江蘇省徐州市銅山區(qū)2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試卷(解析)

高中數(shù)學精編資源-2023學年度第二學期學情調研高一數(shù)學試題本試卷共6頁，22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)終邊上的點，求得三角函數(shù)的值，可得答案.【詳解】由題意可得：，，則.故選：C.2.設是虛數(shù)單位，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的周期性求解，連續(xù)4項的和為0,計算求解即可.【詳解】，取值周期為4，連續(xù)4項的和為0，所以，故選:D.3.已知向量與是兩個單位向量，且與的夾角為，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算計算可得；【詳解】因為，是夾角為60°的兩個單位向量，所以，因為，，所以.故選：C.4.古希臘數(shù)學家泰特托斯（Theaetetus，公元前417-公元前369年）詳細地討論了無理數(shù)的理論，他通過圖來構造無理數(shù)，，，…．如圖，若記，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，利用直角三角形中的邊角關系，兩角和余弦公式，求得的值，即可求解.【詳解】由題意知，，所以.故選：B.5.在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.21【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結合余弦定理，以及三角函數(shù)的同角公式，求出，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解．【詳解】，，，則，，，的面積為．故選：．6.在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理與二倍角公式化簡后判斷即可.詳解】，由正弦定理化簡得，即，故，，則或，即或，則的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用誘導公式以及二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】因為，所以，故選：B.8.八邊形是數(shù)學中的一種圖形，由八條線段首尾相連圍成的封閉圖形，它有八條邊、八個角．八邊形可分為正八邊形和非正八邊形．如圖所示，在邊長為2正八邊形中，點為正八邊形的中心，點是其內部任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的邊長為2，求出外接圓的半徑OF和內切圓的半徑OM，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出的最小值和最大值，即可得出結果．詳解】正八邊形中，，所以，連接，過點O作，交、于點、，交于點，，設，由余弦定理得，中，，，中，，所以，解得，，解得，所以，當P與M重合時，在上的投影向量為，此時取得最小值為，當P與N重合時，在上的投影向量為，此時取得最大值為，因為點P是其內部任意一點，所以的取值范圍是.故選：A．【點睛】方法點睛：由圖形可得，為定值，研究在上的投影向量的大小和方向即可.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設平面向量，，均為非零向量，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則與共線C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)數(shù)量積的運算律，整理方程，求得數(shù)量積為零，可得答案；對于B，利用數(shù)量積的定義式，化簡方程，求得夾角余弦值，可得答案；對于C，利用數(shù)量積的運算律，結合數(shù)量積的結果，可得向量關系，可得答案，對于D，利用分類討論的解題思想，解得向量的共線定理，可得答案.【詳解】對于A，因為，所以，則，即，故A正確；對于B，因為，且設向量夾角為，所以，則，即或，即與共線，故B正確；對于C，因為，所以，則或，故C錯誤；對于D，因為，當時，，即，當時，由共線向量定理可得，故D正確.故選：ABD.10.已知是復數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則的虛部為C.復數(shù)在復平面中對應的點所在象限為第二象限D.若復數(shù)是純虛數(shù)，則復數(shù)的共軛復數(shù)為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，復數(shù)除法求出，結合復數(shù)模公式，即可求解；

