2024-2025學年新教材高中數(shù)學第九章統(tǒng)計9.2用樣本估計總體9.2.4總體離散程度的估計學案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-9．2.4總體離散程度的估計[目標]1.會求樣本的標準差、方差；2.會應用相關學問解決實際統(tǒng)計問題．[重點]通過數(shù)字特征的計算，提升數(shù)學運算素養(yǎng)．[難點]借助實際統(tǒng)計問題的應用，培育數(shù)學建模素養(yǎng)．要點整合夯基礎學問點標準差、方差的概念與計算公式[填一填]1．標準差標準差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的平均距離，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).2．方差標準差的平方s2叫做方差．s2＝eq\f(1,n)·eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\x\to(y))2.其中，yi是樣本數(shù)據(jù)，n是樣本量，eq\x\to(y)是樣本平均數(shù)．[答一答]在統(tǒng)計中，計算方差的目的是什么？提示：方差與標準差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，其值越大，數(shù)據(jù)離散程度越大，當其值為0時，說明樣本各數(shù)據(jù)相等，沒有離散性.典例講練破題型類型方差與標準差[例]甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質量，從中抽取6件測量數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計算說明哪臺機床加工零件的質量更穩(wěn)定．[分析](1)干脆利用求x與s2的公式求解．(2)先比較x的大小，再分析s2的大小并下結論．[解](1)eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，比較它們的方差，∵seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，∴乙機床加工零件的質量更穩(wěn)定．用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標準差只是總體的平均數(shù)、標準差的近似.實際應用中，當所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時，需先分析平均水平，再計算標準差方差分析穩(wěn)定狀況.[變式訓練]甲、乙、丙、丁四名射手在選拔賽中所得的平均環(huán)數(shù)eq\x\to(x)及其方差s2如下表所示，則選送決賽的最佳人選應是(B)甲乙丙丁eq\x\to(x)7887s26.36.378.7A.甲 B．乙C．丙 D．丁解析：∵eq\x\to(x)乙＝eq\x\to(x)丙>eq\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)丁，且seq\o\al(2,甲)＝seq\o\al(2,乙)<seq\o\al(2,丙)<seq\o\al(2,丁)，故應選擇乙進入決賽.課堂達標練經典1．隨機調查某校50個學生的午餐費，結果如下表，這50個學生午餐費的平均值和方差分別是(C)餐費(元)345人數(shù)102020A.4,0.6 B．4，eq\r(0.6)C．4.2,0.56 D．4.2，eq\r(0.56)解析：依據(jù)題意，得這50個學生午餐費的平均值是：eq\x\to(x)＝eq\f(1,50)(3×10＋4×20＋5×20)＝4.2，方差是：s2＝eq\f(1,50)[10×(3－4.2)2＋20×(4－4.2)2＋20×(5－4.2)2]＝0.56，故選C.2．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為(B)A．4 B．8C．16 D．32解析：因為樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的方差為2，令yi＝2xi－1(i＝1,2，…，10)，所以y1，y2，…，y10的方差為sy＝s(2x－1)＝4sx＝8，故選B.3．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構成狀況，隨機采訪了9位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用樣本估計總體，年齡在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－s，\x\to(x)＋s))內的人數(shù)占公司人數(shù)的百分比是(其中eq\x\to(x)是平均數(shù)，s為標準差，結果精確到1%)(C)A．14% B．25%C．56% D．67%解析：因為eq\x\to(x)＝eq\f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)＝40，s2＝eq\f(1,9)(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq\f(100,9)，即s＝eq\f(10,3)，年齡在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－s，\x\to(x)＋s))內，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,3)，\f(130,3)))內的人數(shù)有5人，所以百分比為eq\f(5,9)≈56%，故選C.4．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3的中位數(shù)為k，眾數(shù)為m，平均數(shù)為n，方差為p，則下列說法中，錯誤的是(D)A．數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3的中位數(shù)為2kB．數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3的眾數(shù)為2C．數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3的平均數(shù)為2nD．數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3的方差為2p解析：若數(shù)據(jù)x1，x2，x3的中位數(shù)為k，眾數(shù)為m，平均數(shù)為n，則由性質知數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3的中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)均變?yōu)樵瓉淼?倍，故A，B，C正確；則由方差的性質知數(shù)據(jù)2x1,2x2,2x3的方差為4p，故D錯誤．故選D.5．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5,2的平均值為2，方差為1，則數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5相對于原數(shù)據(jù)(C)A．一樣穩(wěn)定B．變得比較穩(wěn)定C．變得比較不穩(wěn)定D．穩(wěn)定性不行以推斷解析：∵數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5,2的平均值為2，方差為1，∴eq\f(1,6)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2＋(2－2)2]＝1，即eq\f(1,6)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]＝1，由題意可得數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5的平均值為2，∴數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5的方差s2＝eq\f(1,5)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＋(x5－2)2]>1，∴數(shù)據(jù)x1，x2，…，x5相對于原數(shù)據(jù)變得比較不穩(wěn)定．故選C.——本課須駕馭的三大問題1．標準差是方差的算術平方根，意義在于反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度．2．方差是衡量隨機變量或一組數(shù)據(jù)時離散程度的度量．概率論