數(shù)學(xué)課堂探究：2平面向量的數(shù)量積（第2課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一數(shù)量積的坐標運算1．進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關(guān)數(shù)量積的運算法則和運算性質(zhì);2．對于運用數(shù)量積求向量坐標的問題,通常是運用待定系數(shù)法，建立方程（組)求解．【典型例題1】已知向量a＝（－1，2)，b＝(3,2)．(1)求a·(a－b）;（2)求(a＋b）·（2a－b）；(3)若c＝（2,1），求（a·b)c，a（b·c)．解:（1）解法一:∵a＝（－1,2)，b＝（3，2)，∴a－b＝（－4,0)．∴a·（a－b）＝(－1,2)·（－4,0)＝(－1)×(－4）＋2×0＝4.解法二：a·(a－b）＝a2－a·b＝（－1）2＋22－［（－1)×3＋2×2]＝4。（2）∵a＋b＝（－1，2）＋(3，2)＝（2,4），2a－b＝2（－1，2)－(3，2)＝(－2,4)－（3，2）＝(－5,2)，∴(a＋b)·（2a－b）＝（2,4）·(－5，2）＝2×(－5）＋4×2＝－2。（3）(a·b)c＝［(－1,2)·(3,2)]（2,1）＝（－1×3＋2×2）(2,1）＝（2，1)．a(chǎn)（b·c)＝(－1,2)[(3，2)·(2，1)]＝(－1，2)(3×2＋2×1）＝8(－1,2）＝（－8,16）．【典型例題2】已知向量a與b同向，b＝（1，2）,a·b＝10,求向量a的坐標．解：∵a與b同向，且b＝（1，2)，∴設(shè)a＝λb＝(λ，2λ）(λ〉0）．又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝（2，4）．探究二向量垂直的問題有關(guān)向量垂直的問題,通常利用它們的數(shù)量為0來解決，如果是幾何中用向量研究垂直，可先建立直角坐標系，將相關(guān)的向量用坐標表示，利用向量垂直時數(shù)量積為0，建立關(guān)系求解，再回到要解決的幾何問題中．【典型例題3】(1)已知向量a＝（1，2），向量b＝（x，－2），且a⊥（a－b)，則實數(shù)x等于（）A．9 B．4 C．0 D．－4（2)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE＝1，則當DE⊥CF時，AF＝________。解析：（1)由已知得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥（a－b)，∴a·（a－b)＝0?！遖＝(1,2)，∴1－x＋8＝0，∴x＝9。（2)建立如圖所示的直角坐標系，則點C的坐標為（3，2）,D（0，2)，E（1，0）．設(shè)F(0,y)，則＝（1，－2),＝(－3，y－2）．∵DE⊥CF,∴⊥，∴－3－2y＋4＝0，得y＝，∴F，∴AF＝。答案：(1)A(2）探究三運用向量坐標求模、夾角1．運用坐標求向量的模一般有兩種解決方法:一是先求出向量的坐標再求模,二是先平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積再求模．2．用坐標求兩個向量夾角的四個步驟：（1)求a·b的值；（2）求｜a||b｜的值；（3)根據(jù)向量夾角的余弦公式求出兩向量夾角的余弦；（4）由向量夾角的范圍及兩向量夾角的余弦值求出夾角．【典型例題4】已知a＝（1,2)，b＝（1，－1)，求2a＋b與a－b的夾角．解：∵a＝(1，2)，b＝（1,－1），∴2a＋b＝(3,3），a－b＝（0，3)．∴（2a＋b）·（a－b）＝3×0＋3×3＝9,｜2a＋b｜＝＝3,｜a－b|＝3。設(shè)所求角為θ，則cosθ＝＝＝，又∵0≤θ≤π，∴θ＝.∴2a＋b與a－b的夾角為.探究四易錯辨析易錯點：a與b的夾角θ為鈍角不僅需要a·b〈0，還應(yīng)保證兩向量不反向共線，易忽略夾角的范圍,事實上,－1<cosθ＝〈0,而a·b〈0包含了cosθ＝－1，即反向共線的情況【典型例題5】已知向量a＝（－2，－1），b＝(λ，1)，且a與b的夾角為鈍角，試求實數(shù)λ的取值范圍．錯解:∵a與b的夾角為鈍角，∴a·b<0，∴（－2，－1）·（λ，1)＝－2λ－1〈0，∴λ〉－。錯因分析:忽略了a，b反向共線的情況．正解：∵a與b的夾角為鈍角，∴a·b<0,且a，b不可反向共線．由a·b〈0得（－2，－1）·(λ,1)＝－2λ－1<0,∴λ>－。當a與b反向共線，即夾角為180°時，a·b＝－｜a||b｜，∴2λ＋1＝·，解得λ＝2，∴實數(shù)λ的取值范圍為∪(2，＋∞)．點評對于非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，則θ為銳角?