14由上述可知，MPl時，|MP|最短，故|PA|最小，14PA

3224 ，APPMAB2AMsin2AMAPPM

22

1432

47，故B正確；3當PA最短時，則MPl，又MPAB，所以l//AB，kl1，kAB1，可設(shè)AB的直線方程為xym0，2M(40AB的距離d|4m|2解得m8或m16，

22，AM2AM2AB223 3ABM(40的右側(cè)，且在直線l的左側(cè)，所以4m22m4，所以m8，3即直線AB的方程為xy80，故C錯誤；3設(shè)圓上一點AA，BBB，PP,yP，MA4,yA，MB4,，PAxAxP,yAyP，易知PAMA0(xA4)(xAxP)yA(yAyP)0，A 由于(A

4)2y24，所以(xP4)(xA4)yPyA4，同理PBMB0(xP4)(xB4)yPyB4，AB:(x4)(xP4)yyP4，yPxP2，x4xP4y2xP4，即x4yxP4x2y120，x10x4y0 3令4x2y120，解得 2 ， y 3所以直線AB過定點為10,2，故D錯誤． 33 故選：B．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系求證直線過定點x0y0yy0kxykxb來證明.11．1ta【分析】依題意可得b，從而得到方程組，解得即可.ta 【詳解】因為a2、b且a//b，3t所以 ，則t2，即

t3，解得6，bta所以651.故答案為：1

12t

5

xy20【解析】將直線方程轉(zhuǎn)化為交點直線系方程，聯(lián)立直線方程即可求得定點坐標；當定點與點M點構(gòu)成的直線與l垂直時，則點M到直線l的距離最大時，則問題得解.【詳解】因為l2mxmy7m40mR，即m2xy7xy40，故直線l恒過定點為直線2xy70與直線xy40的交點，聯(lián)立方程解得直線l恒過定點3,1；MP3,1構(gòu)成的直線與lM到直線l的距離最大，此時必有klkPM1，即kl11，解得kl1.則2m11，解得m2，m1 3故直線lxy20.3,1xy20.【點睛】本題考查直線恒過定點的求解，以及由直線垂直求直線方程，屬綜合基礎(chǔ)題.134【分析】首先將圓的一般方程，寫成標準方程，再利用半徑為3，即可求解.2 a2 a2【詳解】圓的一般方程寫成標準方程為x1a2

y 2 2

5，4由圓的半徑為3可知，4故答案為：4

59，得a4.14． 44答案不唯一).x1y20【分析】設(shè)Mx,y,z，表示出CM,AB，由

xyz10

，解方程求出x,y,z，即可求出MABC的法向量nN的坐標為(abc，則N的坐標.【詳解】設(shè)Mx,y,z，A1,1,1,B0,0,1,C1,2,3，

BN//nAB(1,1,0),AC(2,1,4),BM(x,y,z1),CM(x1,y2,z3)，x1y20∴由題意，得

xy ，z10x1,y1,z1．2 2∴點M的坐標為1,1,1．22 設(shè)平面ABC的法向量為nx,y,z，則nABxy0,nAC2xy4z0．3 33令x1，則yz 4

n1,1,．4 4設(shè)點N的坐標為(a,b,c)，則BN(a,b,c1)． abc1由題知，BN//n，即1 1 3．4N的坐標滿足4k4k1，其中k0．令k1N444.11故答案為： ,,1；4,4答案不唯一).2215x2或4x3y10【分析】分類討論直線的斜率是否存在，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可知：圓(x1)2y21的圓心為1,0，半徑r1，因為21232101，可知點2,3在圓外，當直線過點(2,3)且斜率不存在時，x2，顯然與圓相切；當直線過點(2,3)，且斜率存在時，設(shè)方程為y3k(x2)，即kxy2k30，k21則|k2k3|1，解得k4，故方程為4x3y1k213x2或4x3y10.x2或4x3y10.16． 1； 6.2 4【分析】根據(jù)題意，以點D為原點，建立空間直角坐標系，然后結(jié)合空間向量的坐標運算以及異面直線夾角公式，代入計算，即可求解.【詳解】因為ABCA1B1C1為正三棱柱，且D為BC中點，以D為坐標原點，分別以DC,DA所在直線為x,y軸，DABCz軸，建立如圖所示空間直角坐標系，AB＝24，D000A,30,C00B00A134104，則AEAA10,0,40,0,4，所以E0,3,4， 204BE,3，設(shè)平面BEC的法向量為x,y,z，1 nBC1n2x4z0則 ，