對于B，結合復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解；

對于C，結合復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解；

對于D，結合純虛數(shù)和共軛復數(shù)的定義，即可求解．【詳解】對于A，，則，故，故A正確；

對于B，，則，，其虛部為，故B正確；對于C，，故復數(shù)z在復平面中對應的點所在象限為第一象限，故C錯誤；

對于D，復數(shù)是純虛數(shù)，則，解得，故，所以，故D正確．

故選：ABD．11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.若，則D.在內使的所有的和為【答案】AB【解析】【分析】運用和差角、二倍角等公式將三角函數(shù)解析式化簡后利用三角函數(shù)的圖象和性質，逐一驗證．【詳解】．，故A正確；當時，，正弦函數(shù)在單調遞增，故B正確；若，則和一個為函數(shù)的最大值，一個為最小值，，故C錯誤；令，，，在的根分別為：，則有，在內使的所有的和為：，故D錯誤．故選：AB．12.已知三個內角，，的對應邊分別為，，，且，，則下列說法正確的是（）A.若，則有兩解B.周長的最大值為12C.的取值范圍為D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理判斷A；由余弦定理結合基本不等式可判斷B；利用三角函數(shù)恒等變換的應用可得，根據(jù)正切函數(shù)的性質即可判斷C；根據(jù)正弦定理，結合平面向量數(shù)量積的運算及三角函數(shù)恒等變換的應用可求，進而根據(jù)正弦函數(shù)的性質可判斷D.【詳解】對于A，由正弦定理得，又，所以，角為唯一銳角，有一解，故A錯誤；對于B，由余弦定理得：，則，所以，所以周長為，所以周長的最大值為12，故B正確；對于C，，因為，則的取值范圍為，所以的取值范圍為，故C正確；對于D，由正弦定理得，則，則，，因為，所以.因為，所以，則，所以當，即時，取得最大值為，故D正確；故選：BCD【點睛】方法點睛：三角函數(shù)相關的取值范圍問題，常常利用正弦定理，將邊轉化為角，結合三角函數(shù)性質及三角恒等變換進行求解，或者將角轉化為邊，利用基本不等式進行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，向量，，且，則________．【答案】【解析】【分析】由已知條件可得，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值.【詳解】因為向量，，且，則，因為，則，可得，故.故答案為：.14.如圖，為了測量河對岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內的兩個觀測點和，測得，，，并在處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高________．【答案】90【解析】【分析】利用三角形內角和求得內角，結合正弦定理求得邊長，利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)，可得答案.【詳解】在三角形中，，，，又，由正弦定理可得：，，解得，又在中，由題意可知：，.故答案為：.15.計算：________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式可得，再結合題意分析求解.【詳解】因為，整理得，則，所以，即.故答案為：16.設，為單位向量，滿足，，，設，的夾角為，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】由可得的取值范圍，再由向量數(shù)量積的定義及夾角公式進行求解即可．【詳解】，為單位向量，則，即，，得，令，，，，，有，由，則，即，得，，即.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量的數(shù)量積和模等基礎知識，解題關鍵在于令，把表示成關于的函數(shù)，由已知求出的取值范圍，利用函數(shù)思想求的最小值.四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將圖象上所有點先向右平移個單位長度，再將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)，求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函數(shù)圖像最大值得，利用周期算，代圖像上的點計算，得函數(shù)的解析式；（2）由函數(shù)圖像的變換求的解析式，由函數(shù)定義區(qū)間，利用解析式和正弦函數(shù)的性質求值域.【小問1詳解】由圖形可得，，解得，∵過點，∴，即，∴．又∵，∴．∴．【小問2詳解】解：由（1）知，將圖像上所有點向右平移個單位長度，再將縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到，∵，∴，∴∴所以的值域為18.已知，，，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，，得到，再由求解；（2）由求解.【小問1詳解】∵，，∴，∴，；【小問2詳解】由（1）知，，又∵，，∴，∵，所以，∴，.19.在中，已知，，，點為線段上一動點，設，.（1）當時，試用，表示向量，并求；（2）當取最小時，求與夾角余弦值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用向量運算法則表示向量，利用向量模的公式求解模長即可；（2）利用向量運算法則表示向量，利用向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】設，則，∴，當時，∴，此時，∴，∴，所以與夾角的余弦值為.20.已知銳角三個內角、、的對應邊分別為、、，．（1）求；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結合兩角和的正弦公式化簡可得出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用正弦定理結合三角恒等變換可出關于角的函數(shù)關系式，求出角的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理得，又因為，所以，，所以，，即，所以，，又因為，則，所以，，又因為，則，所以，，故.【小問2詳解】解：由正弦定理知，則，，所以，，因為為銳角三角形，且，則，解得，所以，，則，所以，，因此，的取值范圍是．21.已知向量，．（1）如果且，求的值；（2）令，若，且，，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）利用向量平行的坐標運算，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系求出，把要解的算式用兩角和的正弦余弦公式展開，利用齊次式轉化為求解.（2）由向量的坐標運算和倍角公式化簡，得，可求，由求出，利用倍角公式和兩角和的余弦公式，求出，可得的大小.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴，∴【小問2詳解】∴，∵，∴，，∴，∴，，∴有，，∴，∴，又∵，∴.22.某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題，擬對小區(qū)內一塊扇形空地進行改建．如圖所示，方案一平行四邊形區(qū)域為停車場，方案二矩形區(qū)域為停車場，其余部分建成綠地，點在圍墻弧上，點在道路上，點，，在道路上，且米，，設．（1）當點為弧的中點時，求的值；（2）記平行四邊形的面積為，矩形的面積為，說明，的大小關系，并求為何值時，停車場面積最大？最大值是多少？【答案】（1）（2），當，最大為．【解析】【分析】