數(shù)學課堂探究：兩角和與差的正切

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一利用和（差）角正切公式求值對于形如:的式子，常常分子、分母同時除以cosα轉(zhuǎn)化為的形式，再化為的形式,逆用公式Tα＋β即可．【例1】計算：（1)；（2)；（3）tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°．分析：由兩角和與差公式Tα±β的特點易知（1)（2）可逆用公式Tα±β，而（3)應(yīng)使用公式Tα＋β的變形．解：（1)解法一：tan75°＝tan（45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋．所以＝＝＝－＝－．解法二：＝＝tan(45°＋75°）＝tan120°＝－tan60°＝－．(2）＝＝＝＝tan（45°－15°)＝tan30°＝．(3)公式tan(α＋β）＝可變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ）,所以tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan45°（1－tan15°tan30°）＋tan15°tan30°＝tan45°＝1．探究二給值求值問題若所求三角函數(shù)的角可用已知三角函數(shù)的角的和或差表示就可求出其值，即角變換思想同樣可以運用到和差角的正切公式上求值．【例2】已知tan（α＋β）＝5，tan(α－β)＝3,求tan2α，tan2β，tan的值．解:tan2α＝tan[(α＋β）＋(α－β）］＝＝＝－．tan2β＝tan［(α＋β）－（α－β)］＝＝＝．tan＝＝＝．探究三給值求角問題【例3】已知tan（α－β）＝，tanβ＝－，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：已知α－β及β角的正切，要求2α－β的正切，必須通過角變換，2α－β＝α＋（α－β)，α＝(α－β)＋β,故需先求出α角的正切．解：因為tanβ＝－，tan（α－β)＝,所以tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，tan（2α－β)＝tan［(α－β)＋α]＝＝＝1．因為tanα＝>0，tanβ＝－〈0,所以α∈,β∈．所以α－β∈（－π，0)．又因為tan（α－β)＝〉0，所以α－β∈，2α－β＝α＋（α－β）∈(－π，0)．而tan（2α－β）＝1，所以2α－β＝－．評注該小題的解題思路是利用角變換求出了2α－β角的正切值,難點和關(guān)鍵是通過判斷值的大小縮小2α－β角的范圍．若僅僅根據(jù)已知條件告訴的α和β的范圍判斷2α－β的范圍，這個范圍是非常大的,這個范圍是(－π，π），則正切值為1的角有和－，導致錯誤答案．探究四易錯辨析易錯點：對角的取值范圍把握不準致誤【例4】已知tanα，tanβ是方程x2＋x＋4＝0的兩個根，且α，β∈,則α＋β的值等于()A．B．－或C．－或D．－錯解：因為tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3）x＋4＝0的兩個根,所以tanα＋tanβ＝－3eq\r（3),tanαtanβ＝4．所以tan（α＋β）＝＝＝．又因為α，β∈，所以α＋β∈(－π，π）．所以α＋β＝－或α＋β＝．故選B．錯因分析：忽視了tanα，tanβ是兩個負根這一隱含條件，從而導致增解現(xiàn)象．正解：因為tanα，tanβ是方程x2＋x＋4＝0的兩個根，所以tanα＋tanβ＝－＜0，tanαtanβ＝4＞0．所以tanα,tanβ是方程x2＋x＋4＝0的兩個負根