y24，則z

3,x23，Enxyz0

所以平面BEC1的一個法向量為n23,24,3，又AD0,3,0，AD∥BCEAD320，解得1，1 n 232AD所成的角為，331333134則coscos

AD,

AD6 ，AD4即直線AD與直線EC1所成的角的余弦值為6.4故答案為：1；62 417k0或k8．15【分析】根據(jù)切線夾角分析出|PC|4，由圓心到直線的距離不大于4列出不等式求解可得．【詳解】圓C:x2y24，則圓心為C,，半徑r2，PAGE1015頁設(shè)兩切點為A,B，則PAPB，因為APB60o，在Rt△PAC中APC1APB30o，2ACr2，所以|PC|4,因此只要直線l上存在點P，使得PC4即可滿足題意．k15k21圓心，所以圓心到直線的距離d 4，解得k0或k15k2115k0或k8．1518.1、3、4解（1）由題意設(shè)圓心Ccc，又圓CA20B00，A2c22c2c2c2B2，解得c1，所以圓心C1,1，半徑為rCB2，以圓C標方為x2y22 7分（2）由題意經(jīng)過點2,1且與l垂直的直線l為y1x2，即yx1，又圓心Cyx1d

2，r2，1111112212r2dr2d2

2

6 15分解：因為A1B1A1C1，P為B1C1的中點，所以A1PB1C1，因為棱柱ABCA1B1C1直三棱柱，平面平面，?平面，則A1P平面CBB1C1，又CP平面CBB1C1，所以A1PCP，2在矩形中，BC2BB12，P為的中點，所以CPBP ，2所以CP2BP2BC2，故BPCP，IBPPBP，所以CP，所以CPB 5分（2）取BC的中點M，連接PM，11PM1PPxyz，如圖所示.Q11 由5，1，則2，0)，0)，(0,0,2)， ,,1.

11

22 設(shè)平面CPQ的法向量為n(xyz)PC0)PQ

,,1，

xy0,

22 nPC0, 則 即

令x1，則n(1,1,1).

1x1yz0,nQ

2 2設(shè)直線A1B與平面CPQ所成的角為，又A1B(1,1,2)，則sin 則sin cosn,

4 ，nA1BnA1BnA1B36221故直線AB與平面CPQ所成角的正弦值為22 10分13（3）由（2）知平面CPQ的一個法向量為n(1,1,1)，C1(0,1,0)，C1C(1,0,0)，CC所以點C到平面CPQ的距離為d

n1

. 15分31 2 3n（1）AD//ADPADBCPAD//PAD，……1分又因為BC平面，平面PBC平面PAD直線l，所以∥l .……3分（2）①取AD的中點O，連接OP,OB，由題意可得：BC//OD，且BCOD，則OBCD為平行四邊形，可得OB//CD，且∵CDAP，CDPD，AP,PD平面∴CD平面……4則OB平面由OP,OD平面則，又因為O為AD的中點，可得AD，OA,OB,OP兩兩垂直 ……5分如圖，以O(shè)為坐標原點，OA,OB,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則A1,0,0,B0,2,0,C1,2,0,D1,0,0,P0,0,3,E1,0,3,F0,1,3，2 2 2

3 3

1

可得AE2,0,2,EF20， ……6分 3 3nAE2x2

z0AEFnyz，則

1

， ……7分nEF

xy03x2yz3

，即n2,23， ……8分由題意可知：平面PAD的法向量m0,1,0， 17 可得cosn,mnm nm

1171

17， ……9分所以平面AEF與平面所成銳二面角的余弦值17，故正切值為4 ……10分17②由①可得：PC1,2,

3， ……11分PGGabcPGabc

3，a可得b

a，解得b，3c