數(shù)學(xué)課堂探究：變量的相關(guān)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究1．函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系剖析:函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．例如有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童,身高與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系．然而學(xué)會新詞并不能使兒童馬上長高，而是涉及第三個因素-—年齡，當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高,而且由于長大身高也會高些．兩種關(guān)系之間的聯(lián)系．兩類關(guān)系在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，如正方形面積S與其邊長x之間雖然是確定性關(guān)系,但在每次測量面積時，由于測量誤差等原因，其數(shù)值大小表現(xiàn)為一種隨機(jī)性．而對于具有線性關(guān)系的兩個變量來說，在求得其回歸直線之后，又可以用一種確定性的關(guān)系來對這兩種變量間的關(guān)系進(jìn)行估計．在現(xiàn)實(shí)生活中，相關(guān)關(guān)系大量存在．從某種意義上說，函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型，而相關(guān)關(guān)系是一種更為一般的情況．因此研究相關(guān)關(guān)系，不僅可使我們處理更為廣泛的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題,還可以使我們對函數(shù)關(guān)系的認(rèn)識上升到一個新的高度．2．散點(diǎn)圖的重要作用剖析：散點(diǎn)圖對于探究兩種事物、兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系起著重要的作用．它是用平面直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的散布圖形來表示兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系的模式,例如：為研究小學(xué)生的身高與體重之間的關(guān)系，研究人員分別以每個學(xué)生的身高、體重為橫、縱坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)的點(diǎn)，這些點(diǎn)便組成了相關(guān)的散點(diǎn)圖．散點(diǎn)圖直觀地反映了兩個事物對應(yīng)的觀測值之間是否存在相關(guān)性，至于什么樣的相關(guān)，就要看研究的角度．溫馨提示求回歸直線方程,首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大致呈線性時,求出的回歸直線方程才有意義，否則,求出的回歸直線方程毫無意義．3．教材中的“思考與討論”圖2-10和圖2-11中畫出直線的標(biāo)準(zhǔn)合理嗎？怎樣判別擬合的優(yōu)劣程度呢？解答：將線性相關(guān)的數(shù)據(jù)畫成散點(diǎn)圖，圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)可以畫出不同的直線來近似表示這種線性相關(guān)關(guān)系，能夠最貼近已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線叫做最優(yōu)擬合直線．因此，教材兩圖畫出直線的標(biāo)準(zhǔn)不合理．判斷擬合的優(yōu)劣程度就是判斷找出的這條直線“是否最貼近”已知的數(shù)據(jù)點(diǎn)．題型一相關(guān)關(guān)系的判斷【例1】下列兩個變量之間的關(guān)系為相關(guān)關(guān)系的是（)A．角度和它的正弦值 B．圓的半徑和圓的面積C．正n邊形的邊數(shù)和內(nèi)角之和 D．人的年齡和身高解析:角與它的正弦值是函數(shù)關(guān)系；圓的半徑r與面積S＝πr2,正n邊形的邊數(shù)與內(nèi)角之和h（n)＝（n－2）·180°都是函數(shù)關(guān)系．而人的年齡和身高則具有相關(guān)關(guān)系．答案：D反思此問題為非數(shù)據(jù)型兩個變量的相關(guān)性判斷,要根據(jù)兩個變量之間是否具有確定性關(guān)系及因素關(guān)系來判斷．題型二利用回歸直線對總體進(jìn)行估計【例2】煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關(guān)系．如果已測得爐料熔化完畢時,鋼水的含碳量x與冶煉時間y(從爐熔化完畢到出鋼的時間）的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x/0.01％104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1）作出散點(diǎn)圖，你能從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)含碳量與冶煉時間的一般規(guī)律嗎？(2）求回歸直線方程．(3)預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為160時,應(yīng)冶煉多少分鐘?分析：畫出散點(diǎn)圖，看兩者是否具有相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法可求出回歸直線方程．最后利用方程計算含碳量為160時，應(yīng)冶煉多長時間．解:(1)以x軸表示含碳量,y軸表示冶煉時間，可作散點(diǎn)圖如圖所示．從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即它們線性相關(guān)．(2）列出下表，并用科學(xué)計算器進(jìn)行計算：i12345678910xi104180190177147134150191204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125eq\x\to（x)＝159．8，eq\x\to(y）＝172,eq\i\su（i＝1，10,x)eq\o\al（2,i)＝265448，eq\i\su（i＝1，10，y）eq\o\al(2，i）＝312350，eq\i\su（i＝1,10,＝)xiyi＝287640設(shè)所求的回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6(^）)＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6（^))，eq\o(b,\s\up6（^)）＝eq\f(\i\su(i＝1,10，x)iyi－10\x\to（x)\x\to(y）,\i\su(i＝1,10，x）\o\al（2，i)－10\x\to（x）2)≈1．267，eq\o(a，\s\up6(^)）＝eq\x\to（y)－eq\o(b，\s\up6(^））eq\x\to（x）≈－30．47,即所求的回歸直線方程為eq\o(y，\s\up6（^））＝1．267x－30．47．（3)當(dāng)x＝160時，eq\o（y，\s\up6(^)）＝1．267×160－30．47≈172（min），即大約應(yīng)冶煉172min．最小二乘法是求回歸直線方程的常用方法,可以通過本題的解答體會最小二乘法的優(yōu)越性．為了便于計算，通常將有關(guān)數(shù)據(jù)列成表格，然后借助于計算器算出各個量．題型三易錯辨析【例3】由一組樣本數(shù)據(jù)（x1,y1)，(x2，y2)，…，（xn，yn）得到回歸直線方程eq\o(y，\s\up6（^))＝eq\o（b，\s\up6(^))x＋eq\o（a，\s\up6(^)）,那么下面說法中不正確的是（)A．直線eq\o(y，\s\up6（^）)＝eq\o(b，\s\up6（^））x＋eq\o（a，\s\up6(^))必經(jīng)過點(diǎn)（eq\x\to（x），eq\x\to(y)）B．直線eq\o（y，\s\up6（^)）＝eq\o（b,\s\up6(^))x＋eq\o（a,\s\up6（^））至少經(jīng)過點(diǎn)(x1，y1),(x2，y2)，…，（xn，yn）中的一個點(diǎn)C．直線eq\o（y，\s\up6（^))＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o(a,\s\up6(^）)的斜率為eq\o（b,\s\up6（^））＝eq\f（\i\su(i＝1，n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y)，\i\su（i＝1，n，x)\o\al(2，i）－n\x\to（x)2)D．直線eq\o（y，\s\up6(^）)＝eq\o(b，\s\up6（^））x＋eq\o(a,\s\up6（^)）和各點(diǎn)（x1,y1），(x2,y2），…，（xn，yn）的總離差eq\i\su(i＝1,n,［）yi－(eq\o(b，\s\up6(^））xi＋eq\o（a,\s\up6(^))）]2是該坐標(biāo)平面上所有直線與這些點(diǎn)的總離差中最小的直線錯解：A錯因分析：選A是因為沒有抓住回歸直線eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^)）x＋eq\o（a，\s\up6（^))中eq\o（a,\s\up6（^)),eq\o（b，\s\up6(^）)的取值及意義,事實(shí)上，因為eq\o(b，\s\up6(^）)＝eq\f（\i\su（i＝1，n,x)iyi－n\x\to(x）\x\to（y)，\i\su(i＝1，n,x）\o\al(2,i)－n\x\to(x）2）,eq\o(a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6（^）)eq\x\to(x)，所以直線eq\o（y,\s\up6(^))＝eq\o(b，\s\up6(^）)x＋eq\o（a，\s\up6(^)）必過定點(diǎn)(